函数及其表示(含解析)

1、第一节函数及其表示知识能否忆起1函数的概念(1函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x和它对应；那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x，xA.(2函数的定义域、值域：在函数yf(x，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据2函数的表示法表示

2、函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数小题能否全取1(教材习题改编设g(x2x3，g(x2f(x，则f(x等于(A2x1B2x1 C2x3 D2x7解析：选Df(xg(x22(x232x7.2(2012·江西高考设函数f(x则f(f(3(A. B3 C

3、. D.解析：选Df(3，f(f(321.3已知集合A0,8，集合B0,4，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是(Af：xyx Bf：xyx Cf：xyx Df：xyx解析：选D按照对应关系f：xyx，对A中某些元素(如x8，B中不存在元素与之对应4已知fx25x，则f(x_.解析：令t，则x.所以f(t.故f(x(x0答案：(x05(教材习题改编若f(xx2bxc，且f(10，f(30，则f(1_.解析：由已知得得即f(xx24x3.所以f(1(124×(138.答案：8总结 1.函数与映射的区别与联系(1函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是

4、非空数集A到非空数集B的映射(2映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数2定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数yx与yx1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数ysin x与ycos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同3求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f(x0时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集函数的基本概念典题导入例1有以下判断：(1f(x与g(x表示同一函数；(2函数y

5、f(x的图象与直线x1的交点最多有1个；(3f(xx22x1与g(tt22t1是同一函数；(4若f(x|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_自主解答对于(1，由于函数f(x的定义域为x|xR，且x0，而函数g(x的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2，若x1不是yf(x定义域的值，则直线x1与yf(x的图象没有交点，如果x1是yf(x定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x的图象只有一个交点，即yf(x的图象与直线x1最多有一个交点；对于(3，f(x与g(t的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x和g(t表示同一函数；对于(4，由于f0，所以ff(01.综上可知，正确的判

6、断是(2(3答案(2(3由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x2x1，g(t2t1，h(m2m1均表示同一函数以题试法1试判断以下各组函数是否表示同一函数(1y1，yx0；(2y·，y；(3yx，y ；(4y|x|，y(2.解：(1y1的定义域为R，yx0的定义域为x|xR，且x0，故它们不是同一函数(2y·的定义域为x|x2y的定义域为x|x2，或x2，故它们不是同一函数(3yx，yt，它们的定义域和对应关系都相同，

7、故它们是同一函数(4y|x|的定义域为R，y(2的定义域为x|x0，故它们不是同一函数求函数的解析式典题导入例2(1已知fx2，求f(x的解析式；(2已知flg x，求f(x的解析式；(3已知f(x是二次函数，且f(00，f(x1f(xx1，求f(x自主解答(1由于fx222，所以f(xx22，x2或x2，故f(x的解析式是f(xx22(x2或x2(2令1t得x，代入得f(tlg，又x>0，所以t>1，故f(x的解析式是f(xlg(x>1(3设f(xax2bxc(a0，由f(00，知c0，f(xax2bx，又由f(x1f(xx1，得a(x12b(x1ax2bxx1，即ax2(

8、2abxabax2(b1x1，所以解得ab.所以f(xx2x(xR由题悟法函数解析式的求法(1配凑法：由已知条件f(g(xF(x，可将F(x改写成关于g(x的表达式，然后以x替代g(x，便得f(x的解析式(如例(1；(2待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数，可用待定系数法(如例(3；(3换元法：已知复合函数f(g(x的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2；(4方程思想：已知关于f(x与f或f(x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x(如A级T6以题试法2(1已知f(1x2，求f(x的解析式；(2设yf(x是二次函数，方程f

9、(x0有两个相等实根，且f(x2x2，求f(x的解析式解：(1法一：设t1，则x(t12(t1；代入原式有f(t(t122(t1t22t12t2t21.故f(xx21(x1法二：x2(2211(121，f(1(121(11，即f(xx21(x1(2设f(xax2bxc(a0，则f(x2axb2x2，a1，b2，f(xx22xc.又方程f(x0有两个相等实根，44c0，c1，故f(xx22x1.分 段 函 数典题导入例3(2012·广州调研考试设函数f(x若f(x>4，则x的取值范围是_自主解答当x<1时，由f(x>4，得2x>4，即x<2；当x1时，由f

10、(x>4得x2>4，所以x>2或x<2，由于x1，所以x>2.综上可得x<2或x>2.答案(，2(2，若本例条件不变，试求f(f(2的值解：f(2224，f(f(2f(416.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围以题试法3.(2012·衡水模拟已知f(x的图象如图，则f(x的解析式为_解析：由图象知每段为线段设f(xaxb，把(0,0，和

11、，(2,0分别代入，解得答案：f(x1下列四组函数中，表示同一函数的是(Ayx1与y By与yCy4lg x与y2lg x2 Dylg x2与ylg答案：D2下列函数中，与函数y定义域相同的函数为(AyBy Cyxex Dy解析：选D函数y的定义域为x|x0，选项A中由sin x0xk，kZ，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中xR，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为x|x03(2012·安徽高考下列函数中，不满足f(2x2f(x的是(Af(x|x| Bf(xx|x| Cf(xx1 Df(xx解析：选C对于选项A，f(2x|2x|2|x

12、|2f(x；对于选项B，f(x七、冷空气循环 x | x | 当 x 0 时， f (2 x 0 2 f ( x ，当 x 0 时， f (2 x 4 x 2·2 x 2 f ( x ，恒有 f (2 x 2 f ( x ；对于选项 D ， f (2 x 2 x 2( x 2 f ( x ；对于选项 C ， f (2 x 2 x 1 2 f ( x 1. 4已知f(x则ff的值等于(A2 B1 C2 D3解析：选Df，ff1f2，ff3.5现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是(解析：选C从球的形状可知，水

13、的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快6若f(x对于任意实数x恒有2f(xf(x3x1，则f(x(Ax1 Bx1 C2x1 D3x3解析：选B由题意知2f(xf(x3x1.将中x换为x，则有2f(xf(x3x1.×2得3f(x3x3，即f(xx1.7已知f(xx2pxq满足f(1f(20，则f(1_.解析：由f(1f(20，得所以故f(xx23x2.所以f(1(12326.答案：68已知函数f(x若f(f(1>3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1213，f(f(1f(3326a，若f(f(1>3a2，则96a>3a2，即a22a

14、3<0，解得1<a<3.答案：(1,39设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是_解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x对应着唯一一个y，据此排除，中值域为y|0y3不合题意答案：10若函数f(x(a0，f(21，又方程f(xx有唯一解，求f(x的解析式解：由f(21得1，即2ab2；由f(xx得x，变形得x0，解此方程得x0或x，又因方程有唯一解，故0，解得b1，代入2ab2得a，所以f(x.11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家

15、出发到达乙家为止经过的路程y(km与时间x(min的关系试写出yf(x的函数解析式解：当x0,30时，设yk1xb1，由已知得解得即yx.当x(30,40时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由已知得解得即yx2.综上，f(x12如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象(1试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1点A表示无人乘车时收支差额为20元，点B表示有10人乘

16、车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利(2图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价(3斜率表示票价(4图1、2中的票价是2元图3中的票价是4元1(2011·北京高考根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟为f(x(A，c为常数已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(A75,25 B75,16 C60,25 D60,16解析：选D因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4<A，且30.联立解得c60，A16.2(2012·江西红色六校联考具有性质：ff(x的

17、函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是(A B C D解析：选B对于，f(xx，fxf(x，满足；对于，fxf(x，不满足；对于，f即f故ff(x，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.3二次函数f(x满足f(x1f(x2x，且f(01.(1求f(x的解析式；(2解不等式f(x>2x5.解：(1设二次函数f(xax2bxc(a0f(01，c1.把f(x的表达式代入f(x1f(x2x，有a(x12b(x11(ax2bx12x.2axab2x.a1，b1.f(xx2x1.(2由x2x1>2x5，即x23x4>0，解得x>4或x<1.故原不等式解集为x|x>4，或x<11已知函数f(x若f(f(04a，则实数a_.解析：f(03×022，f(f(0f(242a4a，a2.答案：22若函数的定义域为x|3x6，且x4，值域为y|2y4，且y0，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示3已知定义域为R的函数f(x满足f(f(xx2xf(xx2x.(1若f(23，求f(1；又若f(0a，求f(a；(2设有且仅有一个实数x0，使得f(x0x0，求函数f(x的解析式解