课题：§与三角形的角平分线有关的几个结论

1、课题:§与三角形的角平分线有关的几个结论 1、三角形任意两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系例 1. 已知如图 1, B P 平分 A B C, C P 平分 A C B,求 P与 A的数量关系 . 解法一:如图 1, 在 B P C中, 012180P+=(三角形的三个内角和等于 0180180(12P=-+B P平分 A B C, C P 平分 A C B(已知12P B C A B C=,12P C B A C B=(角平分线的定义11180(22P A B C A C B=-+01180(2A B C A C B=-+在 A B C中, 0180A ABC ACB+=(

2、三角形的三个内角和等于 0180180ABC ACB A+=-00011180(180 9022P A A=-=+解法二:如图 2,延长 B P 交 A C 于 E4是 ABE的外角, B P C是 P E C的外角43A=+, 45B P C=+(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 35B P C A=+(等量代换B P平分 A B C, C P 平分 A C B(已知132A B C=,152A C B=(角平分线的定义1122B P C A A B C A C B=+1(2A A B C A C B=+图 1 图 2 图 3在 A B C 中, 0180A ABC ACB +=

3、(三角形的三个内角和等于 0180180ABC ACB A +=-0011(180 9022BPC A A A =+-=+解法三:如图 3,连接 A P 并延长 A P 于 F1 是 A B P 的外角, 4是 A P C 的外角,123=+, 456=+(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 142356+=+即 (35 (26 (26 BPC BAC =+=+B P 平分 A B C , C P 平分 A C B (已知122A B C =, 162A C B =(角平分线的定义1122B P C B A C A B C A C B =+1( 2B A C A B C A C B

4、=+在 A B C 中, 0180BAC ABC ACB +=(三角形的三个内角和等于 0180180ABC ACB BAC +=-0011(180 9022B P C B A C B A C B A C =+-=+结论:三角形的两条内角平分线的夹角 P 与第三个角 A 的关系是:01902P A =+问题:P 与 A B C 和 A C B 之间存在什么样的数量关系?(01180( 2P A B C A C B =-+2、三角形中任意一个内角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个内角的关系例 2. 已知如图 4, B P 平分 A B C , C P 平分外角 A C D , 求 P 与

5、A 的数量关系 .解: B P 平分 A B C , C P 平分 A C D (已知 112A B C =, 122A C D =(角平分线的定义2 是 P B C 的外角(已知21P =+(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和21P =-111( 222A C D A B C A C D A B C =-=-A C D 是 A B C 的外角(已知AC D A ABC =+(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和11( 22BPC A ABC ABC A =+-=结论:三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角 P 与第三个角 A 的关系是:12P A =3、三角形任意两个

6、内角相邻的外角的平分线说夹角与第三个内角的关系.例 3. 已知如图 5, B P 平分外角 C B E , C P 平分外角 B C F ,求 P 与 A 的数量关系 .解: 在 B P C 中, 012180P +=(三角形的三个内角和等于 0180 180(12 P =-+B P 平分 E B C , C P 平分 B C F (已知112E B C =, 122B C F =(角平分线的定义111180(180( 222P EBC BC F EBC BC F =-+=-+(等量代换E B C 是 A B P 的外角, B C F 是 A B C 的外角E B C A A C B =+,

7、BC F A ABC =+(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和11180( 180( 22P A A C B A A B C A A C B A B C =-+=-+在 A B C 中, 0180A ABC ACB +=(三角形的三个内角和等于 01800180ABC ACB A +=- 00011180(180 9022P A A A =-=-P图 5探究 1:(利用例题 1中的结论作 ACB 的平分线交 BP 于 Q.由结论可知, BQC=90°+21 A.由于邻补角的平分线互相垂直,所以 QCP=90°.又 BQC= QCP + P ,故 P= BQC - QCP=(90°+21 A -90°=21 A.结论:三角形的两条外角平分线的夹角 P 与第三个角 A 的数量关系是:01902P A =-探究 2(利用例题 1中的结论 :作 ABC , ACB 的平分线相交于点 Q , 则显然有 BQC=90°+21 A. 由于邻补角的平分线互相垂直,所以, QBP= QCP =90&