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1、第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。一：基本知识1. 分式的运算规律（1）加减法： （2） 乘法：（3） 除法：（4） 乘方：2. 分式的基本性质（1）（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3.比例的重要性质（1）如果（传递性）（2）如果（内项积等于外项积）（3）如果（4）如果（5）如果 那么4. 倒数性质（

2、1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。2、 有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。Ø 例1.若a、b、c均为非零常数，且满足 ， 又，且,求x的值。Ø 例2.已知Ø 例3.已知三个正数a、b、c满足abc=1, 求的值Ø 例4.已知 求的值。Ø 例5.已知 求的值。Ø 例6.已知x+y+z=3a (,且x、y、

3、z不全相等)， 求的值。Ø 例7.已知，n是自然数， 求的值。Ø 例8.。Ø 例9.已知，试求分式的值。Ø 例10.已知三个不全为零的数x、y、z满足， 。求的值。Ø 例11.若x、y、z为有理数，且 求的值Ø 例12.已知a、b、c互不相等，且满足a+b+c=0, 求的值。Ø 例13.已知，求的值。Ø 例14.若，求的值。Ø 例15.如果。三、有关分式的化简问题Ø 例16.化简。Ø 例17.化简。Ø 例18.化简Ø 例19.已知，并且，化简。Ø 例20.若，化简。Ø 例21.化简： 三、有关分式的证明问题Ø 例22.若，求证：Ø 例23.已知有理数a、b、c满足a+b+c=0，abc=8.试判断是 正数、负数、还是零。Ø 例24.已知有理数a、b、c满足，求证： 。Ø 例25.若n为自然数，且，求证： Ø 例26.证明：对于任意自然数n，分数不可约。Ø 例27.已知, 求证：。Ø 例28.证明：Ø 例29.设n为正整数，求证：。Ø 例30.若 ，求证。Ø 例31.设a、b、c均为正数，且，证明：。Ø

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