电力系统谐波的FFT 加窗插值算法研究

1、电力系统谐波的FFT加窗插值算法研究刘旭东 叶鹏(沈阳工业大学电气工程学院 辽宁 沈阳 110178摘 要:采用快速傅里叶变换(FFT进行电力系统谐波分析时很难做到同步采样,故造成频谱泄漏,影响谐波分析的结果。本文对(FFT的泄漏原因进行了分析,并研究组合余弦窗对采样数据加权及利用插值对(FFT的结果进行修正。通过对卷积窗的谐波理论分析与研究,提出了基于卷积窗的组合余弦窗的加窗算法。文中给出了该算法进行谐波分析的算例,计算结果表明,该窗的算法具有更高的计算精度。关键词: 谐波分析; FFT;窗函数1.引言近年来,随着直流输电和柔性交流输电技术的采用,电气化铁道的快速发展,化工、冶金、煤炭等工业

2、部门大量应用电力电子设备等,使得电网的谐波含量大大增加,电网波形畸变越来越严重,对电力系统的安全、经济运行造成极大的影响。谐波测量是谐波问题研究的主要依据,实时测量电网中的谐波含量,确切掌握电网中谐波的实际状况,对于防止谐波危害,维护电网的安全运行是十分必要的。因此如何能够把谐波的危害最大限度地减少,是目前电力电子领域极为关注的问题,而解决这一问题的关键在于定量地确定谐波的成分、幅值和相位等。这也正是我们进行谐波分析的目的所在。电力系统的谐波分析,通常都是通过快速傅立叶变换(FFT实现的。然而FFT存在栅栏效应和泄漏现象,使算出的信号参数即频率、幅值和相位不准,无法满足准确的谐波测量要求。而解

3、决这个问题通常是通过加窗函数减少泄露现象和通过插值修正减小栅栏效应。对于包含整数倍次谐波的信号而言,如果能够实现同步于基波的采样,从而使截断数据长度是基波周期的整数倍,就能够使被测的基波和谐波频率恰好与傅立叶变换频域谱线的离散频点重合,而且此时信号中的基波或谐波在其它频率成分上造成的长范围泄漏也将为零。然而,要实现同步采样和整倍数截断是比较困难的。无论是Ignacio给出的采用插值补点改变信号抽样率的方法1,还是Roberto的利用过采样器进行补点的方法2,在实现上都是相当复杂的。但可以通过选择适当的窗函数抑制长范围泄漏,也可以根据所选择的窗函数的形式对频率、相位和幅值进行插值修正,在一定程度

4、上弥补短范围泄漏造成的误差。很多文献给出了加窗和插值修正算法的研究成果3-6。本文对(FFT的泄漏原因进行了分析,并研究组合余弦窗对采样数据加权及利用插值对(FFT的结果进行修正7。通过对卷积窗的谐波理论分析与研究,提出了基于卷积窗的组合余弦窗的加窗算法。文中给出了该算法进行谐波分析的算例,计算结果表明,该窗的算法具有更高的计算精度。2.算法原理2.1 频谱泄露和栅栏效应在实际的谐波测量中,所要处理的信号都是经过采样和A/D转换得到的有限长数字序列,这相当于对原始信号乘以一个矩形窗加以截断。在时域相乘,相当于在频域卷积。因此原信号的单一频率将变成以原信号频率0为中心,形状振荡并逐渐衰减的连续谱

5、线sin(f/f,这就是说信号频谱泄露到整个频率轴上了。当采样同步,即时间窗长度正好等于信号周期的整数倍时,离散傅立叶变换得到的各离散频率分量除了0点以外都落在sin(f/f=0上,因此,变换的结果不会产生频谱泄露。在非同步采样时,由于实际信号的各次谐波分量不能正好落在频率分辨点上,而是落在某两个频率分辨点之间。这样通过DFT并不能直接得到各次谐波分量的准确值,而只能以临近的频率分辨点的值来近似代替。这就是通常所说的栅栏效应。插值算法可以较好地消除栅栏效应,而谐波间的泄露引起的误差则需要依靠加窗的方法来修正。加窗插值算法通过加窗减小频谱泄漏,通过插值消除栅栏效应引起的误差。算法中,窗函数的选择

6、非常重要。通常频谱分析要求窗函数主瓣窄、旁瓣低且跌落速度快;不过对同一窗函数,这几个要求很难同时满足。在信号处理时,应根据信号特征和研究目的来选择窗。2.2加窗插值算法原理及误差分析设电气信号为周期信号,表示如下:0(cos(2pi i i i x t A f t =+ (1式中f i ,A i ,i 分别为第i 次谐波的频率、幅值和相位;p 为最高谐波次数。以采样频率f S 将式(1离散化得序列x (n s 0x(n=x(nT cos(pi i i i A n =+ (2其中,T S =1/f S 为采样周期,i =2f i T S ,x (n的频谱(DTFT 为:0(22i i p j j

7、 j i i i i i A A x e e e =+ (3若有离散窗w (n ,其频谱W (e j 可表示为0(j jc w e w e =i (4式中W 0(为一实函数,C 为一实常数。用长度为N 的窗序列w (n 对x (n 加权截断,离散加窗信号 x W (n 。(0,1,2,1w x n x n w n n N =i (5x W (n 的频谱(DTFT 为: (00(2i i pj c j j i w i i A X e W e W e = (0(2i i j c i i A W e + (6用DFT 可求出X W (n 的离散谱X W (k 。X W (k 实质上是连续谱X W (

8、e j 在区间0,2以等间隔=2/N (对应f =f S /N 抽样的结果,即 (0,1,2,1jw w w k X k X e k N = (7考虑采样不同步,即时间窗T W =NT S 不为信号周期T 1(T 1=1/f 1的整数倍,不妨设111s NT k T =+ (8其中,k 1=int(k 1+1为最接近NT S /T 的整数;1为整后的余数,一般|1|=0.5。于是,对于第i 次谐波(含基波111122/i s s i i if T iNT ik i k N T =+=+ , i =1,2, p (9 其中,k i 、1分别1i k ik = (101i i = (11由式(9容

9、易得到,对于i =1,2, p(i i i k =+ (12(2(222i i i i i i i i s s s k k f k f T T TN +=+ (13从式(12、(13可知,i 称为频率校正量。同步误差不大时,一般有|1|<1,可以认为第i 次谐波(频率为i 或f i 对应第k i 根谱线(频率为k i 或k i f 。具体对于第i =l 次谐波,如果窗w ( n 的幅频特W 0(满足0(0l i k += i =1,2, p (14 0(0l i k = i =1,2, p; i1 (15则在=k l 处,其它次谐波(含基波的正、负频率分量以及该次谐波自身的负频分量为0,

10、该谱线不受频谱泄漏影响。此时,由式(6、(7、(12有(00(22l l l i l j C k j C l l w l l l l A A X k W k e W e += (16 0(2l w l l A X k W = (17arg (w l i lX k C =+ (18用插值法求取i ,再用DFT 求得X w (k l ,由式(13、(17、(18,即可求得第l 次谐波参数 (l l l f k f =+ (1902(/(l w l l A X k W = (20arg (l w l i X k C = (21此方法是用加常用窗加插值求得信号中基波和各次谐波参数,已有很多文献详细的介

11、绍了这种方法,此算法具有较高的计算精度。3多卷积窗算法下面我们研究多卷积窗则可以有效地抑制泄漏。当给出了K 取不同值时,余弦窗分别为矩形、汉宁、布莱克曼和布莱克曼哈里斯窗的对数幅频曲线。可发现窗的项数越多,旁瓣衰减越快,这有利于减少泄漏,提高计算准确度;但同时,主瓣的宽度也变大,从而会引起频谱分辨率的降低。汉宁窗的阻带最小衰减为-44dB ,即在第一旁瓣处大约衰减为主瓣的0.01。对于谐波分析该衰减特性不能很好地消除泄漏影响,所以须构造出性能更好的窗函数。可以发现,这相当于在时域对两个窗函数作卷积运算,而在频域则是相乘。这样,新的窗函数具有更大的阻带最小衰减,旁瓣衰减更快。针对不同的应用需求,

12、本文新算法可以选择任意两种或三种现有的窗函数w1,w2,w3来设计新窗。当wl,w2,w3同一余弦窗时,可求出二阶或三阶卷积的海明窗、汉宁、布莱克曼等新窗的对数幅频曲线。3.1卷积窗与已知常用窗比较如下图所示,分别为海明窗、汉宁窗和布莱克曼窗及他们的二阶和三阶窗的频谱,对比可明显看出,新窗与原窗相比具有更大的旁瓣衰减速度,可以进一步减少谐波间的能量泄漏。 图1 图2 图3余弦窗K 值和系数a k 决定了不同的窗,K=1时,有海明窗,汉宁窗;K=2时,有布莱克曼窗;K=3时,有布莱尔曼-哈里斯窗。当K 增大时,旁瓣衰减增大,因而能够更好地抑制泄露,同时主瓣宽度随K值而增加,引起频谱分辨率的降低,

13、因而K 值也不宜选得太大5。而我们通过这些常用窗组成的卷积窗,可以看到旁瓣衰减增大很多,而主瓣宽度增加的并不多;可随着K 值增加(K>3,常用窗组成的卷积窗主瓣宽度增加很大;因而选择K 值高的窗,多阶卷积后相当于K 的值增大,频谱分辨率降低,也使得计算结果产生误差增大。从例子可以看出,适合的常用窗组成的卷积窗有更精确的修正谐波幅值。此论文选取汉宁三阶窗为例,修正的谐波幅值更加精确。通过仿真试验表明,基于汉宁窗的卷积窗更适合于谐波的检测分析。下面以汉宁窗为例说明:令仿真计算的信号为含有谐波分量的函数,共7次谐波。幅值分别为:12,3,2,0.5,0.3,0.1,0.05相角为:0.9,0.

14、8,0.7,0.6,0.5,0.3,0.2 常用窗谐波幅值修正结果对比: 谐波幅值 谐波次数 1 2 3 4 5 6 7汉宁窗修正 11.9839 2.9923 1.9855 0.4961 0.2942 0.0977 0.0483汉宁二阶窗修正 11.9996 2.9922 1.9884 0.4939 0.2949 0.0974 0.0483 汉宁三阶窗修正 12.0002 2.9989 1.9947 0.4987 0.2976 0.0991 0.0492加卷积窗插值快速傅里叶变换(FFT算法可以克服频谱泄漏的影响,消除用异步采样值测量电量时产生的误差,但其计算量较大。为了减小插值FFT 算法

15、的计算量,采用三次样条函数逼近加卷积窗插值FFT 算法函数,提出了应用三次样条函数的有效形式计算插值FFT 算法8。三次样条插值函数是一条近似于分段的三次多项式,但在分段处函数是连续的,它的一阶和二阶导数也是连续的。给定插值点(t i ,y i ,i =0,1,2,n 。在t i ,t i+1上三次样条函数为:3311111(6666i i i i i i i i i i i i i i i i iz z y z h y z h S x t x x t x t t x h h h h +=+ 式中 1i i i h t t += (22 由于Matlab 中的spline 函数只能用于三次样条

16、插值计算,不能构造三次样条函数,故采用自己编写的程序来构造三次样条函数8,构造出计算插值FFT 算法的三次样条函数的快速计算公式。仿真计算及分析,令仿真计算算例同上。幅值分别为:12,3,2,0.5,0.3,0.1,0.05相角为:0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.3,0.2以固定频率fs =1/(0.02/32=1600(Hz进行采样,频率分辨率为12.5HZ 。,用128采样点进行计算。计算结果如下表所示。f/HZ 1次谐波 误差 3次谐波 误差 49.5 11.9863 0.0137 2.9933 0.006750 12.0002 0.0002 2.9989 0.001150.

17、5 12.0006 0.0006 3.0014 0.0014 51 12.0127 0.0127 3.0007 0.0007从计算结果可以看出,信号幅值误差小于0.1%,具有较高的精度。增加插值点还可以进一步提高计算精度,也可以在误差大的区段增加插值点来提高计算精度(以减少分段数量。4 结论提出采用多卷积窗运用于电力系统谐波检测算法研究,通过对常用窗组合的卷积窗的比较,得到减小幅值误差较好的效果,并加三次样条函数的有效形式计算插值FFT 函数,计算公式简单,程序实现方便,用128个采样点更加加强了实时性,在分段处连续,且为精确值,不存在极限值问题,适合于电力系统谐波的高精度测量。经过仿真计算表

18、明该方法有较高的精度。可用于采用插值FFT 算法的电力系统远动,继电保护测量装置或电量表计中,提高测量装置的实时性,也可以用于其他领域中,具有实用价值。参考文献:1 Ignacio Santamaria-Caballero, Carlos J.Pantaleon-Prieto,Jesus Ibanez-Diaz, et al.Improved procedures for estimating amplitudes and phases of harmonics with application to vibration analysisJ.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 47(1:209-214. 1998.2 Roberto Marcelo Hidalgo,Juana Graciela Fernandez,Raul Ruben Rivera,et al.A simple adjustable window algorithm to improve