三角形的外心内心垂心重心

1、三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心.的重心一般用字母表示.【性质】1. 外心到三顶点等距，即.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即.3.二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.的内心一般用字母表示.【性质】1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积三角形的周长内切圆的半径3.；三角形的周长的一半.4.，.三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.的重心一般用字

2、母表示.【性质】1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即.2. 的垂心为，的垂心为，的垂心为.四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.的重心一般用字母表示.【性质】1.顶点与重心的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍.即3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值即.4. 向量性质：（1）； （2），5.三角形“四心”的向量形式：结论1：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心.结论2：若点为ABC所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心.结论3：若点满足，则点为的重心.结论4：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的重心.结论5：若点为所在的平面内一点，并且

3、满足（其中为三角形的三边），则点为ABC的内心.结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心.结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心.向量和“心”一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M图图【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，

4、动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图

5、图【解析】 若，则，则是的外心，如图.【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心.【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量，所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图.练习：1.已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C