圆周角和圆心角弧的关系（课堂PPT）

1、1第三章第三章 圆圆3.4 3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系第第1 1课时课时 圆周角和圆心角、圆周角和圆心角、 弧的关系弧的关系21 1课堂讲解课堂讲解圆周角的定义圆周角的定义 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系 同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角2 2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升3 在射门游戏中在射门游戏中(如图如图)，球员射中球门的难易程度，球员射中球门的难易程度与他所处的位与他所处的位 置置B对球门对球门AC的张角的张角( ABC)有关有关.当球当球员在员在B ， D，E处射门时，他所处射门时，他所 处的位置对球门

2、处的位置对球门AC分别分别形成三个张角形成三个张角 ABC， ADC， AEC.这三个角这三个角 的的大小有什么关系？大小有什么关系？4归归 纳纳（来自教材）（来自教材） 观察图中的观察图中的 ABC， ADC， AEC，可以发可以发现，它们的顶点都现，它们的顶点都 在圆上，两边分别与圆还有另一个在圆上，两边分别与圆还有另一个交点交点.像这样的角，叫做圆周角（像这样的角，叫做圆周角（angle of circumference).51 1知识点知识点圆周角的定义圆周角的定义定义：定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角周角特征：

3、特征：角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；角的两边都与圆相交，这两个特角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角不可缺少的条件征是判定圆周角不可缺少的条件要点精析：要点精析：圆周角的概念与圆心角的概念类似，它们的区别圆周角的概念与圆心角的概念类似，它们的区别主要是顶点位置不同，圆心角因为顶点在圆心，所以角的两边主要是顶点位置不同，圆心角因为顶点在圆心，所以角的两边必与圆相交，所以圆心角的概念中无需说明这一点必与圆相交，所以圆心角的概念中无需说明这一点知知1 1讲讲6如图，下列各角是圆周角的是如图，下列各角是圆周角的是()AAODBAOCCBADDBOD知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）可根据圆周

4、角的定义进行判断，显然可根据圆周角的定义进行判断，显然AOD，AOC，BOD均是圆心角，只有均是圆心角，只有BAD符合符合圆周角的两个特征圆周角的两个特征导引：导引： 例例1C7总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征：具备圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可角的两边都与圆相交，二者缺一不可8(中考中考柳州柳州)下列四个图中，下列四个图中，x为圆周角的是为圆周角的是()知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）19如图，图中的圆

5、周角共有如图，图中的圆周角共有_个，其中个，其中 所对的所对的圆周角是圆周角是_， 所对的圆周角是所对的圆周角是_知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2CDAB102 2知识点知识点圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系知知2 2导导如图如图, AOB = 80.(1)请你画出几个请你画出几个 所对的圆周角，这几所对的圆周角，这几 个圆周角有什么关系？与同伴进行交流个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.(2 )这些圆周角与圆心角这些圆周角与圆心角 AOB的大小有什的大小有什 么关系？你是么关系？你是 怎样发现的？与同伴进行交流怎样发现的？与同伴进行交流. 在图中，改变在图中，改变 AOB的

6、度数，你得到的结论还成立吗？的度数，你得到的结论还成立吗？AB做一做做一做11归归 纳纳知知2 2导导（来自教材）（来自教材）圆周角定理圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.12知知2 2讲讲1. 圆周角定理的证明：圆周角定理的证明： 已知：如图已知：如图, C是是 所对的圆所对的圆 周角，周角， AOB是是 所对的圆心角所对的圆心角. 求证：求证： C= AOB 分分析：析：根根据圆周角和圆心的位置关系，分三据圆周角和圆心的位置关系，分三 种情况讨论：种情况讨论：ABAB1213知知2 2讲讲(1)圆心圆心O在在 C的一条边上，

7、如图的一条边上，如图 (1);(2)圆心圆心O在在 C的内部，如图的内部，如图 (2);(3)圆心圆心O在在 C的的外外部，如图部，如图 (3). 在三种位置关系中，我们选择在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以给出证明，其他情况可以 转化为转化为(1)的情况进行证明的情况进行证明.(1)圆心圆心O在在 C的一条边上，如图的一条边上，如图 (1). AOB是是AOC的的外角，外角， AOB = A + C. OA = OC， A = C. AOB = 2 C, 即即 C = AOB. 请你完成图请你完成图 (2)和图和图 (3)两种情况的证明两种情况的证明.12证明：证明：14

8、知知2 2讲讲2. 圆周角定理：圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半要点精析：要点精析：(1)圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明 必须分三种情况必须分三种情况(如图如图)：圆心在圆周角的一条边上；圆心在圆周角的一条边上； 圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部圆心在圆周角的外部 (2)注意同一条弧所对的圆周角和圆心角度数才有这样的数注意同一条弧所对的圆周角和圆心角度数才有这样的数 量关系量关系15知知2 2讲讲如图，如图，A，B，C，D是同一圆上的

9、点，是同一圆上的点，168，A40，则，则D_例例2由圆周角定理的推论由圆周角定理的推论1可知可知CA40，由三角，由三角形的外角性质得形的外角性质得D1C684028.导引：导引：2816总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 本题应用本题应用转化思想转化思想，利用，利用“同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等”将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性质求解后利用三角形的外角性质求解17知知2 2讲讲如图，在如图，在 O中，中，AOC150，求，求ABC，ADC的的度数，并判断度数，并判断ABC和和ADC，

10、EBC和和ADC之间的之间的度数关系度数关系例例3解题的关键是分清同弧所对的圆解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如心角和圆周角，如 所对的圆所对的圆心角是心角是AOC，所对的圆周角是，所对的圆周角是ABC， 所对的圆心角是大于平角的所对的圆心角是大于平角的，所对的圆周，所对的圆周角是角是ADC.导引：导引：ADCABC18知知2 2讲讲AOC150，ABC AOC75.360AOC360150210，ADC 105.EBC180ABC18075105，EBCADC，即，即EBC与与ADC相等相等又又ABCADC75105180，ABC和和ADC互补互补解：解：121219(2015张家

11、界张家界)将量角器按如图所示的方式放置在三角将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点形纸板上，使顶点C在半圆上，点在半圆上，点A，B的读数分别为的读数分别为100，150，则，则ACB_知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）120知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(2016绍兴绍兴)如图，如图，BD是是 O的直径，点的直径，点A，C在在 O上，上， ，AOB60，则，则BDC的度数是的度数是()A60 B45 C35 D302ABBC 21知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(2015珠海珠海)如图，在如图，在 O中，直径中，直径CD垂直于弦垂直于弦AB，若，若C25，则

12、，则BOD的度数是的度数是()A25 B30 C40 D50322知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）(2015海南海南)如图，将如图，将 O沿弦沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆折叠，圆弧恰好经过圆心心O，点，点P是是 上一点，则上一点，则APB的度数为的度数为()A45 B30 C75 D604AMB23知知3 3导导3 3知识点知识点同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角想一想想一想 在如图在如图的的射门游戏中，当球员在射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门处射门时，所时，所 形成形成的的三个张角三个张角 ABC， ADC， AEC的的大小有什么关系？大小有什么关系？你能用圆周角定

13、理证明你的结论吗？你能用圆周角定理证明你的结论吗？24归归 纳纳知知3 3导导（来自教材）（来自教材）推论推论 同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等.252圆周角定理的推论圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等：同弧或等弧所对的圆周角相等要点精析：要点精析：圆周角定理的推论主要有两个作用：圆周角定理的推论主要有两个作用：一是用来证明角相等，从而证明两个三角形相似或全等；一是用来证明角相等，从而证明两个三角形相似或全等；二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角；从而达到题目中的要求周角；从而达到题目中的要求（来自

14、（来自点拨点拨）知知3 3讲讲26（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲拓展：拓展：在同圆或等圆中，在圆心角、圆周角、弦、弧这四组量在同圆或等圆中，在圆心角、圆周角、弦、弧这四组量中，如果其中一组量相等，那么其余的三组量也分别相中，如果其中一组量相等，那么其余的三组量也分别相等等注意：注意：其中的其中的“等弦对等圆周角等弦对等圆周角”，必须是弦的同侧的圆，必须是弦的同侧的圆周角周角27广州如图，在广州如图，在 O中，中，ACBBDC60， AC2 cm. (1)求求BAC的度数；的度数； (2)求求 O的周长的周长（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲3例例4(1)观察图形发现观察图形发现BAC与

15、与BDC为同弧所对的圆周角，为同弧所对的圆周角，故故BACBDC60；(2)要求圆的周长，需先求出要求圆的周长，需先求出半径，可利用垂径定理，即连接半径，可利用垂径定理，即连接OA，作，作OEAC于点于点E，构造直角三角形求出半径构造直角三角形求出半径导引：导引：28（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲 解：解：(1)在在 O中，中，BDC与与BAC均为均为 所对的圆周角，所对的圆周角， BACBDC60.(2)ACB60，又由，又由(1)知知BAC60， ABC为等边三角形连接为等边三角形连接OA，作，作OEAC于点于点E， 如图所示如图所示 OEAC，AC2 cm，AE cm. 在在RtA

16、OE中，中，AOEABC60， OAE30.OE OA. 又又OE2AE2OA2，OA2 cm. O的周长为的周长为224(cm)BC123329总总 结结知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨） 同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，这里特别要注意不要误认为这里特别要注意不要误认为 “同弦所对的圆周角同弦所对的圆周角” 相相等等 , 因为一条弦因为一条弦(非直径非直径)所对的圆周角的大小有两种所对的圆周角的大小有两种30知知3 3练练（来自（来自 ）(2016自贡自贡)如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB与与CD交于点交于点M，A45，AMD75，则，则B的度数是的度数是()A15 B25 C30 D75131知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）(2016达州达州)如图，半径为如图，半径为3的的 A经过原点经过原点O和点和点C(0，2)，B是是y轴左侧轴左侧 A优弧上一点，则优弧上一点，则tanOBC为为()A. B C. D.2132 2242 2332知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）(2015莆田莆田)如图，在如图，在 O中，中， ，AOB50，则，则ADC的度数是的度数是()A50 B40 C30 D253ABAC 33 “圆周角定理圆周角定理”是圆中的又一个重要定理，其作用在是圆