《13-4 课题学习 最短路径问题》课件(共21张ppt)

1、 “ “将军饮马将军饮马” -” -相传，古希腊亚历山大里亚城里有相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河流两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl你能用自己的语言说明这个问题的意

2、思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （1）从）从A 地出发，到河流地出发，到河流l边 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动

3、点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） 思考思考1 1：如何将点：如何将点B转“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小呢？的和最小呢？ BlA思考思考2 2：你能利用轴对称的：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符

4、合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ 作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlAB C问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重

5、合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 在在ABC中中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即即AC +BC 最短最短问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 BlABCC思考：证明思考：证明A

6、C + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ 变式变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。变式变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使BAC的周长最小。 变式变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B

7、的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab问题问题2 2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。ABMNabAABMNabAMN证明证明: :取不同于取不同于,M,M，N N的另外两的另外两点点M/，N/由于由于M/N/=MN=AA/；由平移的性质可知：由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/又根据又根据“两点之间，线段最两点之间，线段最短短”可知可知A/N/+N/BA/B所以，所以，AM/+N/BAM+NB,所以，所以，AM/+N/B+M/N/ AM+NB+MN.问题问

8、题2 2问题问题3 3：还有其他的方法选两点还有其他的方法选两点M,N，使得，使得AM+MN+NB的和最小吗？试一试。的和最小吗？试一试。ABMNab 如何在四边形如何在四边形ABCD内取一点内取一点O， 使得点使得点O到到四边形四个顶点的距离和最小。四边形四个顶点的距离和最小。 如何在四边形如何在四边形ABCD内取一点内取一点O， 使得点使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。到四边形四个顶点的距离和最小。证明证明：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PCAC，即PA+PCOA+OC，同理，PB+PDOB+OD，PA+PB+PC+PDOA+OB+OC+OD，即点O

9、是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小 变式变式4：如图，一个旅游船从大桥：如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处处前往山脚下的前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往处接游客，然后将游客送往河岸河岸BC 上，再返回上，再返回P 处，请画出旅游船的最处，请画出旅游船的最短路径短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥变式练习变式练习由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到一点上找到一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小” 同问题同问题2 2是一种类型，自己在练习本上独立完成是一种类型，自己在练习本上独立完成ABC