2025年高考数学总复习《立体几何》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《立体几何》专项测试卷及答案（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体中，，则四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（

）A．直线 B．直线C．直线 D．直线3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．在三棱柱中，平面是等边三角形，是棱的中点，在棱上，且.若，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（

）A． B． C． D．6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，两圆锥的表面积分别为和，内切球半径分别为和．若，则的值是（

）A． B． C． D．8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（

）

A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（

）

A．若平面，则 B．若平面，则C．若平面，则 D．若平面，则10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．已知任意非零向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，则三点共线11．在等腰梯形中，，点分别为的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（

）A．该旋转体的侧面积为B．该旋转体的体积为C．直线与旋转体的上底面所成角的正切值为D．该旋转体的外接球的表面积为12．如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（

）

图1

图2A． B．C．的最大值为 D．多面体的体积为定值第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为.14．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．

15．在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，.16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.

(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.19．（12分）如图，在五面体中，面面，，面，，，，二面角的平面角为.(1)求证：面；(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.20．（12分）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．

(1)求的值；(2)若，求多面体的体积．22．（12分）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且(1)写出三条正六棱台的结构特征.(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”“小迷糊”：“.....”亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体中，，则四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以.又，所以，故.取的中点，则到四面体四个顶点的距离均为2，即四面体外接球的半径为2，则四而体外接球的体积为.故选：D.2．如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（

）A．直线 B．直线C．直线 D．直线【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，设，，则，，，，，，不是定值，故A错；，不是定值，故B错；，所以直线与直线所成角为，故C正确；，不是定值，故D错.故选：C.3．若平面截球所得截面圆的面积为，且球心到平面的距离为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面截球所得截面圆的面积为，得此截面小圆半径，而球心到此小圆距离，因此球的半径，有，所以球的表面积.故选：C4．在三棱柱中，平面是等边三角形，是棱的中点，在棱上，且.若，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取AB中点,连接DF，EF,因为D是BC的中点，所以，即异面直线AC与DE所成角就是平面或补角，假设，因为△ABC是等边三角形，所以,因为,，所以,因为平面ABC，则为直三棱柱，所以,,在△DEF中，,故异面直线AC与DE所成角余弦值为.故选：B.5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，由题知为等腰直角三角形，，，设正方体的棱长，则，，则由与相似可得，即，，所以正方体棱长为.故选：C.6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为，则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，可得正方体体对角线长，外接球半径为，所以外接球表面积为.故选：D.7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，两圆锥的表面积分别为和，内切球半径分别为和．若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】两圆锥的母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面半径为，由圆心角之和为，得，则，又，即，将代入，所以，即，所以，从而，．由圆锥内切球半径公式得，，所以，将代入，解得，同理可得，所以.故选：C.8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】分别取的中点，连接，根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；根据题意可知，而平面，故平面，又平面，故平面平面，则平面平面，作，垂足为S，平面平面，平面，故平面，则梯形的高即为平面与平面之间的距离；，故，即平面与平面之间的距离为，故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（

）

A．若平面，则 B．若平面，则C．若平面，则 D．若平面，则【答案】BD【解析】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量可以为，设，，则，若平面，则，即，解得，即，故A错误，B正确；若平面，则，则，即，所以，解得，即，故C错误，D正确.故选：BD10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．已知任意非零向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，则三点共线【答案】BD【解析】对于：若，则，且，故错误；对于，若对空间中任意一点，有，，四点共面，故B正确；对于，是空间中的一组基底，且，共面，不可以构成空间的一组基底，故C错误；对于，若空间四个点，，，三点共线，故D正确.故选：BD11．在等腰梯形中，，点分别为的中点，以所在直线为旋转轴，将梯形旋转得到一旋转体，则（

）A．该旋转体的侧面积为B．该旋转体的体积为C．直线与旋转体的上底面所成角的正切值为D．该旋转体的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图．因为，所以圆台的上、下底面的半径分别满足．又，所以该圆台的侧面积，所以A正确．过点分别作于点于点，则，所以，故该圆台的体积，所以B错误．易知圆台的上、下底面平行，所以直线与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角．过点作于点．易知为直线与下底面所成的角．又，，所以，所以正确．设该圆台的外接球的半径为，球心为．当点在线段上时，．由，得，即，解得．当点在线段的延长线上时，．由，得，即．化简，得，此时无解．所以，则该旋转体的外接球的表面积，所以正确．故选：ACD12．如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（

）

图1

图2A． B．C．的最大值为 D．多面体的体积为定值【答案】AC【解析】设正方形，的边长为1因为两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设，，由，且,可得，解得，即，，对于A中，，可得，即，所以A正确；对于B中，由，所以当且仅当时，，即，所以B错误；对于C中，因为，当且仅当时等号成立，由为钝角，所以，即的最大值为，所以C正确；对于D中，多面体的体积，非定值，所以D错误.故选：AC．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为.【答案】【解析】如图：在正四棱台,分别为侧面上的高以及棱台的高，设棱台的上下底面的边长分别为，则，在等腰梯形中，，所以，故棱台的高为，故答案为：14．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．

【答案】【解析】连接交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以为的中点，因为平面，平面平面，平面，所以，所以为的中点，所以.故答案为：.15．在四棱锥中，底面是正方形，底面.若四棱锥的体积为9，且其顶点均在球上，则当球的体积取得最小值时，.【答案】3【解析】如下图所示，设四棱锥底面边长为，则该四棱锥的体积，所以；设四棱锥的外接球半径为，通过构造长方体可知满足；即，令，则，令,即；当所以，在上单调递减，在上单调递增；即函数在处取最小值，此时外接球的半径最小，体积最小；所以，.故答案为：316．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.【答案】/【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为；由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的余弦值．【解析】（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，即，所以，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）由上易知，设面的一个法向量为，则有，取，即，所以点到平面的距离为；（3）由上可知，设面的一个法向量为，则有，取，即，设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.

(1)证明：平面；(2)若平面为的中点，，求二面角的正切值.【解析】（1）证明：如图，在上取一点，使得，连接，，，因为底面是平行四边形，所以，所以，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）当为中点，，，易知，为中点，又因为平面，所以两两垂直，则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图，设，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，故二面角的正弦值为，所以正切值为.故二面角的正切值为.19．（12分）如图，在五面体中，面面，，面，，，，二面角的平面角为.(1)求证：面；(2)点在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）∵面，又面，面面，∴.又面，面，∴面；（2）取中点，中点，连结，.∵面面，交线为，面，，∴面.∴是二面角的平面角.即.∵面，又面，面面，∴.∴.又，∴四边形是梯形.∴是梯形的中位线.∴.∴面.∵，是中点，∴.以为原点，，，为轴如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，由，设面的一个法向量为，由，，得，取，得，，∴.设面的一个法向量为，由，，得，取，得，，∴.∴∴二面角的平面角的余弦值为.20．（12分）如图，是半球的直径，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．

(1)证明：平面：(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，平面，所以平面．（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．21．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，且平面平面．，分别是，的中点，经过，，三点的平面与棱交于点，平面平面，直线与直线交于点．

(1)求的值；(2)若，求多面体的体积．【解析】（1）连接，由题意，与的交点即为点，连接，因为底面是正方形，所以,又因为面，面，所以面，因为平面平面，面，所以，又为中点，所以，所以，又因为且，所以且，所以，