计算教学中的创新思维培养之三

1、带余除法整数a除以整数b，如果除尽，则余数为0,称为整除。如果除不尽，余数不为0,就称为带余除法。带余除法不仅是多位数除法的重要基础，而且联系着“周期性”等数学问题，甚至许多数论中的一些问题也与带余除法有关。带余除法的学习，深化了学生对除法意义的理解，极大地丰富了除法的应用背景。学生在运用带余除法解决较复杂的问题当中，判断、分析和推理等诸多数学能力得到发展。一、带余除法的意义理解与新课教学带余除法早期的学习经验，来源于生活中对物体不能正好分成等组。如7个苹果不能正好分给两个小朋友，使每人一样多。在学习带余除法之前，这种经验被用于学习平均分的概念。如让学生通过具体的操作活动，认识平分一些物体，会

2、出现两种情况，一是正好分成等组的几份，二是按等组分成几份之后还有剩余，这与学生的生活经验是一致的。之后，学生在学习乘加时，通过圈点子的活动构建乘加的算式，进一步丰富带余除法学习之前的经验积累。带余除法不论是算理，还是求商和书写格式上都比表内除法复杂。带余除法教学的重点是意义理解，学习的难点是求商，这些都联系着“余数要比除数小”的规律。教学时，要通过具体的操作活动，让学生理解带余除法的意义，并通过不同层级的抽象，帮助学生建立“余数要比除数小”的观念。新课教学可以分为两个阶段：第一阶段，横式计算，理解算式的意义。带余除法的横式包括被除数、除数、商和余数，与具体的操作活动相联系，每个数在操作活动中都

3、有明确的意义。如被除数是物体的总数，除数是每份数，商是份数，余数是分了之后剩余的数量。让学生通过具体的操作活动，不仅可以理解算式表示的意义，认识余数的真实存在，而且通过把操作活动与算式联系起来思考，增进对带余除法意义的理解。如，带余除法的学习，是建立在理解除法意义的基础上的。根据已有的知识基础，上面的问题情境可以直译成20÷6的算式，至于结果是多少，通过具体的操作活动来解决。对余下2个球的讨论包含两个方面：一是它表示的意义是什么？二是如何在算式中表示出来？前者侧重于这2个球能不能单独装一盒，后者侧重于这个“2”在算式中是否可以不写出来。需要强调的是，对这些问题的讨论并不是多余的，通过

4、对这些问题的讨论，打破了学生原有的“认知平衡”是建立“余数要比除数小”的观念起点。 在构建了带余除法的算式之后，再回到具体的情境中，寻找算式的意义。也就说，操作活动的情境在这里起到了双重作用，一是引出带余除法的算式，二是帮助理解算式的意义。不过，意义的理解需要通过不断丰富的活动逐步清晰和完善，如大家来圈点子，要求每份一样多，通过圈点子活动，构建带余除法算式。23和19都是素数，不能写成两个因数相乘的积。因此，无论把几个圈作一份，都会出现剩余。以23为例，每份数与余数如下表：每份数2345678910余 数123352753在各种圈法的比较中，获得余数虽然变化无常，但都比除数小的感性认识。进一步

5、，通过把乘加式改写成带余除式，加深对“余数必须小于除数”的理解。如这个环节教学的核心，是沟通新旧知识的联系，在实物操作与算式表达之间建立对应。具体地说，如果把圈点子、乘加算式、带余除式看作三角形的3个顶点，学生在这些顶点之间来回穿梭和转译的过程中，完成从实物操作到算式表示的水平数学化，从乘加到带余除式的垂直数学化。脱离具体的问题情境，乘加式子中的加数与两个乘数比较，有三种情况：一是加数分别小于两个乘数，可以改写成两个带余除式；二是加数小于其中一个乘数，只能改写成一个带余除式；三是加数分别大于两个乘数，不能改写成带余除式。进一步，可以通过改写算式的活动，把学生的思维再次聚焦于除数与余数的比较上。

6、如，你能把乘加式子改写成带余除法式子吗？4×6+226 7×4+3315×3+419 3×4+517 根据上面的式子想像圈点子的图，每个算式都有两种图的表示，如5×3+419，可以理解为每份5个，圈了3份还余4个，这种情况可以用带余除法表示，但如果是每份3个，圈成5份还余4个，由于余下个数比每份个数还要多，还可以再分，这种情况就不能用带余除法表示。从算式返回到实物，为算式寻找意义，获得对余数要比除数小的理性理解。第二阶段，竖式计算，掌握试商方法。计算除法的关键是试商。表内除法的商可直接从九九表中找到口诀，而带余除法求商时，不能直接从九九表中找到

7、，求商的过程比表内除法复杂得多，试商时需要把除数与商相乘，再与被除数作比较，并思考余数与余数的大小关系。回到带余除法的原型，本质上就是把物体平分，最多可以分成几份，这个思考过程也可以用不等式表示，如4×39, 里最大能填几？在实际的教学中，这样的思考常常作为带余除法试商的阶梯。但是，应当注意这种训练只是试商中的技巧，或者说突破了试商中的关键思考，更为重要的是需要理解试商的意义究竟是什么。因此，回到具体情境中理解仍然是必要的。如39÷49（堆）3（个） 与横式相比，竖式计算的过程中会产生“冗余的数”，如上式中的“36”。这个数在操作活动中不象其它数那样明确意义，一般留存在计算

8、的思考过程中。但事实上对它的理解仍然是重要的。在具体情境中，它是被用来分到每份中的总数，在试商过程中，它是乘法口诀的积。需要强调的是，无论是带余除法的意义还是试商，教学都不能止于形式化的模仿，而应当深入到意义的理解。而意义的获得，有赖于在操作活动、横式表示、竖式求商之间建立联系与对应。不仅如此，学生对于“余数必须比除数小”的理解也应当经历从感性到理性的抽象过程。 二、带余除法掌握水平的能力评定 如何评定学生的数学能力？如何结合具体知识点评价学生的能力发展水平？特别是如何把学生知识掌握与能力发展水平评价应用于改进教学？这些问题都是数学教育评价需要认真研究的问题。作为对这些问题的思考与实践，201

9、0年1月，我们对使用浙教版数学的2409名学生进行了“带余除法”掌握水平的调查。调查分知识掌握程度检测和数学能力水平检测两项，这里重点介绍能力测试与评价。 联系不同的知识基础和数学能力，我们设计了如下测试题。1.下列各题中，被除数最大是几？最小是几？÷86 ÷97÷86 ÷97解答此题的能力核心是对“余数要比除数小”规律的灵活运用。2.每组被除数相同，而且是两位数。被除数和商分别填几？÷32 ÷63÷52 ÷43每组题的两个式子同余，对学生的挑战是把两个式子联系起来考虑。3.在里填数。这是“商×除数+余数

10、被除数”关系以及估算等知识的综合应用。4.70以内的数除以7,余数是5。你能写出哪些数？解题的关键有两个，一是把题目转译成÷75,二是有序思考。5.一个两位数除以8,商和余数相同，这样的两位数你能写出哪一些？有什么特点？此题区别于上题主要的数学能力是对规律的发现与概括。6.求各图形所表示的数（相同的图形表示相同的数）。 26÷3 50÷2 34÷4 -2 解题的关键是思考数与数、式与式之间的联系，这是数感的核心。7.一串图形，按2个，3个，1个这样排下去：第35个图形是（ ），第50个图形是（ ）。 这是比较常见的周期问题，解题的关键是确定一个周期。浙教

11、版数学把带余除法安排在二年级上册学习，共3课时，分别是横式计算，练习，竖式计算。测试在学生学完带余除法之后一周内进行。各题通过率和标准差如下表：题号1234567通过率（%）76.3574.8095.7289.8774.4789.7492.15标准差0.420.430.200.300.430.300.25 编制这组测试题围绕的核心知识是带余除法。解答上述各题需要的数学能力有别于一般的基础训练，除了运算求解之外，还有直觉猜想、归纳推理等多种数学能力。从解题的通过率来看，学生解答“带余除法”的能力水平是比较高的，甚至超出了我们事先的预期。这对于我们的重要启示是，学生的数学能力发展潜力是很大的，关键在于结合数学知识的教学，设计出