人口增长模型(2)

1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名）：西安理工大学参赛队员（打印并签名）：1.柳树有2.3.指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2011年7月_3_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口增长模型一、摘要本文根据某个地区从1982年到1998年间的人口统计数据，对其做出相应的分析， 做出一些合理的假设，利用 Matlab软件画出该地区历

3、年的人口数据图，对数据图进行 仔细观察后，认识人口数量的变化规律通过曲线的插值和拟合，我认为该地区的人口呈现三次函数增长，并建立了三次函数的数学模型对未来人口的预测。但是，考虑到，自然资源、环境条件等对人口增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，于是，建立了阻滞增长模型。最后，把两种预测的结果的人口数量与已知的人口数 量进行比较，求出其误差，检验模型的正确性。关键词：人口增长模型 曲线插值 曲线拟合 阻滞增长模型4二、问题重述下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0 ）,1982年的人口 101654万人，人口自然增长率为千分之 14，以3

4、6亿为我国人口的容纳量， 试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并于实际人口进行比较。年198219831984198519861987198819891990人（万）口101654103008104357105851107507109300111026112704114333年口19911992199319941995199619971998人（万）115823117171118517119850121121122389123626124810三、基本假设模型一假设：（1）假设不存在某抽样年龄段出现 0死亡概率（2）假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响（3）假设境

5、内外迁移率对我国未来人口影响不计（4）人口的净增长率（即出生率减去死亡率）为常数（5）时刻t的人口函数是连续可微的；模型二假设：（1）假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率； 人口的净增长率（即出生率减去死亡率）随人口的增长而单调递减; 考虑人口的增长受到环境的因素及资源的影响不能无限的增长；（4）时刻t的人口函数是连续可微的；四、符号与说明Xi为i点的横坐标值；yi为第i点的纵坐标的值;增长率X。今年人口Xkk年后人口X t t 时刻人口 Xm人口容量s 确定系数五、问题分析5.1名词解释:曲线插值：根据已知若干点的函数值来求出其他点的函数值的方法，常用的插 值方法有：拉格朗日插值，牛顿插值，

6、分段线性插值，三次样条插值。曲线拟合：根据若干有观察和测试得到的数据进行拟合，给出逼近曲线。最常 用的拟合的方法是最小二乘法。5.2问题的总体分析:根据1982年到1998的人口数据统计，在matlab中进行描点，然后根据这些点 的变化规律选择合适的方法及参数进行曲线插值拟合得到数学模型对未来人口的预测。 又考虑实际的环境因素对人口增长的影响，建立了阻滞增长模型对未来人口的预测。 5.3问题的准备：插值问题 设函数y=f(x)在区间a,b连续,若给定n+1个点 a< x 0 < x 1 < < x n< b 以及 f(x k)=y k(k=0,1,n ) (1.1

7、)如果在某个函数类中求得一个函数 (x)作为f(x)的近似表达式,并满足条件(x k)=f(x k)=y k , k=0,1,，n则称y=f(x)为被插值函数，“x)称为插值函数,xk称为插值节点,式(1.1)称为插值条 件,寻求插值函数(x)的方法称为插值方法.多项式插值，从几何角度看，就是寻求n次代数曲线y=pn(x)通过个n+1点(xk , yk) (k=0,1, 册为f(x)的近似(如下图).假设我们要拟合的函数为f(x)，将Xi带入则得函数值yi*=f(x i),由于yi的不准确性, 在每一个点x i都会产生一个误差："=yi*-y i=f(x i)-y i , i=0,1

8、,n我们希望所求 的f(x)，使得其在每一个Xi处所产生的误差|门| , i=0,1,n达最小，但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差nnn22222*22p in 八 i 八(yiyJ 八f(Xi) yji -0i -0i -0并使其达到最小。通过这种方式求得近似曲线y=f(x)的方法，就称作曲线拟合的最小二乘法。六、模型建立6.1模型一：三次曲线拟合模型6.1.1 描点751982198419861988199019921994199619986.1.2根据已知点进行三次拟合51982198419861988199019921994199619988623进行线性插值5X 101.2

9、51.21.151.11.05data1data2实际的点 拟合曲线 插值曲线1198219841986198819901992199419961998从图中我们可以看到人口数在 19821998年是呈增长趋势的，而且我们很 容易发现上述图像和我们学过的三次函数的图像有很大的相似性，所以我 建立了三次函数模型，但是这个模型的局限性是没有考虑社会因素，即资 源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，有一个上限，所以有必要 改进模型，假设摁扣的增长率随人口的增加而呈线性递减，从而建立其比 较优越的阻滞增长模型。6.2模型二：阻滞增长模型人们注意到，自然资源、环境条件等对人口增长起着阻滞作用，并且随

10、 着人口的增加，阻滞作用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑这个因素， 对指数的增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口的增长率r上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数r x，则它应是减函数。于是方程（2）写作rjx x,xjO =xo (5)对r x的最简单的假定是，设r x为x的线性函数，即r x = r - sx（ r . 0, s . 0）（ 6）这里r称作固有增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件 所能容纳的最大数量Xm，称人口容量。当Xm =X时人口不再增长，即增长率r Xm =0，代入（6）为:r x 十一上）（7）Xm（7）式代入

11、方程（5）得：dX=rx(-),x 0%( 8)dtXm方程（8）右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子仆一丄）则体现了资Xm源和环境对人口增长的阻滞作用。显然 X越大，前一因子越大，后一因子 越小，人口增长是两个因子共同作用那个的结果。七、模型求解通过matlab编写程序最后得到合理的数学模型为：模型一求解：p=-8358267252399843/4503599627370496*xW+3041051722220897/2748 77906944*xT-5900627182481437/268435456*x+7632250728293203/524 288模型二求解：x =182977

12、20000/(50827+129173*exp(-7/500*t)由得到的数学模型对19821998年人口计算的结果为：单位（万）年份198219831984198519861987模型一预测101470P 102970104510106090107690P 109310模型二预测101654102678103709104746105788106837年份198819891990199119921993模型一预测110920112520114100115650117160118610模型二预测107892108953110020111092112170113254年份1994199519961

13、9971998模型一预测119990P 121290122510123620124630模型二预测114344115439116539117646118757八、结果分析预测结果与统计结果的差值如下:年份198219831984198519861987统计结果101654103008104357105851107507P 109300)模型一与统计差值-184-3815323918310模型二与统计差值0-330-648-1105-1719-2463年份1988198919901991199219931统计结果111026112704114333115823117171118517)模型一与统

14、计差值-106-184-233-173-1193模型二与统计差值-3134-3751-4313-4731-5001P -52631年份19941995199619971998统计结果119850121121122389123626124810模型一与统计差值140169121-6-180模型一与统计差值-5506-5682-5850-5980-6053误差分析:公式为：1 _6 | yl y |D1 =()*100%17 i 百 y模型一误差：D1=0.12%模型二误差:D2=3.0768%通过分析可知，该人口增长模型，在误差允许的范围内是比较准确的九、模型的评价与推广本文是首先将人口增长理想

15、化以后做出的合理简单的人口三次函数增长模型，没有考虑实际人口的影响因素：出生率，死亡率，迁入人口，迁出人口等，认为人口的增长 率是固定不变的，有一定的局限性。随后，综合考虑各个能影响人口增长的因素，增长率随人口的增长递减，建立了阻滞增长模型对人口进行预测， 通过比较两种模型对未来 人口增长进行预测。事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题， 影响人口增长的因素除了人口基数与 可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关， 特别在 做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果， 比如在刚刚经历过战争或是 由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由

16、此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。参考文献12#1 秦新强，数学建模，高等学校教材,2 送来忠，王志明，数学建模与实验,3 姜启源等 数学模型（第三版,Ml 2010, P45-65【M】科学出版社，2003,P75-81。Ml高等教育出版社2003.08 P10#附录程序一：% curvefit02.mt=1982:1998;114333y=101654103008 104357105851107507 109300 111026112704115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;plot(t,y,'.k','markersize',20) %描点a=polyfit(t,y,3)%求出二次多项式的系数p=poly2sym(a)%给出多项式的符号表达式xi=1982:0.1:1998;yi=polyval(a, xi);%求多项式在分点的值hold onplot(xi,yi,&#