2019教育第十二章第75讲.doc

1、第1页第 75 讲不等式选讲考试要求1.不等式的基本性质(B 级要求);2.|ax+ b|c, |x a|+ Xb|wc 型不等式的解法(B 级要求)；3.不等式证明的基本方法(比较法、综合法、 分析法)(B 级要求)；4.算术一几何平均不等式与柯西不等式(A 级要求)；5.利用不 等式求最大(小)值(B 级要求)；6.运用数学归纳法证明不等式(B 级要求).诊断自测1. 求不等式|x 1 X 5|2 的解集.解 当 x 1 时，原不等式可化为 1 x (5 x)2, 42，不等式恒成立，二 x 1.2当 1x5 时，原不等式可化为 x 1 (5 x)2,二 x4，. 1x5 时，原不等式可化

2、为 x 1 (x 5)2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为( ，4).2. 若存在实数 x 使 x a|+ x 1| |(x a) (x1)1= |a1|，要使 |x a| + x 1| 3 有解，可使 |a1| 3，二3 a 1 3，二2 a4.故实数 a 的取值范围为2, 4.3. 设 a, b, m, n R，且 a2+ b2= 5, ma+ nb= 5,求.m2+ n2的最小值.解 根据柯西不等式(ma+ nb)2 (a2+ b2)(m2+ n2),得 25 5,m2+ n2的最小值为 5.4. 若 a, b, c (0,+x),且 a+ b+ c= 1,求a+.b+ c 的最大

3、值.解(，a+ b+ ,c)2= (1xa+ 1xb+ 1xc)20, y0,若不等式-+1+0 恒成立， 求实数入的最小值.x y x+y解/x0, y0,原不等式可化为 圧(1+1)(x+ y)= 2+y+x.x y 八x yT2 +，+ y2 + 2、卩 = 4,当且仅当 x= y 时等号成立.x y、xyi11 1丨 x+ y (x+ y).= 4,即一圧 4,X 4.卫 y 丿_min故入的最小值为一 4.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1) 含绝对值的不等式 xia 的解集：不等式a0a=0a0 xia(x,a)U(a,+)( x,0)U(0,+x)R(2)|ax+ b|0)和 |

4、ax+ b| c(c0)型不等式的解法：1|ax+b|c? ax+ bc 或 ax+ bw c；(3) |x a|+ |x b| c(c0)和 |x a|+ |x b|wc(c0)型不等式的解法：1利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；2利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；3通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2. 含有绝对值的不等式的性质(1) 如果 a, b 是实数，则|a|b|w|a)|w|a|+ |b|，当且仅当 ab0 时，等号成立.如果 a, b, c 是实数，那么|a c|w|a b|+ |b c|,当且仅当(a b)(b 0时,

5、等号成立.3. 不等式证明的方法第3页(1)比较法：1作差比较法：知道 ab? a b0, ab? a bb 只要证明 a b0 即可，这种 方法称为作差比较法.2作商比较法：由 ab0? ai 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时，要证明 ab，只要证明琴1 即 可，这种方法称为作商比较法.(2) 综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所 要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3) 分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一 个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，

6、这种证明 方法叫分析法.即“执果索因”的方法.(4) 反证法和放缩法：1先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明 显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方 法叫做反证法.2在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简 并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称 为放缩法.(5) 数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可 以用以下两个步骤：1证明当 n= n0时命题

7、成立；2假设当 n= k(k N*，且 kn。)时命题成立，证明 n = k+ 1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n的所有正整数都成立.这种 证明方法称为数学归纳法.第4页4.几个常用基本不等式(1) 柯西不等式：1柯西不等式的代数形式：设 a,b,c,d 均为实数，则(a2+ b2)(c2+ d2) (ac+ bd)2(当 且仅当 ad = bc 时，等号成立).2柯西不等式的向量形式：设a， B为平面上的两个向量，贝U1 如3|a，BI，等号当 且仅当a， B共线时成立3柯西不等式的三角不等式：设 xi， yi， X2，y， X3， y3 R，则_ (xi

8、X2)2+( yi y2)2+(X2 x3)2+(y2-y3)2(xi X3)2+( yi y3)2.4柯西不等式的一般形式：设 n 为大于 i 的自然数，ai，bi(i = i，2,，n)为实数，则(ai+ 空+ an)(bi+ b2+-+(aibi+ a2b2+-+ anbn)2,等号当且仅当也=捱= 3 时成立(当 a 尸 0 时，约定 bi= 0, i = i, 2,，n).aia2an(2) 算术一几何平均不等式若 ai, a2,，an为正数，则+2；土一 *aia2an，当且仅当 ai= a2= =an时，等号成立.考点一绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值【例 i U (2

9、0i9 全国I卷)已知函数 f(x)= |x+ i| 2|x a|, a0.(i)当 a= i 时，求不等式 f(x)i 的解集；若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.解 (i)当 a= i 时，f(x)i 化为 x+ i| 2x i|10.当 x0,无解；2当ivxvi 时，不等式化为 3x 20,解得 3x I 时，不等式化为一 x+ 20,解得 Kxi 的解集为 ix |x2Lx i 2a, xa.第5页所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a311, 0 , B(2a +1,0)，C(a，a+1)，22 ABC 的面积为

10、3(3+ 1)2.22由题设得 3(a+ 1) 6,故 a2.所以 a 的取值范围为(2,+x).规律方法形如 X a|+ |x b| c(或wc)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(一x,a, (a, b, (b,+ )(此处设 avb)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式 求解，然后取各个不等式解集的并集；几何法，利用|x a|+ X b|c(c0)的几何意义：数轴上到点 xi= a 和 x2= b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图象法：作 出函数 yi=x a|+ |x b|和 y2= c 的图象，结合图象求解.【

11、例 1 2(1)对任意 x, y R，求|x 1|+ |x|+ |y 1|+ |y+ 1|的最小值.(2)对于实数 x, y,若|x 1| 1, y 2| l(x 1) X|= 1,|y1|+ |y+1| l(y1)(y+1)匸 2,1|+ xi+ |y1|+ |y+1| 1 + 2=3.|x1|+ x|+ |y1|+ |y+1|的最小值为 3.(2)|x2y+1|=|(x1)2(y1)|w|x1|+|2(y2)+2|w1+2|y2|+2 |a)| |a|b|.(3) 利用零点分区间法.考点二绝对值不等式的综合应用1 1第6页【例 2】(2019 全国U卷)已知函数 f(x)= x 2 + x

12、+ 2 , M 为不等式 f(x)2 的 解集(1)求 M;证明：当 a，b M 时,|a+ b|1 + ab|.12x,xW 2，(1) 解 f(x)=1,1x1当 x 2 时，由 f(x)2 得一 2x 1,所以1xW-；1 1当2x2 时，f(x) -时，由 f(x)2 得 2x2,1解得 x1，所以 x1.所以 f(x)2 的解集 M = x| 1x1.证明由(1)知，当 a，b M 时，一 1a1， 1b1，从而(a+ b)2 (1 + ab)2a+ b ab? 1 (a? 1)(1 b2)0，即(a+ b(1 + ab)2，因此 |a+ b|3,求实数 a 的取值范围.解(1)当

13、a 2 时，f(x)|2x 2|+ 2.第7页解不等式 |2x 2| + 2W6 得一 1Wx 3.因此 f(x)W6 的解集为x| 1Wx |2x a+ 1 2x|+ a= |1 a|+ a,当x=2 时等号成所以当 x R 时，f(x) + g(x) 3 等价于|1 一 a|+ a3.当 a 3,无解. 当 a1时，等价于 a 1 + a3,解得 a2. 所以实数 a的取值范围是2 , +).考点三证明不等式例31】若 a, b R，求证:|a+bv-JOL+JbL1 + |a+ b1+ |a|+1 + |b证明 当|a+ b|= 0 时，不等式显然成立当 |a+ b|M0时,由 0|a+

14、 b|v|a| + |b|?所以匕|a+ b|1V1 二1 + |a|+ |b|a|+回1 + |a|+ |b|a|+|b|v_JaL+|b|1 + |a|+ |b|+1 + |a|+ |b|v1 + |a|+1+ |b规律方法(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有:变换分式的分子和分母，如丄 11112k2k (k+1)，也1；第9页aa+ m3真分数性质“若 00,且 ab+ bc+ ca= 1.求证：(1)a+ b+ c 3;崔+、ac+、护和B+c).证明(1)要证 a+ b+ c“3由于 a, b, c0,因此只需证明(a+ b+ c)23.即证：a2

15、+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca)3,而 ab+ bc+ ca= 1,故需证明：a2+ b2+ c2+ 2(ab+ bc+ ca) 3(ab+ bc+ ca). 即证：a2+ b2+ c2 ab+ bc+ca.a2+ b2b2+ c2c2+ a2222 (而这可以由 ab+ bc+ ca 3.1因此要证原不等式成立，只需证明灵嬴Ja+Ub+Uc.即证 a bc+ b ac+ c ab 1,即证 a bc+bac+ c ab ab+ bc+ ca. a . bc+ b . ac+ c . ab ab+ bc+ ca 当且仅当 a= b= c=于时等号成立.原不等式成立.而 a bc=

16、 ab acab+ acb acab+ bc.2, c.abbc+ ac原不等式成立.a+ b+ c.abc第10页规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没 有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径, 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆111 1【训练 2】 设 n 是正整数，求证：二门+匸 6+ 2nn(k= 1，2，n)，得1 1 1一2n n+ k n1w 丄2n n+1 n1 1 1w2n n+ 2 n原不等式成立考点四柯西不等式的应用【例 4】(2019 苏、锡、常、镇二模)已知 a，b，c 为正数，且 a+ b+ c

17、= 3,求，3a+ 1+ 3b+ 1+ 3c+ 1 的最大值.解 由柯西不等式可得(.3a+1+3b+1+. 3c+1)2w12+12+12( . 3a+1)2+(. 3b+1)2+(. 3c+1)2=3X12, ,3a+ 1 + . 3b+ 1+ 3c+ 1w6,当且仅当.3a+ 1= 3b+ 1 = .3c+ 1 时取等号. , 3a + 1 +. 3b+ 1 + ,3c+ 1 的最大值是 6.规律方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式， 当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进 行证明当 k= n 时,1 1 1w2nn+nn，1

18、卫三丄+22n n+ 1+11 nn + 2+2n (x+y+ z) = 27. 又(x+ 2y + 3z) + (y+2z+ 3x) + (z+ 2x+ 3y) = 6(x+ y+ z) = 18 3, .+ +亠二x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y 18,32当且仅当 x= y=z=.3 时，等号成立.一、必做题1.在实数范围内，求不等式 岷一 2|- 1| b0,求证：2a b 2ab a b.33222222证明 2a b (2ab a b) = 2a(a b ) + b(a b ) =(a2 b2)(2a+ b) = (a b)(a+b)(2a+ b).(2)

19、利用柯西不等式求最值的一般结构为:【训3】 已知大于 1 的正数 x, y，z满足x+y+匚3 3求证：x+y+z+2y2yx2解 k2|0，Jx2W2得 Owxw4.2 2(ai+ a2+ + a1、+ 云 (i第12页因为 ab0，所以 a b0， a + b0， 2a + b0， 从而(a b)(a+ b)(2a+ b)0，即卩 2a? b2ab ab.3.(2019 江苏卷)已知 x0，y0,证明：(1 + x+ y )(1 + x + y)9xy.证明 因为 x0, y0,所以 1+ x+y233歹0,2第13页1 + x2+ y33x2y0，故(1 + x+ y2)(1 + x2+

20、 y)3 3Xy=9xy.2 2 24.(2019 徐州模拟)设 a、b、c 是正实数，且 a+ b+ c= 9,求彳+石+的最小值心222、解v(a+b+c)2+B+=(,a)2+ (,b)2+ ( . c)2 If L2 2 2 2 2 22+2+22a+b+2 的最小值为2.5.（一题多解）已知 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc= 1，求证：，a+ ,b1 1+_a+b2-以上三式相加，得：+ +.a+、：b+ , c.b, c 互不相等， + b+ 2 ,a+. b+ c.1bc+ ca ca+ ab ab+ bc -222c= bc+ ca+ ab=2+2+2 abc

21、+ a bc+ ab c= a/a+/b+/c=2 , b.第14页6.设 x, y, z R，且满足：x2+ y2+ z2= 1, x+ 2y+ 3z= _ 14,求 x+ y+ 乙解 由柯西不等式可得(x?+ y2+ z2)(l2+ 2?+ 3?) (x+ 2y +3z)，即(x+ 2y+ 3z)?w14,因此 x+ 2y+因为 x+ 2y+ 3z=/i4，所以 x=辱彳，解得 x=，y.143143、14二,，于是 x+ y+ z=厂.1 1 17.(2019 南通二模)设 x, y, z 均为正实数，且 xyz= 1,求证：氏+茗+兀xy 入 y y 厶厶入+ yz+ zx.证明 因为 x, y, z 均为正实数，且 xyz= 1,1 2 1 2 1 2所以 h + xy = 2yz, p + yz = 2xz,它 + xz= 2xy,当且仅当 x= y= 1 时 xy3x3y z3yz x z33取等号.1 1 1所以 x3y+Tz+ z3xxy+ yz+8.(2019 苏州模拟)已知 a, b, c R，且 2a + 2b+ c= 8,求(a 1)2+ (b+ 2)2+ (c3)2的最小值.解由柯西不等式得2 2 2 2(