三角恒等变形讲义

1、word 版 - 精品文档三角恒等变换专题讲义李 霞知识点 1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的余弦公式cos(-)coscossinsincos()coscossinsin注： 1. 公式中两边的符号正好相反（一正一负）2. 式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3. 会逆用及其变形2. 两角和与差的正弦sin(-)sincos- cossinsin()sincoscossin注： 1. 公式中两边的符号相同2. 式子右边异名三角函数相乘再加减3. 会逆用及其变形3. 两角和与差的正切公式tan(tantan, + )=tantan1tan(- )= tanta

2、n.1tantan注：1. 两角和时，上加下减2. 两角差时，上减下加3. 会逆用及其变形考点 1：求值问题【例 】求下列各式的值（ 1） cos75°精品资料分享word 版 - 精品文档（ 2） cos75°cos15°sin255 °sin15 °(3） sin47 ° sin47 cos30°cos17 °（ 4） 1+tan75°1tan75 °（ 5） tan20 °+tan40°+ 3 tan20 °tan40 °考点 2：化简问题【例 】化

3、简下列各式(1)31 cosxsinx+2 2(2) 3 sinx 1 cosx22知识点 2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1. 两倍角的正弦公式Sin2=2sin cos 精品资料分享word 版 - 精品文档2.两倍角的余弦公式Cos2=.cos2-sin 2=2cos21=1 2sin 23. 两倍角的正切公式2 tant an2= 1 tan 2注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例 1】已知： sin cos=2 ，（0， ），则 sin2=13【例 2】计算求值sin10cos10知识点 3：简单的三角恒变形1. 半角公式1cos1cos（1） sin2（ 2） cos

4、222sin1 cos（3） tancossin2 12. 和差化积（1） sinsin2 sincos22（2） sinsin2 cossin22（3） coscos2coscos22（4） coscos2sinsin223. 积化和差（1） sincos1 sin()sin()2（2） cossin1 sin()sin()2精品资料分享word 版 - 精品文档（3） coscos1cos()cos()2（4） sinsin1 cos()cos()24. 辅助角公式辅助角公式：a sin xb cosxa22sinx(其中 角所在的象限由a b 的b,符号确定，角的值由 tanb 确定 )

5、 在求最值、化简时起着重要作用a考点 1：化简求值问题（ 1）升幂化简【例 1】若( , 3) ，化简1111cos222222【例 2】化简：1sin2 440【例 3】 是第三象限角，化简1sin1sin1sin1sin【例 4】化简1cos1cos, )1cos1(cos2（ 2）降幂化简【例 1】求函数 y2cos 2 xsin 2 x 的最小值精品资料分享word 版 - 精品文档【例 2】函数 y 2cos 2 x1最小正周期为4【 例 3 】 函 数 f ( x ) 5s i n x c o5s x325c o s x单调递增区间为3( x R 的)2_（ 3）切化弦【例 1】求

6、 sin50 °（ 1+3 tan10 °）的值【例 2】（ tan10 °3 ） cos10sin 50（ 4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2() () ， 2() () ，2，222等）2【例 1】已知 tan(2)1) 的值)， tan(，求 tan(5444【例 2】已知 0，且 cos()1， sin(229)，求的值223cos()精品资料分享word 版 - 精品文档【例 3】已知：锐角 和 ，满足 sin （ ）= 3 ， sin = 4 ，求 sin 的值55【例 4】

7、已知： tan （ +） = 1，tan （ 6） = 1，求 tan （ ）的值622（ 5）辅助角3【例 1】已知函数f ( x)2cos x sin( x)32（1）求函数f (x) 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合（2）求函数f (x) 图像的对称轴方程【例 2】已知函数 f (x) 2a cos2 x bsin x cos x3，且 f (0)3)1。， f (2242（ 1）求 f ( x) 的单调递减区间（ 2）函数 f ( x) 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数【例 3】已知函数y= 1 cos 2x+3 sinx · cosx+1 （x

8、 R）22（ 1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合精品资料分享word 版 - 精品文档（ 2）该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到【例 4】已知函数f ( x)cos(x)cos(x), g(x)1 sin 2x1。3324（1）求 f ( x) 的最小正周期；（2）求函数 h( x)f ( x)g(x) 的最大值，并求使h( x) 取得最大值的x 的集合。（ 6）关于 sincos 与 sincos (或 sin 2 ) 的关系的推广应用（ 由 于 (sincos)2sin 2cos22 sincos12 sincos故 知 道(sincos)

9、 ，必可推出 sincos (或 sin 2 ) ）【例 】 已知 sincos3 , 求 sin 3cos3。3（ 7）利用公式： sin 2cos21及“托底”方法求值【例 1】已知： tg= -3 ，求 sincos-cos 2的值精品资料分享word 版 - 精品文档【例 2】 已知： tg=3，求 sin3 cos的值2sincos考点 2：证明问题证三角恒等式时，先观察左右两边：是否同名函数？如果不是同名函数， 一般保留正弦和余弦， 把其它的变为正弦和余弦（异名化同名）是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式， （异角化同角）；次数是否相同？如果两边不同次， 就要注意是

10、否有必要 “升次”或“降次”；是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边都繁，则变两边（左右归一），有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项（ 1）异名化同名【例 1】 求证： 1sin1csccot31cos1sec【例 2】求证 1 2sincos= 1tancos2sin 21tan【例 3】求证： 1secxtan x1 sin x .1secxtan xcosx【例 4】求证 :tanA+cotA=2.sin A精品资料分享word 版 - 精品文档【例 5】求证： ctg 2tg 22sin 4sin 3 2（ 2）异角化同角【例 1】求证： tg5tg 34 cos2 cos4tg5tg 3【例 2】求证： tan 3 xtan x2sin x.22cos x cos 2x（ 3）降次【例 1】求证 166sincos31sin 4cos42【例 2】求证1cos4sin41-3sin2 cos21co