数学建模之初等模型ppt课件

1、一 雨中行走问题一个雨天，他有件急事需求从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，他来不及花时间去翻找雨具，决议碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但他不方案再回去了，一路上，他将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是他应该在雨中尽可以地快走，以减少雨淋的时间。但假设思索到降雨方向的变化，在全部间隔上尽力地快跑不一定是最好的战略。试建立数学模型来讨论如何在雨中行走才干减少淋雨的程度。1 建模预备建模目的：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的战略，使得他被雨水淋湿的程度最小。主要要素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向风，路程的远近，行走的速度2降雨大小用降雨强度 厘米/时来

2、描画，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3风速坚持不变。4他一定常的速度 米/秒跑完全程 米。h2 模型假设及符号阐明1把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。wdCIvD3 模型建立与计算1不思索雨的方向，此时，他的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积 )( 222米wddhwhS雨中行走的时间 )(秒vDt 降雨强度)/()3600/01. 0()/(01. 0)/(smIII时米时厘米（升）米SIvDSItC3600/)/(10)(01. 0)3600/(3模型中为变量。为参数，而vSID,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可

3、以快跑能结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可以快跑能减少淋雨量。减少淋雨量。米即米米米小时厘米米若取参数22 . 2,20. 0,50. 0,50. 1,/2,1000SdwhID秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041升。经仔细分析，可知他在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。阐明：用此模型描画雨中行走的淋雨量不符合实际。缘由：不思索降雨的方向的假设， 使问题过于简化。2思索降雨方向。vhwd人前进的方向假设记雨滴下落速度为 米/秒r雨滴的密度为雨滴下落的反方

4、向1 ,pp表示在一定的时辰在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，rpI 由于思索了降雨的方向，淋湿的部位只需顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量)sin()/(1prwdvDC 度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间sin,/rwdvD前外表淋雨量)cos()/(2vrpwhvDC总淋雨量根本模型)cos(sin(21vrhdrvpwDCCC61039. 1,/23600,/4pscmIsmr取参数)5 . 1cos6sin8 . 0(1095. 64vvC可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定 ，如何选择

5、使得 最小。vC情形190)5 . 18 . 0(1095. 64vC结果阐明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可以大时淋雨量到达最小。假设他以6米/秒的速度在雨中猛跑，那么计算得升13. 1103 .1134mC情形2 60/ ) 334 . 0(5 . 1 1095. 64vC结果阐明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可以大时淋雨量到达最小。假设他以6米/秒的速度在雨中猛跑，那么计算得升47. 1107 .1434mC情形3 18090此时，雨滴将从后面向他身上落下。5 . 1/ )cos6sin8 . 0(1095. 64vC5 . 1/)90cos(6)90sin(8 . 0(1095.

6、64vC5 . 1/ )sin6cos8 . 0(1095. 64vC能的。可能取负值，这是不可时，当C900 出现这个矛盾的缘由：我们给出的根本模型是针对雨从他的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的程度运动速度，即sinrv 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是vvrpwDh/ )sin(淋雨总量为vvrhdrpwDC/)sin(cos。，则令90090 取到最小值。时，当CrvsincossinwdprrDC 再次代如数据，得)sin4/()cos8 . 0(1095. 64C结果阐明：当行走速度等于雨滴下落的程度速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水

7、淋湿了。假设雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，他应该以12030的速度行走，smv/230sin4此时，淋雨总量为升24. 02/ )2/38 . 0(1095. 634mC这意味着他刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快于雨滴的程度运动速度，即sinrv 他不断地追逐雨滴，雨水将淋湿他的前胸。被淋得雨量是vrvpwDh/ )sin(淋雨总量为vrvhdrpwDC/)sin(cos/ )sincos(rhvrdpwDrC才可能小。尽可能大，当Cvrd, 0sincos才可能小。尽可能小，当Cvrd, 0sincos，而sinrv ，所以sinrv 才可能小。C升。时，取77

8、. 06/ )634 . 0(1095. 630,/634mCsmv4 结论假设雨是迎着他前进的方向向他落下，这时的战略很简单，应以最大的速度向前跑；假设雨是从他的背后落下，他应控制他在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的程度分量。5 留意 关于模型的检验，请大家察看、领会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段顺应性。二 席位分配问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，假设学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原那么Npqm 表示某单位的席位数m 表示某单位的人数p 表示总人数N 表示

9、总席位数q1 问题的提出问题的提出2020个席位的分配结果个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064景象景象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。不公平！个。不公平！为了在

10、表决提案时可以出现10：10的平局，再设一个席位。2121个席位的分配结果个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173景象景象2 2 总席位添加一席，丙系反而减少一席。不公平！总席位添加一席，丙系反而减少一席。不公平！惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平景象，能否给出更公平的分

11、配席位的方案？存在不公平景象，能否给出更公平的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目的：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量目的可用每席位代表的人数来衡量。系别 人数 席位数每席位代表的人数公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系别人数席位数每席位代表的人数甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10系别人数席位数每席位代表的人数公平程度

12、甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差普通地，单位人数席位数每席位代表的人数A AB B1p2p1n2n11np22np当2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下规范来判别。准。称为“绝对不公平”标 ) 12211npnp此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量规范。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C

13、,DC,D的不公平程度大为改善！的不公平程度大为改善！2 相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。2211npnp那么A吃亏,或对A 是不公平的。定义“相对不公平则称，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对A 的相对不公平值；同理，可定义对B 的相对不公平值为：则称，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对B 的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量目的BArr ,制定席位分配方案的原那么是使它们的尽可以的小。3 3 建模建模假设A、B两方已占有

14、席位数为,21nn用相对不公平值讨论当席位添加1 个时，应该给A 还是B 方。不失普通性， 2211，若npnp有下面三种情形。情形情形1 1 1 2211，npnp阐明即使给A 单位添加1席，仍对A 不公平，所增这一席必需给A单位。情形情形2 2 1 2211，npnp阐明当对A 不公平常，给A 单位添加1席，对B 又不公平。计算对B 的相对不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp阐明当对A 不公平常，给B 单位添加1席，对A 不公平。计算对A 的相对不公平值1) 1() 1() 1() 1,(12

15、2122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若那么这一席位给A 单位，否那么给B 单位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp结论：当结论：当* *成立时，添加的一个席位应分配给成立时，添加的一个席位应分配给A A 单位，单位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。记记21 ) 1(2, innpQiiii那么添加的一个席位应分配给那么添加的一个席位应分配给QQ值值 较大的一方。

16、较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。假设A、B两方已占有席位数为,21nn4 4 推行推行 有有m m 方分配席位的情况方分配席位的情况设iA方人数为ip，已占有in个席位，mi,2, 1当总席位添加1 席时，计算m, innpQiiii, 21 ) 1(2那么1 席应分给Q值最大的一方。从1in开场，即每方至少应得到以1 席，假设有一方1 席也分不到，那么把它排除在外。5 举例举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按按Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(31032