两角和与差的正弦余弦和正切公式(教师版)

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 .3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能利用两角和 (差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆 )1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( ±)sin_cos_± cos_sin_；(2)cos( ±)cos_cos_?sin_sin_；tan ± tan (3)tan( 

2、7;)1?tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos ；(2)cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2；2tan (3)tan 2 1tan23有关公式的变形和逆用(1)公式 T ( )的变形： tan tan tan( )(1tan_ tan_ )；tan tan tan( )(1tan_ tan_ )(2)公式 C2的变形：1sin2 2(1 cos_2 )； cos2 12(1cos_2)(3)公式的逆用 1±sin 2 (sin ± cos )2； sin ± cos 2sin ±4 . 4

3、辅助角公式22 其中bbcos bsin(a)sin)(tan1 (质疑夯基 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×” )(1)存在实数 ，使等式 sin( )sin sin 成立()(2)在锐角 ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B大小不确定()(3)公式 tan( )tan tan 可以变形为 tan tan 1tan tan tan( )(1tantan)，且对任意角 ，都成立 ()公式 22)中 的取值与， 的(4) bsin(xasin xbcos xb值无关 ()答案： (1)(2)×(3)×(4)×2 (20

4、15 ·标全国课 卷)sin 20°cos 10° cos 160°sin 10 °()A3B.3C1D.12222解析： sin 20°cos 10° cos 160°sin 10° sin 20°cos 10°1cos 20°sin 10° sin(20° 10°)sin 30° 2.答案： D3 (经典再现 )已知 sin 22，则 cos2( ) ()431112A.6B.3C.2D.3解析： sin 22， cos2 3421

5、cos 2 21 sin 21312226.答案： A·重庆卷 若tan 1，tan( )1，则 tan ()4(2015)321155A.7B.6C.7D.6tan（） tan 解析： tan tan( )1tan （ ）·tan 1123112×3答案： A5若锐角 、满足 (13tan )(13tan )4，则 _解析：由(13tan )(13tan )4，tan tan 可得 1tan tan 3，即 tan ( )3.又 (0， )，所以 3 .答案：3一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施两个技巧1拆角、拼角

6、技巧： 2( )( )， ( )， .22， 2 2 22化简技巧：切化弦， “1”的代换等三种变化1变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系2变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等3变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等一、选择题31若 sin 2 3 ，则 cos ()A2B 1C.1D.2333332 1解析： cos 12sin2 2 12×33.答案： C3 sin 70°2.2 cos210° ()123A. 2B.2C 2D.23sin 70°2（ 3sin 70°） 2.解析：原式13sin

7、70°2（3cos 20°）答案： C3已知 sin cos 1，则 sin2 ()3411782A. 18B.18C.9D.91解析：由 sin cos 3得 1sin 21，解得 sin 2 8，992 1sin 2所以 sin21cos 2174 2218.答案： B4已知 ，3 ，且 cos 4，则 tan 等于 ()25411A7B.7C 7D 734解析：因 ， 2 ，且 cos 5，33所以 sin 0，即 sin 5，所以 tan 4.3所以 tan1tan 1414 1tan 37.14答案： B5已知 sin 5，sin( )10，均为锐角，则510角

8、等于 ()5A. 12B. 3C. 4D. 6解析： ，均为锐角，2 2 .10310又 sin( )10 ， cos( ) 10 .525又 sin 5 ， cos 5， sin sin ( )sin cos( )cos sin( )5310251025×10 5× 102 . 4 .答案： C二、填空题36若 sin 25，则 cos 2 _3解析： sin2cos 5， cos 2 2cos2 12× 35 21 257.7答案：257 (2014 ·山东卷 ) 函数y 3sin2x cos2x的最小正周期为2_解析：原式31cos 2xsin1，

9、sin 2x222x622周期 T 2 .答案： 8(2014 ·课标全国 卷)函数 f(x) sin(x2)2sin cos(x)的最大值为 _解析： f(x) sin(x2) 2sin cos(x)sin(x ) 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x )sin(x)cos cos(x )sin sin(x )sin x， f(x) 的最大值为 1.答案： 19设函数 f(x) sin xcos x，f(x)是 f(x) 的导数，若 f(x) 2f (x)，sin2xsin 2x则cos2x_解析： f (x)cos xsin x，由

10、f(x) 2f (x)得sin xcos x2cos x2sin x， cos x3sin x，于是 sin2xsin 2xsin2x2sin xcos xcos2xcos2xsin2x6sin2x559sin2x9.答案：9三、解答题610已知 2 ， ，且 sin 2 cos 2 2 .(1)求 cos 的值；(2)若 sin( )3， ，求 cos 的值526解： (1)因为 sin 2 cos 2 2 ，两边同时平方，得sin1 又，所以 cos 32.22 .(2)因为 2 ， 2 ，所以 2 ，故 2 2 .34又 sin( ) 5，得 cos( )5.cos cos ( )cos cos( )sin sin( )3×41× 34 33.2525101 2sin11(郑州质检 )已知函数 f(x) 2x4cos x.(1)求函数 f(x) 的定义域；(2)设 是第四象限的角，且 tan 4，求 f( )的值3解析： (1)要使 f(x) 有意义，则需cos x0， f(x) 的定义域是 x|x k 2 ， kZ .221 22 sin 2x2cos 2