确定x2+y2+z2+w2的值

1、B2041  若确定x2+y2+z2+w2的值【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题15考虑t的方程【解】（1）两边乘（t1）（t9）（t25）（t49），得x2（t-9）（t-25）（t-49）+y2（t-1）（t-25）（t-49）+z2（t-1）（t-9）（t-49）+w2（t-1）（t-9）（t-25）-（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）=0                  

2、60;                                 （2）它是t的四次方程，并有四个根t=4，16，36，64故（2）即方程（t4）（t16）（t36）（t64）=0        

3、;                          （3）比较（2）与（3）的系数得：x2+y2+z2+w2+（1+9+25+49）=4+16+36+64从而                

4、;                      x2+y2+z2+w2=36 B2042  求方程组的所有实数解：x1·x2·x3=x1+x2+x3                 

5、                                                  

6、        （1）x2·x3·x4=x2+x3+x4                                      

7、;                                     （2）x3·x4·x5=x3+x4+x5x1985·x1986·x1987=x1985+x1986+x1987x1986&#

8、183;x1987·x1988=x1986+x1987+x1988x1987·x1988·x1989=x1987+x1+x2【题说】第十三届（1987年第三阶段）全俄数学奥林匹克九年级题2【解】（1）（2）得x2·x3（x1x4）=x1x4于是x2·x3=1或x1=x4当x2·x3=1时，（1）式成为x2+x3=0，易知方程组x2·x3=1，x2+x3=0无实数解所以x1=x4同理，x2=x5；x3=x6；x1985=x1；x1986=x2；x1987=x3于是x3=x6=x1986=x2=x5=x1985=x1=x4=x1

9、984=x1987=x代入方程（1）得x3=3xB2043  解方程组xy+xz=8x2xy+yz=12y2yx+zx=4z2【题说】1990年匈牙利数学奥林匹克第二轮基本水平题1【解】原方程组可以改写成x（x+y+z）=8y（x+y+z）=12z（x+y+z）=4将这三个方程相加，可以得到（x+y+z）2=16，从而x+y+z=±4由此可得到原方程组的解为（2，3，1）与（2，3，1）B2044  若实数a、b、x、y满足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛

10、题15【解】由ax3+by3=（ax2+by2）（x+y）（ax+by）xy得                                            16

11、=7（x+y）3xy                               （1）由                  ax

12、4+by4=（ax3+by3）（x+y）（ax2+by2）xy得                                            42=16（x+y

13、）7xy                              （2）由（1）、（2）解得x+y=14，xy=38因此，ax5+by5=（ax4+by4）（x+y）（ax3+by3）xy=42×（14）16×（38）=20B2046  求满足下列条件的关于x、y的次数最低（但

14、不低于1次）的多项式f（x，y）：【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题11【解】将f（x，y）表为i次齐次多项式之和：f（x，y）=件，则每一fi（x，y）也满足同样的条件所以，所要求的f（x，y）是一个次数最低的齐次式由（1）知f（y，y）=0，所以f（x，y）=（xy）h（x，y）其中h（x，y）是关于x、y的齐次式，且h（x，y）=h（y，x），即h为对称式由（2）得yh（x，x+y）xh（y，x+y）=0以yx代y得（yx）h（x，y）xh（yx，y）=0所以，h（x，y）被x整除，由对称性知，h（x，y）也被y整除由此得f（x，y）=（xy）xyg（x，y）其中g（x，y）是齐

15、次对称式，将上式代入（2）并整理，得g（x，x+y）+g（y，x+y）=0                                 （3）令y=x，得g（x，0）+g（x，0）=0       

16、0;                              （4）设g（x，y）为l次齐次式，即由（4）得cl+（1）lcl=0故l为奇数或cl=0若cl=0，则g（x，y）被y整除，由对称性知，它也被x整除，所以l2若l=2，则g（x，y）=cxy（c0），不满足（3），故l3若cl0，则l为奇数若l=

17、1，则g（x，y）=c（x+y）（c0），不满足（3），故l3综上所述，g（x，y）是至少3次的齐次对称式设g（x，y）=a（x3+y3）+bxy（x+y）代入（3）并整理，得a（x3+y3）+2（x+y）3）+b（x+y）（2x2+xy）+（xy+2y2）=0两边同除以x+y并整理，得（3a+2b）（x2+xy+y2）=0取a=2，b=3，则得所求的一个f（x，y）为f（x，y）=（xy）xyg（x，y）=（xy）xy（x+y）（2xy）（x2y）不难验证这个多项式符合要求。B2047  货车在x时y分从莫斯科出发，于y时z分到达萨拉托夫，途中共用了z小时x分钟，求x的所有可能值【

18、题说】第二十一届（1995年）全俄数学奥林匹克九年级题1【解】依题意得z=x+y，或z=x+y60因为                                x+y24+2460所以        &#

19、160;                       z=x+y                          &#

20、160;                        （1）设货车在途中经历了k昼夜，则y=x+z24k                      

21、                   （2）由（1）、（2）得x=12k因为0x24，所以x=0或12这样的x值事实上是可能的，例如x=0，y=z=15；或x=12，y=15，z=27B2048  求所有使等式成立的实数x，其中p是一实参数【题说】第五届（1963年）国际数学奥林匹克题1本题由捷克斯洛伐克提供【解】将等式移项，两边平方，化简后得8（2p）x2=（4p）2   &

22、#160;                                                                           （1）仅当p2时，方程（1）有解正解为将（2）代入原方程，得即