五年真题汇编 第十章：计数原理、概率、随机变量及其分布

1、五年高考真题分类汇编：计数原理、概率、随机变量及其分布五年高考真题分类汇编：计数原理、概率、随机变量及其分布列列一一.选择题选择题1 （2013福建高考理）满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为 ()A14 B13 C12 D10【解析】选 B本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力因为 a，b1,0,1,2，可分为两类：当 a0 时，b 可能为1 或 1 或 0 或 2，即b 有 4 种不同的选法；当 a0 时，依题意得 44ab0，所以 ab1.当 a1 时，b 有 4 种不同的选法，当 a1 时，b

2、可能为1 或 0 或 1，即 b 有 3 种不同的选法，当a2 时，b 可能为1 或 0，即 b 有 2 种不同的选法根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有 443213.2 （2013辽宁高考理）使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的 n 为 ()(3x1x x)A4 B5 C6 D7【解析】选 B本题主要考查二项式定理的应用和简单的计算问题，求解过程中注意展开式的通项公式应用的准确性由二项式定理得，Tr1C (3x)nrrC 3nrxn r，令r n(1x x)r n52n r0，当 r2 时，n5，此时 n 最小523 （2013新课标高考理）设 m 为正整数，(xy)2m展开式的

3、二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a7b，则 m ()A5 B6 C.7 D.8【解析】选 B本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力根据二项式系数的性质知：(xy)2m的二项式系数最大有一项，Ca，(xy)m2m2m1的二项式系数最大有两项，CCb.又 13a7b，所以m2m1m12m113C7C，将各选项中 m 的取值逐个代入验证，知 m6 满足等式，所以选择 B.m2mm2m14.（2013新课标 II 高考理）已知(1x)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 ()A4 B.3 C2 D1【解析】选 D本

4、题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力展开式中含 x2的系数为 C aC 5，解得 a1，故选 D. 2 51 55 （2013陕西高考理）设函数 f(x)Error!则当 x0 时，f(f(x)表达式的展开式中常数项为 ()A20B20 C15 D15【解析】选 A本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解依据分段函数的解析式，得 f(f(x)f()6，Tr1C (1)rxr3，x(1x x)r 6则常数项为 C (1)320.3 36 （2013陕西高考理）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信

5、号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ()A1 B. 1 C2 D.4224【解析】选 A本题考查几何概型的求解方法，涉及对立事件求解概率以及矩形和扇形面积的计算由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为 12 ，矩形面积为 2，则122所求概率为1 .22247.（2013江西高考理）5展开式中的常数项为 ()(x22x3)A80 B80 C40 D40【解析】选 C本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力Tr1C (x2)r 55rrC (2)rx105r，令 105r0，得

6、 r2，故常数项为 C (2)240.(2x3)r 52 58.（2013广东高考理）已知离散型随机变量 X 的分布列为X123P35310110则 X 的数学期望 E(X) ()A. B2 C. D33252【解析】选 A本题考查离散型随机变量的数学期望，考查考生的识记能力E(X)1 23 .353101101510329 （2013山东高考理）用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ()A243 B252 C261 D279【解析】选 B本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力能够组成三位数的个数是 910

7、10900，能够组成无重复数字的三位数的个数是 998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是 900648252.10 （2013大纲卷高考理）(1x)8(1y)4的展开式中 x2y2的系数是 ()A56 B84 C112 D168【解析】选 D本题考查二项式定理及通项公式在(1x)8展开式中含 x2的项为C x228x2，(1y)4展开式中含 y2的项为 C y26y2，所以 x2y2的系数为 286168，故2 82 4选 D.11 （2013湖北高考理）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 X，

8、则 X 的均值E(X) ()A. B. C. D.1261256516812575【解析】选 B本题考查正方体中的概率和期望问题，意在考查考生的空间想象能力P(X0)，P(X1)，P(X2)，271255412536125P(X3)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0181252712523 ，故选 B.541253612581251501256512 （2013四川高考理）从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是 ()A9 B10 C18 D20【解析】选 C本题考查对数运算、排列组合等基本知

9、识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力lg alg blg ，lg 有多少个不同值，只要看 不同值ababab的个数，所以共有 A 220218 个不同值2 513 （2013四川高考理）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A. B. C. D.14123478【解析】选 C本题考查不等式表示的平面区域、几何概型等知识，意在考查数形结合思想、转化与化归思想，同时考查考生导数与单调性的运算能

10、力设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为 y，则Error!要使两串彩灯亮的时刻相差不超过 2 秒，则Error!如图，不等式组Error!所表示的图形面积为 16，不等式组Error!所表示的六边形 OABCDE 的面积为 16412，由几何概型的公式可得 P .12163414 （2013安徽高考文）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ()A. B. C. D.232535910【解析】选 D本题主要考查古典概型的概率计算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”

11、，从五位学生中选三人的基本事件个数为 10， “甲和乙都未被录用”只有 1 种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率 P1.11091015 （2013大纲卷高考文）(x2)8的展开式中 x6的系数是 ()A28 B56 C112 D224【解析】选 C本题主要考查二项式定理由二项式展开式的通项公式 Tr1C anrbr，r n得含 x6的项是 T21C x8222，所以含 x6的项的系数为 22C 112. 2 82 816 （2013湖南高考文）已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ，则 ()12ADAB

12、A. B. C. D.12143274【解析】选 D本题主要考查几何概型与三角形的最大角的性质，结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化能力和运算能力由已知，点 P 的分界点恰好是边 CD 的四等分点，由勾股定理可得 AB22AD2，解得2，即.(34AB)(ADAB)716ADAB7417 （2013新课标高考文）从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ()A. B. C. D.12131416【解析】选 B本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力，难度较小从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,

13、3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的 2个数之差的绝对值为 2 的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是 .261318 （2013江西高考文）集合 A2,3，B1,2,3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是 ()A. B. C. D.23121316【解析】选 C本题主要考查随机事件、列举法、古典概型的概率计算，考查分析、解决实际问题的能力从 A，B 中各任意取一个数记为(x，y)，则有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共 6 个基本事件而这两数之和为 4 的有(2,2)，(3,1)，共 2 个基本事

14、件又从 A，B 中各任意取一个数的可能性相同，故所求的概率为 .261319 （2012重庆高考理）()8的展开式中常数项为 ()x12 xA. B. C. D1053516358354【解析】选 B 二项展开式的通项 Tr1C ()8r()rC ( )rx4r，当 4r0 时，r 8x12 xr 812r4，所以展开式中的常数项为 C ( )4.4 81235820 （2012广东高考理）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是 ()A. B. C. D.49132919【解析】选 D 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶若个位数为奇数时，这

15、样的两位数共有 C C 20 个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有1 5 1 4C C 25 个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有 202545 个其中，个1 5 1 5位数是 0 的有 C 15 个于是，所求概率为 .1 55451921 （2012山东高考理）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 ()A232 B252 C472 D484【解析】选 C 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有C C C 64 种，若 2 张同色，

16、则有 C C C C 144 种；若红色卡片有 1 张，1 41 41 42 31 22 41 4剩余 2 张不同色，则有 C C C C 192 种，剩余 2 张同色，则有 C C C 721 42 31 41 41 41 32 4种，所以共有 6414419272472 种不同的取法22 （2012四川高考理）(1x)7的展开式中 x2的系数是 ()A42 B35 C28 D21【解析】选 D 依题意可知，二项式(1x)7的展开式中 x2的系数等于 C 1521.2 723 （2012四川高考理）方程 ayb2x2c 中的 a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c 互不相同在所有这些

17、方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ()A60 条 B62 条 C71 条 D80 条【解析】选 B 显然方程 ayb2x2c 表示抛物线时，有 ab0，故该方程等价于yx2 .b2aca(1)当 c0 时，从3，2,1,2,3中任取 2 个数作为 a，b 的值，有 A 20 种不同的方法，2 5当 a 一定，b 的取值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有 4312 条，所以此时不同的抛物线共有 A 614 条；2 5(2)当 c0 时，从3，2,1,2,3中任取 3 个数作为 a，b，c 的值有 A 60 种不同的方法，3 5当 a，c 的值一定，而 b 的值互为相反数时，对应

18、的抛物线相同，这样的抛物线共有4A 24 条，所以此时不同的抛物线有 A 1248 条2 33 5综上所述，满足题意的不同的抛物线有 144862 条24.（2012辽宁高考理）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 ()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!【解析】选 C 利用“捆绑法”求解满足题意的坐法种数为 A (A )3(3！)4.3 33 325.（2012辽宁高考理）在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为 ()A. B. C. D.1613

19、2345【解析】选 C 设 ACx cm，CB(12x)cm,0 x12，所以矩形面积小于 32 cm2即为x(12x)320 x4 或 8x12，故所求概率为 .8122326 （2012天津高考理）在(2x2 )5的二项展开式中，x 的系数为 ()1xA10 B10 C40 D40【解析】选 D 二项式(2x2 )5展开式的第 r1 项为 Tr1C (2x2)5r( )1xr 51xrC 25r(1)rr 5x103r，当 r3 时，含有 x，其系数为 C 22(1)340.3 527 （2012陕西高考理）两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输

20、赢局次的不同视为不同情形)共有 ()A10 种 B15 种 C20 种 D30 种【解析】选 C 分三种情况：恰好打 3 局，有 2 种情形；恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局，输 1 局，第 4 局赢)，共有 2C 6 种情形；恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第2 35 局赢)，共有 2C 12 种情形所有可能出现的情形共有 261220 种2 428 （2012上海高考理）设 10 x1x2x3D2 BD1D2CD10，即 D1D2.12029.（2012大纲卷高考理）将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同

21、，则不同的排列方法共有 ()A12 种 B18 种 C24 种 D36 种【解析】选 A 由分步乘法计数原理，先排第一列，有 A 种方法，再排第二列，有 2 种3 3方法，故共有 A 212 种排列方法3 330 （2012北京高考理）设不等式组Error!表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 ()A. B. C. D.422644【解析】选 D 不等式组Error!表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x，y)，则随机事件：在区域 D 内取点，此点到坐标原点的距离大于 2 表示的区域就是圆x2y24 的外部，即图中的阴影部分

22、，故所求的概率为.4431 （2012北京高考理）从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ()A24 B18 C12 D6【解析】选 B 若选 0，则 0 只能在十位，此时组成的奇数的个数是 A ；若选 2，则 2 只2 3能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是 2A 12，根据分类加法计数原理得总个数2 3为 61218.32 （2012湖北高考理）设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a ()A0 B1 C11 D12【解析】选 D 512 012a(1341)2 012a，被 13 整除余 1a，结合

23、选项可得 a12 时，512 012a 能被 13 整除33 （2012湖北高考理）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ()A1 B. C. D.212121【解析】选 A 设扇形的半径为 2，其面积为，其中空白区域面积为 2244( )2，因此此点取自阴影部分的概率为1 .4122234 （2012浙江高考理）若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ()A60 种 B63 种 C65 种 D66 种【解析】选 D 对于 4 个数之和为偶数，可分

24、三类，即 4 个数均为偶数，2 个数为偶数 2个数为奇数，4 个数均为奇数，因此共有 C C C C 66 种4 42 4 2 54 535 （2012福建高考理）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P恰好取自阴影部分的概率为 ()A. B. C. D.14151617【解析】选 C 阴影部分的面积为(x)dx( x x2) ，故所求的概率 P1 0 x233212|1 016 .阴影部分的面积正方形OABC的面积1636 （2012安徽高考理）(x22)(1)5的展开式的常数项是 ()1x2A3 B2 C2 D3【解析】选 D (1)5的展开式的通项为 Tr1C

25、 ()5r(1)r，r0,1,2,3,4,5.当因式1x2r 51x2(x22)中提供 x2时，则取 r4；当因式(x22)中提供 2 时，则取 r5，所以(x22)(1)1x25的展开式的常数项是 523.37 （2012安徽高考理）6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为 ()A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D2 或 4【解析】选 D 不妨设 6 位同学分别为 A，B，C，D，E，F，列举交换纪念品的所有情况为 AB，AC，AD，AE，AF

26、，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有 15种因为 6 位同学之间共进行了 13 次交换，即缺少以上交换中的 2 种第一类，某人少交换 2 次，如 DF，EF 没有交换，则 A，B，C 交换 5 次，D，E 交换 4 次，F 交换 3 次；第二类，4 人少交换 1 次，如 CD，EF 没有交换，则 A，B 交换 5 次，C，D，E，F 交换 4次38 （2012新课标高考理）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ()A12 种 B10 种 C9 种 D8 种【解

27、析】选 A 先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有 C C 12 种安排方案1 2 2 439 （2012湖北高考文）如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A. B. C1 D.121122【解析】选 C 设 OAOBr，则两个以 为半径的半圆的公共部分面积为 2 ( )r214r22 ( )2，两个半圆外部的阴影部分面积为 r2 ( )2212r22r281412r22r28，所以所求概率为1 .2r282 2r2814r2240 （2

28、012四川高考文）(1x)7的展开式中 x2的系数是 ()A21 B28 C35 D42【解析】选 A 依题意得知，二项式(1x)7的展开式中 x2的系数等于 C 121.2 741 （2012四川高考文）方程 ayb2x2c 中的 a，b，c2,0,1,2,3，且 a，b，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ()A28 条 B32 条 C36 条 D48 条【解析】选 B 依题意得，当方程 ayb2x2c 表示抛物线时，有 yx2 ，ab0，又b2acaa，b，c2,0,1,2,3且 a，b，c 互不相同，因此相应的数组a，b，c共有 A C 36 组，2 41 3

29、其中当 b2 与 b2 时，相应的(a，b，c)对应相同的抛物线的条数有 C C 4，因此满1 21 2足题意的不同的抛物线共同有 36432 条42 （2012辽宁高考文）在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2的概率为 ()A. B. C. D.16132345【解析】选 C 设|AC|x cm,0 x20，则 x212x200,2x0”发生的概率为_【解析】本题考查了几何概型与随机模拟等知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力因为 0a1，由 3a10 得 0”发生的概率为13 .11312

30、3【答案】2373 （2013安徽高考理）若8的展开式中 x4的系数为 7，则实数 a_.(xa3x)【解析】本题考查二项展开式的通项二项式8展开式的通项为(xa3x)Tr1C arx8 r，令 8 r4，可得 r3，故 C a37，易得 a .r 843433 812【答案】1274 （2013浙江高考理）设二项式5的展开式中常数项为 A，则 A_.(x13x)【解析】本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力Tr1(1)rC x，令 155r0，得 r3，故常数项 A(1)r 5155r63C 10.3 5【答案】1075 （2013浙江高考理

31、）将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【解析】本题考查对排列、组合概念的理解，排列数、组合数公式的运用，考查运算求解能力以及利用所学知识解决问题的能力 “小集团”处理，特殊元素优先，C C A A 480.3 6 1 2 2 2 3 3【答案】48076 （2013重庆高考理）从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_(用数字作答)【解析】本题考查排列组合问题，意在考查考生的思维能力直接法分类，3 名骨科，内科、脑外科各

32、 1 名；3 名脑外科，骨科、内科各 1 名；3 名内科，骨科、脑外科各 1 名；内科、脑外科各 2 名，骨科 1 名；骨科、内科各 2 名，脑外科 1 名；骨科、脑外科各 2 名，内科 1 名所以选派种数为C C C C C C C C C C C C C C C C C C 590.3 31 41 53 41 31 53 51 31 42 42 51 32 32 51 42 32 41 5【答案】59077.（2013新课标 II 高考理）从 n 个正整数 1,2，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为，则 n_.114【解析】本题考查排列组合、古典概型等基本知识，

33、意在考查考生的基本运算能力与逻辑分析能力试验基本事件总个数为 C ，而和为 5 的取法有 1,4 与 2,3 两种取法，由古典概型概率计算2 n公式得 P，解得 n8.2C2 n114【答案】878 （2013北京高考理）将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】本题考查排列组合中的分组安排问题，意在考查考生分析问题、解决问题的能力按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组，然后再分配给 4 人，连号的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5，

34、故其方法数是 4A 96.4 4【答案】9679 （2013山东高考理）在区间3,3上随机取一个数 x，使得|x1|x2|1 成立的概率为_【解析】本题考查绝对值不等式的解法、几何概型等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力当 x1 时，不等式|x1|x2|1，即(x1)(x2)31，此时无解；当12 时，不等式|x1|x2|1，即 x1x231，解得 x2.在区间3,3上不等式|x1|x2|1 的解集为 1x3，故所求的概率为 .313313【答案】1380 （2013大纲卷高考理）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)【解析】本题考查排列组合知识法一

35、：(间接法)A A A 480.6 62 2 5 5法二：(直接法)A A 480.4 4 2 5【答案】48081 （2013四川高考理）二项式(xy)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是_(用数字作答)【解析】本题考查二项式的通项，意在考查考生的运算能力因为 C 10，故含 x2的项3 5的系数是 10.【答案】1082.（2013天津高考理）6的二项展开式中的常数项为_(x1x)【解析】本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力二项式6展(x1x)开式的第 r1 项为 Tr1C x6r()rC (1)rx6 r，当 6 r0，即 r4 时是常数r 61xr 63232项，所以

36、常数项是 C (1)415.4 6【答案】1583 （2013重庆高考文）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_【解析】本题主要考查古典概型，考查考生的逻辑思维能力三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共 6 种排法，其中甲、乙相邻有 4 种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为 .4623【答案】2384 （2013江苏高考文）现有某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9)可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为_【解析】本题考查古典概型的相关知识，意在考查用枚举法求概率基本事件总数为 N7963，其中 m，n 都为奇数的事件

37、个数为 M4520，所以所求概率 P.MN2063【答案】206385 （2013大纲卷高考文）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)【解析】本题主要考查组合、分步计数乘法原理的应用第一步决出一等奖 1 名有 C 种1 6情况，第二步决出二等奖 2 名有 C 种情况，第三步决出三等奖 3 名有 C 种情况，故可能2 53 3的决赛结果共有 C C C 60 种情况1 6 2 5 3 3【答案】6086 （2013福建高考文）利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_【解析】本题主要考查几

38、何概型与随机模拟等基础知识，意在考查或然与必然思想，考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力由题意，得 0a ，所以根据几13何概型的概率计算公式，得事件“3a1E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，且两人中奖与否互不影2325响记“这两人的累计得分 X3”的事件为 A，则事件 A 包含有“X0” ， “X2” ， “X3”三个两两互斥的事件，因为 P(X0) ，P(X2) ，P(X3) ，(123) (125)1523(125)25(123)25215所以 P(A)P(X0)P(X2)P(

39、X3)，1115即这两人的累计得分 X3 的概率为.1115(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1，X2的分布列如下：X1024P194949X2036P9251225425所以 E(X1)0 2 4 ，19494983E(X2)036.9251225425125因为 E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大130 （2013辽宁高考理）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取3 道题解答(1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率；(2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲

40、类题，1 道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是 ，35答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数，45求 X 的分布列和数学期望解：本题主要考查概率的综合应用，离散型随机变量的分布列和数学期望同时也考查考生分析问题以及应用知识解决实际问题的能力(1)设事件 A“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题” ，则有 “张同学所取的 3 道题A都是甲类题” 因为 P( ) ，所以 P(A)1P( ) .AC3 6C 3 1016A56(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.P(X0)C 02 ；0 2(35) (25)154125P(X1)C 11 C

41、02 ；1 2(35) (25)150 2(35) (25)4528125P(X2)C 20 C11 ；2 2(35) (25)151 2(35) (25)4557125P(X3)C 20 ；2 2(35) (25)4536125所以 X 的分布列为：X0123P4125281255712536125所以 E(X)01232.4125281255712536125131 （2013安徽高考理）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责已知该系共有 n 位学生，每次活动均需该系 k 位学生参加(n 和 k 都是固定的正整数)假设李老师和张老师分别将各自

42、活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使 P(Xm)取得最大值的整数 m.解：本题主要考查古典概型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力(1)因为事件 A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以 与 相互独立由于 P(A)P(B) ，故 P( )P( )ABCk1n1Ck nknAB1 ，因此学生甲收

43、到活动通知信息的概率 P12.kn(1kn)2knk2n2(2)当 kn 时，m 只能取 n，有 P(Xm)P(Xn)1.当 kn 时，整数 m 满足 kmt，其中 t 是 2k 和 n 中的较小者由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给 k 位同学”所包含的基本事件总数为(C )2.当 Xm 时，k n同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为 2km，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为 mk.由乘法计数原理知：事件Xm所含基本事件数为C CCC CC.此时k n 2kmkmknkk n mkkmknkP(Xm).Ck nC2kmkCmknkCk n2CmkkCm

44、knkCk n当 kmt 时，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)mkkmknkm1kkm1knk2(nm)(2km)m2k.k12n2假如 k2kt 成立，则当(k1)2能被 n2 整除时，k12n2k2k2k1t.故 P(Xm)在 m2k和 m2k1处k12n2k12n2k12n2k12n2达最大值；当(k1)2不能被 n2 整除时，P(Xm)在 m2k处达最大值(注：x表示不超过 x 的最大整数)k12n2下面证明 k2kt.k12n2因为 1kn，所以 2kk0.k12n2knk21n2kk1k21n2k1n2而 2kn0，故 2kn，显然 2k2k.k12n2nk12n2k12n

45、2k12n2因此 k2kt.k12n2132 （2013浙江高考理）设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若E() ，D() ，求 abc.5359解：本题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望、方差等概念及相关计算，考查抽象概括以及运用所学知识分析问题解决问题的能力(1)

46、由题意得 2,3,4,5,6.故 P(2) ，3 36 614P(3) ，2 3 26 613P(4)，2 3 12 26 6518P(5) ，2 2 16 619P(6).1 16 6136所以 的分布列为23456P141351819136(2)由题意知 的分布列为123Paabcbabccabc所以 E() ，aabc2babc3cabc53D()222 .(153)aabc(253)babc(353)cabc59化简得Error!解得 a3c，b2c，故 abc321.133 （2013重庆高考理）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4

47、个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3 红 1 蓝200 元二等奖3 红 0 蓝50 元三等奖2 红 1 蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E(X)解：本题主要考查随机变量的概率、分布列和数学期望，意在考查考生的阅读理解能力以及转化与化归能力设 Ai表示摸到 i 个红球，Bj表示摸到 j 个蓝球，则 Ai(i0,1,2,3)与Bj(

48、j0,1)独立(1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1).C1 3C2 4C3 71835(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1) ，C3 3C3 7131105P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0) ，C3 3C3 7232105P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1) ，C2 3C1 4C3 71312105435P(X0)1 .1105210543567综上知 X 的分布列为X01050200P6743521051105从而有 E(X)0 10502004(元)6743521051105134 （2013新课标

49、高考理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品12是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望解：

50、本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等，意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A(A1B1)(A2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2)41611611612.364(2)X 可能的取值为

51、 400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，4161161116116P(X800) .14所以 X 的分布列为X400500800P111611614EX400500800 506.25.111611614135 （2013新课标 II 高考理）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1t该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度

52、内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X100,110)则取 X105，且 X105 的概率等于需求量落入100,110)的频率)，求 T 的数学期望解：本题考查概率、统计的知识，考查频率分布直方图以及随机变量的分布列及其期望的基本求解方法，意在考查考生的理解能力以及基本运算能力(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000，当 X130,150

53、时，T50013065 000.所以TError!(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元，当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元概率的估计值为 0.7.(3)依题意可得 T 的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.136 （2013北京高考理）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气

54、质量指数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解：本题考查统计图、古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等基础知识，意在考查数形结合思想和考生的数据处理能力、运算求解能力设 Ai表示事件“此人于 3 月 i 日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)，且113AiAj(ij)(1)设 B 为事件“此人到达当日空气重度

55、污染” ，则 BA5A8.所以 P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).213(2)由题意可知，X 的所有可能取值为 0,1,2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，413P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，413P(X0)1P(X1)P(X2).513所以 X 的分布列为X012P513413413故 X 的期望 EX012.5134134131213(3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大137 （2013陕西高考理）在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演

56、唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列及数学期望解：本题考查实际生活中的古典概型和相互独立事件的概率的计算，以及分布列和期望的计算(1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手” ，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手” ，则 P(A)

57、，P(B) .C1 2C2 323C2 4C3 535事件 A 与 B 相互独立，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 P(A )P(A)P( )P(A)1P(B)BB .2325415(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手” ，则 P(C) .C2 4C3 535X 可能的取值为 0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P(A ) ，B C132525475P(X1)P( )P( B )P( C) ，A B CACA B2325251335251325352075P(X2)P(AB )P(A C)P( BC) ，CBA2335252325351335353

58、375P(X3)P(ABC) ，2335351875X 的分布列为X0123P475207533751875X 的数学期望 EX0123.475207533751875140752815138 （2013江西高考理）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求 X 的分布列和数学期望解：本题将平面向量与概率统计知识相交汇，创新味十足，属能

59、力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、相互独立事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C 28 种，X0 时，两向量夹角为直2 2角共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X0) .82827(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为2，1,0,1，X2 时，有 2 种情形；X1 时，有8 种情形；X1 时，有 10 种情形所以 X 的分布列为：X2101P1145142727EX(2)(1)0 1 .1145142727314139.（2013山东高考理）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比

60、赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设1223各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列及数学期望解：本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力(1)记“甲队以 30 胜利”为事件 A1， “甲队以 31 胜利”为事件 A2， “甲队以 32 胜利”为事件 A3，由题意知，