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文档简介

1、对数函数放缩题集锦I.lnx<x-1,Kpln(x+l)<x证明:f(x)=x-l-lnx,f(x)=(x-l)/x1)=0,即lnx<x-1将x替换为x+1,可得ln(x+l)<x图解-4.0例l,f(x尸ln(x+l)(l)fi(x)<ax恒成立，求a范围，(2)求证:1十l/n<金n.解:a=l为临界,显然a属于1,+oo)(2)两边同时取对数，只需证ln(l+l/n)vl/n,令a=l,x=l/n可证.例2.求证:1/2+2/3+3/4十.十n/(n+l)n-ln(n+1)解:由x>1+lnx得，k/(k+l)>l+lnk/(k+l)=1

2、+lnk-ln(k+1)叠加整理可证该不等式成立.例3.求证:1+1/2+1/3十.十l/n>ln(n+1)解:由x>m(x+i居，l/k>ln(l+l/k)=ln(k+l)/k=ln(k4-l)-lnk叠加整理可证该不等式成立.练习1.求证:1/2+2/3+3/4+n/(n+l)<n-ln(n+2)+ln2练习2.求证:1十172+1/3+.+1/n<lnn+1练习3.求证:ln2/22+M3/32+ln4/42+.+lnn/n2<(2n2-n-l)/4(n+l)II.lnx>l-l/x,即ln(x+l)Nx/(x+l)证明l:fix)=lnx+l/

3、x-l,f(x)=(x-l)/xf(x)>f(l)=O,即lnx>l-l/x证明2:将不等式I中x替换为1/x得ln(l/x)<1/x-l,lnx>1-1/x将X替换为x+1,可得ln(x+l)>x/(x+1)例4(2014陕西2l).fi(x)=ln(x+1),g(x)=ax/(x+1)(2)f(x)Ng(x)恒成立，求a范围，(3)求证:1/2+1/3+1/4+.+l/(n+1)<ln(n+1)解:显然,a属于(3)由ln(x+l)>x/(x+lXfl/(k+l)=(l/k)/(1/k+1)<ln(1/k+l)=ln(k+l)/k)=ln(k

4、+l)-lnk叠加整理可证该不等式成立.例5.求证:l/(n+1)+1/(n+2)+.1/2n<ln2解:由lnx>l-l/x得l/(n+k)=l-(n+k-1)/(n+k)<ln(n+k)/(n+k-1)=ln(n+k)-ln(n+k-1)叠加整理可证该不等式成立.IILx>l时,lnx<(x-l/x)/2,0<x<l时，lnx>(x-1/x)/2证明:f(x)=x-l/x-2Inx,f(x)=(1/x-1)2>0x>l时,f(x)>f(l)=00<x<l时,f(x)<f(1)=0整理可得此不等式时，f(x)<00例6,f

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