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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上专题复习(六)求最短路径问题最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高,这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题如图所示,AB是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D两个用水点,现有两种铺设管道的方案方案一:分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,沿CE,DF铺设管道;方案二:连接CD交AB于点P,沿PC、PD铺设管道问:这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料,为什么?【思路点拨】方案一管道长为CEDF,方案二管道长为PCPD,利用垂线段最短即可比较出大小【解答】按方案一铺设管道更节省材料理由如下:CEAB,DFAB,
2、而AB与CD不垂直,根据“垂线段最短”,可知DFDP,CECP,CEDFCPDP,沿CE、DF铺设管道更节省材料本题易错误的利用两点之间线段最短解决,解答时需要准确识图,找到图形对应的知识点1(2015·保定一模)如图,点A的坐标为(1,0),点B(a,a),当线段AB最短时,点B的坐标为( )A(0,0)B(,)C(,)D(,)2(2015·杭州模拟)在直角坐标系中,点P落在直线x2y60上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( )A. B3 C. D.3(2013·内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线ykx3k4与O交于B
3、、C两点,则弦BC的长的最小值为_4(2015·碑林区期中)如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和最小;(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题(2015·乐陵模拟)(1)如图1,直线同侧有两点A,B,在直线MN上求一点C,使它到A、B之和最小;(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展:如图2,点P在AOB内部,试在OA、OB上分别找出两点E、F,使PEF周长最短;(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问
4、题:如图3,在五边形ABCDE中,在BC,DE上分别找一点M,N,使得AMN周长最小;(保留作图痕迹不写作法)若BAE125°,BE90°,ABBC,AEDE,AMNANM的度数为_【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短,作A关于直线MN的对称点E,连接BE交直线MN于C,即可解决;(2)作P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD交OA、OB于E、F,此时PEF周长有最小值;(3)取点A关于BC的对称点P,关于DE的对称点Q,连接PQ与BC相交于点M,与DE相交于点N,PQ的长度即为AMN的周长最小值;根据三角形的内角和等于180°求出PQ,再根据三角形的外角以及
5、三角形内角和知识运用整体思想解决【解答】(1)作A关于直线MN的对称点E,连接BE交直线MN于C,连接AC,BC,则此时C点符合要求图1图2 图3(2)作图如图(3)作图如图BAE125°,PQ180°125°55°.AMNPPAM2P,ANMQQAN2Q,AMNANM2(PQ)2×55°110°.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时,利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点;“一点两线型”求三角形周长最短问题,作点关于两直线的对称点,连接两个对称点与两直线分别有
6、两个交点,顺次连接所给的点与两交点即可得三角形;“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可1(2015·内江)如图,正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PDPE最小,则这个最小值为( )A. B2 C2 D.2(2015·遵义)如图,在四边形ABCD中,C50°,BD90°,E、F分别是BC、DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为( )A50° B60° C70° D80°3(2015·攀枝花)如图,在边长为2的等边ABC
7、中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BEDE的最小值为_4(2015·鄂州)如图,AOB30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分AOB,且OP6,当PMN的周长取最小值时,四边形PMON的面积为_5(2015·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),DOB60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,1),当EPBP最短时,点P的坐标为_6(2015·广元改编)如图,已知抛物线y(x2)(xm)(m0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m
8、的值; (2)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使AHCH最小,并求出点H的坐标7(2015·成都改编)如图,一次函数yx4的图象与反比例y(k为常数,且k0)的图象交于A,B两点在x轴上找一点P,使PAPB的值最小,求满足条件的点P的坐标8如图所示,已知点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上的一动点,O的半径为1,请问:P在MN上什么位置时,APBP的值最小?并给出APBP的最小值9(2015·达州)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C
9、(5,0),二次函数yx2bxc的图象抛物线经过A,C两点(1)求该二次函数的表达式;(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;(3)抛物线上是否在点P,使ODP的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由参考答案类型1利用“垂线段最短”求最短路径问题1D2.C3.24提示:直线ykx3k4必过点D(3,4),当BC过点D且BCOD时最小点D的坐标是(3,4),OD5.OBOA13,根据勾股定理可得BD12.BC的长的最小值为24.4.(1)两点之间线段最短,连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距
10、离之和最小(2)过H作HGEF,垂足为G.则沿HG开渠最短,根据垂线段最短类型2利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1B2.D3.提示:作B关于AC的对称点B,连接AD、AB、BB、BD,交AC于E,此时BEEDBEEDBD,根据两点之间线段最短可知BD就是BEED的最小值,B、B关于AC对称,AC、BB互相垂直平分四边形ABCB是平行四边形三角形ABC是边长为2,D为BC的中点,ADBC.AD,BDCD1,BB2AD2,作BGBC的延长线于G,BGAD,在RtBBG中,BG3.DGBGBD312.在RtBDG中,BD.故BEED的最小值为.4.36545.(23,2)6.(1)抛物线过点G
11、(2,2)时,(22)(2m)2,即m4.(2)m4,y(x2)(x4)令y0,则(x2)(x4)0,解得x12,x24.A(2,0),B(4,0)抛物线对称轴为直线x1.令x0,则y2,C(0,2)B点与A点关于对称轴对称,连接BC,BC与对称轴的交点便为所求点H.B(4,0),C(0,2),求得线段BC所在直线为yx2.当x1时,y,H(1,)7.联立解得或A(1,3),B(3,1)B点关于x轴的对称点B坐标为(3,1),连接AB交x轴于点P,连接BP.设直线AB为ykxb,联立得解得y2x5.令y0,得x.P(,0)即满足条件的P的坐标为(,0)8.作A关于MN的对称点A,根据圆的对称性
12、,则A必在圆上,连接BA交MN于P,连接PA,则PAPB最小,此时PAPBPAPBAB.连接OA、OA、OB,AONAON60°.,BONAON30°.AOB90°.AB,即APBP的最小值是.9.(1)将A(0,4)、C(5,0)代入二次函数yx2bxc,得解得二次函数的表达式yx2x4.(2)延长EC至E,使ECEC,延长DA至D,使DADA,连接DE,交x轴于F点,交y轴于G点,连接DG,EF,DE,GDGD,EFEF,(DGGFEFED)最小DEDE,由E点坐标为(5,2),D(4,4),得D(4,4),E(5,2)由勾股定理,得DE,DE3,(DGGFEFED)最小DEDE3,即四边形DEFG周长的最小值为3.(3)如下图:OD4.SODP12.点P到OD的距离3.过点O作OFOD,取OF3,过点F作直线FGOD,交y轴于G点,交抛物线于点P1,P2,在RtOGF中,OG6.直线GF的解析式为yx6.将yx6代入yx2x4得:x6x2x4.解得
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