线性代数4-特征值和特征向量

1、 线性代数 若矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 p1 , p2 , Api = i pi , pn ,n 1 = n 推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 必能相似于对角矩阵 推论 设 n 阶矩阵 A 有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s 它们的(代数重数分别为 n1 , n2 , , ns i = 1,2, pn 令 P = ( p1 p2 2 n1 + n2 + + ns = n 则矩阵 P 可逆，且 AP = P P 1 AP = 即 A 相似于对角矩阵 则矩阵 A 相似于对角矩阵 与每个 ni 重特征值i 对应，恰有ni个线性无关 的特征向量 ( i

2、 = 1,2, ,s 推论 实对称矩阵必能相似于对角矩阵 435 即 434 判断 n 阶矩阵 A 能否相似于对角矩阵、求其相似 对角矩阵 , 及可逆矩阵 P 使 P 1 AP = 的步骤： (3 对每个i求出(i E A X = 0的基础解系 i 1 , i 2 , , in 令 P = ( 11 , 12 , 1 i i = 1,2, , 1n1 , ,s , sns (1 求出矩阵 A 的所有不同的特征值 1 , 2 , , s 及它们的重数 n1 , n2 , , ns ( n1 + n2 + + ns = n (2 对于每个特征值 i , 解方程组(i E A X = 0 若对某个i

3、 ,(i E A X = 0的线性无关的解的个数< ni (即与i 对应没有ni 个线性无关的特征向量 即 r (i E A > n ni 则矩阵 A 不能相似于对角矩阵 若对每一个ni 重特征值i , (i E A X = 0都有ni 个 线性无关的解, 则矩阵 A 能相似于对角矩阵 436 437 , s 1 , s 2 , s 则 1 1 P AP = n1 1 s ns s 【例】判断下列矩阵 A 是否能相似于对角矩阵？ 若能相似于对角矩阵，求相似变换阵 P ，使 P 1 AP = 2 1 ( E A X = 0 的基础解系为 1 , 0 0 1 0 1 1 (1 1 0

4、0 A = 2 5 2 2 4 1 (3 E A X = 0的基础解系为 【解】 A 的特征多项式为 | E A |= ( 3( 12 故 A 有3个线性无关的特征向量,因而能相似于 对角矩阵 特征值为 1 = 3, 2 = 3 = 1 438 439 74 线性代数 令 0 2 1 P = 1 1 0 1 0 1 3 P 1 AP = 1 1 (2 1 1 0 A = 4 3 0 1 0 2 2 则 【解】 A 的特征多项式为| E A |= ( 2( 1 1 ( E A X = 0 的基础解系为 2 个数 < 2 1 特征值为1 = 2, 2 = 3 = 1 因而， A 不能相似于对

5、角矩阵 440 441 (3 1 0 0 A = 0 3 0, 0 0 2 1 1 0 B = 0 2 1 0 0 3 令 1 1 1 Q = 0 2 1 0 2 0 则 1 =A Q 1 BQ = 3 2 【解】 矩阵 B 有 3 个不同的特征值 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3 因而 B 能相似于对角矩阵A 令 B与1 = 1, 2 = 2, 3 = 3对应的特征向量分别为 1 1 1 0 , 1 , 2 0 0 2 442 443 1 1 1 2 1 P = Q 1 = 0 0 2 0 1 1 P 1 AP = B 则 【例】若n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值, 且各自有n 个

6、线性无关的特征向量, 则_. 【例】n 阶矩阵A相似于矩阵B 的充要条件是_. (A A = B (C A B 【答】C (B A B , 但|A B| = 0 (D A 与 B 不一定相似, 但|A| = |B| , n 【解】设A , B 的特征值为1, 2, (A A 与B 都有n 个线性无关的特征向量 (B | I A | = | I B | (C A 与B都相似于对角矩阵 (D 存在可逆矩阵P , (P-1TAT = BT(P-1T 【答】D 【解】 -1TAT = BT(P-1T (P 由于A 与B 都有n 个线性无关的特征向量, 1 2 A , B 其中 = n AB 444 (

7、AP-1T= (P-1BT AP-1= P-1B PAP-1= B 445 75 线性代数 【例】设矩阵A相似于矩阵B, 其中 1 1 1 2 0 0 A = 2 4 2 , B = 0 2 0 3 3 a 0 0 b 则_. 【例】 n 阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是_. (A a = 5, b = 6 (C a = -5, b = 6 【答】A (B a = -6, b = - 5 (D a = 5, b = - 6 (A A有n 个线性无关的特征向量 (B A有n 个互不相同的特征值 (C 1+ 2+ +n = trA (D A 可逆 【答】A 排除(C(D 【解】trA = 5 +

8、 a, trB = 4 + b; 由trA = trB b=a+1 a = 5 |A| = 6a 6 , |B| = 4b b = 6 由|A| = |B| 2b = 3a - 3 446 447 1 1 1 4 b , 且A有三个线性无关 【例】设矩阵 A = a 3 3 5 的特征向量, = 2 是二重特征值, 则a 和 b 分别为_. (A a = 2, b = 2 (B a =2, b = 2 (C a = 3, b = 1 (D a = 1, b = 3 【答】B 【解】由于A有三个线性无关的特征向量, 故A可对角化 每个k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量 = 2 是二重特征值

9、 r (2 I A = 1 1 1 1 1 1 1 a 2 b 行变换 2I A = 0 a 2 a b 3 0 3 3 0 0 a=2,b=2 448 4 0 6 【例】已知实矩阵A = a 1 2a 可对角化, 且 2,1是 3 0 5 它的特征值, 则a = _. (A 6 【答】D (B 3 (C 3 (D 任意实数 【解】A 的特征值之和为1+2+3 = 4 + 1 + ( 5 = 0 故 1 是A的二重特征值 与 = 1 对应A有两个线性无关的特征向量 3 0 6 r(I A = 1 I A = a 0 2a 3 0 6 449 【例】 设矩阵 3 1 0 3 0 0 3 0 1

10、A = 0 3 1 , B = 0 3 0 ,C = 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 0 3 则_. (A A B (B B C (C A C (D (A,(B, (C均不正确 【答】 D 【解】 A 有三重特征值 1 = 2 = 3 = 3 而 r (3 I A = 2, 即A 与3 对应只有 1 个线性无关的特征向量 因而 A 不能相似于对角矩阵 B 450 451 同理, r(3I C =1 C 与3 对应只有 2 个线性无关的特征向量 因而 C 不能相似于对角矩阵 B 若A C, 则 3I A 3I C r (3I A = r (3I C 但 r (3I A r (3I C 因

11、而 A 不能相似于C 76 线性代数 【例】 设矩阵 1 1 0 1 1 1 1 1 0 A = 0 0 1 , B = 0 0 0 , C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 则_. r (0I B =1 矩阵B 与 = 0 对应有两个 线性无关的特征向量 0 0 0 B = 0 0 0 0 0 1 矩阵C 与 = 0 对应有两个 线性无关的特征向量 0 0 0 C = 0 0 0 0 0 1 (A A B (C B C 【答】C (B A C (D (A,(B, (C均不正确 r (0I C =1 【解】相似矩阵有相同的秩, 而 r ( A = 2, r ( B = 1,

12、r (C = 1 故(A,(B不正确 矩阵B,C 有相同的特征值 1 = 2 = 0, 3 = 1 452 B C (下页 453 【例】 设三阶方阵A 的特征值为1 = 1,2 = 4, 3 = 0, 对应的特征向量分别为 1 = (1,0,0T , 2 = (0,1,0T , 3 = (0, 3,1T 则矩阵A=_. 1 0 0 (A 0 4 12 0 0 0 1 0 0 (C 0 4 12 0 0 0 1 (B 4 0 1 0 0 (D 0 4 0 0 12 0 【解】令 1 0 0 1 0 1 3 , = P= 4 0 0 1 0 1 2 3 则 P 1 AP = A = P P 1 (下页 【答】A 454 455 1 = 1 = 0 0 1 1 1 3 4 1 3 1 0 1 0 0 4 12 0 0 【例】已知三阶矩阵A 的 3 个特征值为1