第三章 完全弹性体介质中弹性波传播规律

1、第三章 完全弹性体介质中弹性波传播规律流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切向力）。 理想流体：流体中体元作机械运动时无机械能损耗。理想流体中的机械波是纵波。弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定与面元垂直（存在切向力）。完全弹性体：弹性体中体元作机械运动时无机械能损耗。完全弹性体中的机械波有纵波和横波两类。31 弹性体介质的基本特性弹性体在外力作用下会发生形变，本课所分析的形变是在弹性范围内的小幅度形变；是弹性形变。 1o 弹性体中的应

2、力张量（矩阵）、应力分量流体内面积微元所受周围流体的作用力与面元的关系： （3.1.1）图3-1其中，P：流体内部压强。与方向反向，因而，与之间由一个标量联系，该标量就称为压强。流体中每一空间点的力的状态由该点的压强描述。但是，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与面元的方向并不保持一致。所以，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与之间不能由一个标量联系。那么，会是那类物理量将与联系起来？图3-2与之间由一个张量（矩阵）联系： （3.1.2）图3-3如果记： （3.1.3）有： （3.1.4）称： （3.1.5）为弹性体的应力张量。（应力张量的每一个分量是一个并矢）；也简记作：

3、 （3.1.6）称：为应力矩阵。弹性体内每一空间点的力的状态，由该点的应力张量（应力矩阵）描述。应力张量（应力矩阵）由9个分量（元素）构成。应力张量各个分量（元素）的物理意义： （3.1.7）利用弹性体内体元力矩平衡条件，可得：应力张量（应力矩阵）是对称张量（矩阵），即： （3.1.8）所以，应力张量（应力矩阵）是由6个独立元素构成的阶张量（应力矩阵）。如果记： （3.1.9）也即： （3.1.10） （3.1.11）2o 弹性体中的应变张量（矩阵）、应变分量弹性体内的应力是弹性体形变产生的，下面分析产生应力的形变如何描述：M点的位置：图3-4其形变位移 （3.1.12）形变后的位置 （3.1

4、.13）形变位移不代表示形变，更不能产生应力。（举例说明）M的相邻点Q，坐标位置： （3.1.14）形变后，Q位移至点Q点：图3-5绝对位移形变：相对位移形变： 问题：因为： （3.1.15） （3.1.16）所以： （3.1.17）这是，相对位移形变张量（矩阵）；它是产生应力的原因，但并不是相对位移形变张量（矩阵）的全部对产生应力有贡献。（举例说明）根据矩阵分解定理，可知： （3.1.18）有： （3.1.19）可以证明，定义:弹性体内与应力有关的相对位移形变张量为应变张量，记作。 （3.1.20）（注意 非对角元素与非对角元素的1/2系数，一般弹性理论这样定义，本教材同此）一般应变张量也简

5、记作： （3.1.21） （3.1.22） （3.1.23） （3.1.24）3o 应力应变之间的关系（广义虎克定律）弹性体内的应力是由应变引起的，因而应力是应变的函数： （3.1.25）在小形变条件下，可用线性关系表示： （3.1.26）用矩阵表示： （3.1.27）矩阵称作弹性常数矩阵，为弹性常数。此式为广义虎克定律。对各向同性的弹性体，c矩阵中的36个弹性常数可用两个独立常数表示（例如：拉梅常数；或杨氏模量、泊松系数）。用拉梅常数，表示应力与应变的关系： （3.1.28）作业：试用拉梅常数，表示为弹性常数。用杨氏模量和泊松系数，表示应力与应变的关系：32 弹性体中的弹性波1o弹性介质中的

6、波动方程弹性介质中取体元dxdydz；分析其受力：体元6个面上的有效应力分量标记如右图：图3-6体元dxdydz的x方向受力： (3.2.1) (3.2.2) (3.2.3) (3.2.4)则，体元dxdydz的x方向的运动方程： (3.2.5)同理，可得体元dxdydz的y和z方向的运动方程：y方向的运动方程： (3.2.6)z方向的运动方程： (3.2.7)将体元dxdydz的x、y和z方向的运动方程中的应力分量函数用位移函数表示，可得到弹性体中的位移函数的波动方程：用拉梅常数表示应力与应变的关系有：（见1-1节） (3.2.8)其中，为弹性介质的拉梅常数；为弹性介质中应变张量的分量； (

7、3.2.9)将此关系代入体元dxdydz的x方向的运动方程中，可得弹性体中x方向位移函数的波动方程： (3.2.8)这是弹性介质x方向位移函数的波动方程；同理，可得y、z方向位移函数的波动方程：综上，弹性体中位移函数的波动方程： (3.2.9)上式是位移矢量三个分量函数的波动方程，矢量形式的位移矢量波动方程为：（！） (3.2.10)2o弹性介质中的平面波对于平面波，可假设：位移矢量只是x和t的函数，与y、z无关： (3.2.11) (3.2.12) (3.2.13) (3.2.14)代入位移矢量波动方程，可得三个方向的位移分量满足方程： (3.2.15)显然，三个方程均为达朗贝尔方程，解为：

8、 (3.2.16)取正向波： (3.2.17)分析：（1） (3.2.18)（2） (3.2.19)分析：平面弹性波场中，质点运动轨迹。显然，时间函数为谐合时，方程的解为： (3.2.20)取正向波： (3.2.21)3o弹性介质中质点位移势函数的波动方程据场论理论，一个矢量场可表示成一个标量场的梯度与一个矢量场的旋度之和。定义：若位移矢量则,定义上式中为位移标量势函数；(位移标量势)为位移矢量势函数；(位移矢量势)将上定义式代入位移矢量的波动方程, 可得的波动方程： (3.2.22)且有位移矢量波动方程： (3.2.23)(3.2.24) (3.2.25) (3.2.26)综上，得： (3.

9、2.27) (3.2.28) (3.2.29) (3.2.30)所以：！纵波势函数波动方程！横波势函数波动方程位移标量势函数是纵波势函数；纵波波速为位移矢量势函数是横波势函数；横波波速为33 弹性体振动问题之一：均匀细棒的纵振动集总参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统只有弹性，或者只有惯性（或阻尼）。例如：第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是集总参数振动系统。分布参数振动系统：在同一空间位置上，振动系统既具有弹性又有惯性（或阻尼）。本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是分布参数振动系统。1o均匀细棒纵振动的近似理论均匀：棒的材料参数、棒的截面均匀。（一样）细棒：棒的截面最大线度远小于

10、棒中弹性波的波长。纵振动：沿棒的长度方向振动。（如图）图3-7均匀细棒纵振动的近似理论是指在上述情况下，可以近似认为：（1）只考虑 z 方向振动；其它方向的振动可略。（2）只考虑 z 方向的应力分量；其它方向应力可略。（3）在垂直于 z 轴的同一个截面上振动相同。1）均匀细棒纵振动运动方程图3-8细棒中取dz段，建立运动方程： （3.3.1） （3.3.2） （3.3.3） （3.3.4）由均匀细棒纵振动的近似理论得到的均匀细棒纵振动的波动方程；它与流体波动方程形式一样。均匀细棒纵振动的波动方程的形式解： （3.3.5） （3.3.6）2）均匀细棒纵振动的边条件类型： （3.3.7）图3-9

11、（3.3.8）图3-10 （3.3.9）图3-11 （3.3.10）图3-122o 例一：两端自由均匀细棒的自由纵振动 （3.3.11） （3.3.12） （3.3.13） （3.3.14） （3.3.15） （3.3.16） （3.3.17） （3.3.18）图3-133o 例二：一端固定另一端谐合力激励下均匀细棒的稳态纵振动 （3.3.19） （3.3.20） （3.3.21） （3.3.22） （3.3.23） （3.3.24） （3.3.25） （3.3.26） （3.3.27）4o 均匀细棒纵振动的阻抗转移公式（电传输线类比）均匀细棒纵振动的阻抗转移公式：由于棒有限长，则由于端面的反

12、射，在棒中存在相向传播的平面波： （3.3.28） （3.3.29） （3.3.30） （3.3.31） （3.3.32） （3.3.33） （3.3.34）34 分布参数机械振动系统的等效参数及其等效集总参数系统的机电类比1o分布参数系统与集总参数系统振动特性比较共性： 以系统本身所决定的固有频率作自由振动； 受迫振动时，响应都有频率特性； 有共振现象：激励频率等于某响应共振频率时该响 应幅值很大； 特性： 分布参数系统的振动是以驻波的形式表现，有波动的性质，是两个相向传播的波；集总参数系统的振动表现为质量的往复运动。 分布参数系统的振动特性与材料性质和边界条件有关；集总参数系统的振动只决定

13、系统的质量和弹性及阻抗。分布参数系统的动能和势能分布在整个弹性体中。集总参数系统的动能集中在质量上；势能集中在弹簧上。2o 等效系统与等效参数定义：等效系统，当分布参数系统在某种振动状态下的动能和势能与一个集总参数系统的动能和势能相等时，则称这个集总参数系统是该分布参数系统在该振动状态下的等效系统。 等效参数，等效集总系统的质量和弹性系数为该分布系统的在该振动状态下的等效参数。 如何由已知某种振动状态下的分布参数系统；求出所对应的等效集总参数系统和等效参数？ 分析：2o 求等效系统与等效参数的例子如图，长为的弹性细棒，一端固定，一端有质量M；如果谐合力激励且激励力角频率远小于棒的基频。求系统等

14、效集总参数的类比电路。图3-14有：得到，下右图的集总参数系统是左图的分布参数系统在低频振动状态下（）的等效系统。二者互为等效系统图3-15等效集总参数系统的机电类比图：图3-1635 弹性体振动问题之二：均匀弹性细棒的弯曲振动弯曲振动：棒中质点位移垂直与棒的长度方向。1o棒弯曲振动的波动方程：棒中取微元，建立y方向运动方程。为此，要求出y方向受力与y方向位移的关系。图3-17思路：棒弯曲时棒中微元dx在y方向位移形变产生的力矩与微元两端所受y方向力产生的力矩之和为零-因为微元dx没有旋转，所以力矩平衡。据此,可以得到微元dx在y方向受力与y方向位移的关系。棒弯曲时棒中微元dx： 图3-18图

15、3-19 （3.5.1） （3.5.2） （3.5.3）图3-20 （3.5.4） （3.5.5） （3.5.6） （3.5.7） （3.5.8） （3.5.9） （3.5.10）图3-21合力矩为： （3.5.11） （3.5.12） （3.5.13） （3.5.14） （3.5.15） （3.5.16）图3-22图3-23 （3.5.17） （3.5.18） （3.5.19）。2o 棒弯曲振动的波动特性： （3.5.20） （3.5.21） （3.5.22） （3.5.23）3o棒弯曲振动的形式解： （3.5.24） （3.5.25） （3.5.26） （3.5.27） （3.5.28）

16、（3.5.29）4o棒弯曲振动的边界条件类型： （3.5.30）图3-24 （3.5.31）图3-25 （3.5.32）图3-265o棒弯曲振动求解举例一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动：图3-27 （3.5.33） （3.5.34） （3.5.35） （3.5.36） （3.5.37） （3.5.38）图3-28（3.5.39） （3.5.40） （3.5.41） （3.5.42） （3.5.43） （3.5.44） （3.5.45）结论：细棒自由弯曲振动，泛音频率不是基频的谐音频率；基频与相邻泛音频率间隔较大。3-6 谐合平面波在流-弹界面上的反射和折射（1）波场位移势函数的方程注1和

17、边条件：图3-29z0（流体中位移势函数）z0（纵波，弹性体中位移标量势函数）z0（横波，弹性体中位移矢量势函数的y方向分量）入射角：入射波传播方向与界面法向的夹角；记： i反射角：反射波传播方向与界面法向的夹角；记： r折射角：折射波传播方向与界面法向的夹角；纵波折射角记： 横波折射角记：图3-30（1）、 （3.6.1） （3.6.2） （3.6.3）（2） （3.6.4）（3.6.5） （3.6.6） （3.6.7）代入横波波动方程： （3.6.8）得： （3.6.9） （3.6.10） （3.6.11）分析： （3.6.12） （3.6.13）（2）方程的形式解： （3.6.14） （3.6.15） （3.6.16） （3.6.17） （3.6.18） （3.6.19） （3.6.20） （3.6.21） （3.6.22） （3.6.23） （3.6.24） （3.6.25）（3.6.2