高等数学同济版（下册）期末考四套试题[卷]及的答案解析

1、 .wd.高等数学同济版下册期末考试试卷一一、填空题每题3分，共计24分1、 =的定义域为D=。2、二重积分的符号为。3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。4、设曲线L的参数方程表示为那么弧长元素。5、设曲面为介于及间的局部的外侧，那么 。6、微分方程的通解为。7、方程的通解为。8、级数的和为。二、选择题每题2分，共计16分1、二元函数在处可微的充分条件是 A在处连续；B，在的某邻域内存在；C当时，是无穷小；D。2、设其中具有二阶连续导数，那么等于 A；B； (C)； (D)0 。3、设：那么三重积分等于 A4；B；C；D。4、球面与柱面所围成的立体体积V= A； B； C

2、； D。5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，那么 A； B； C； D。6、以下说法中错误的选项是 （A） 方程是三阶微分方程；（B） 方程是一阶微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程，那么曲线的方程为 A； B； C； D。8、设 , 那么 A收敛； B发散； C不一定； D绝对收敛。三、求解以下问题共计15分1、7分设均为连续可微函数。，求。2、8分设，求。四、求解以下问题共计15分。1、计算。7分2、计算，其中是由所围成的空间闭区域8分五、13分计算，其中L

3、是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。 六、9分设对任意满足方程，且存在，求。七、8分求级数的收敛区间。高等数学同济版下册期末考试试卷二1、设，那么。2、。3、设，交换积分次序后，。4、设为可微函数，且那么。 5、设L为取正向的圆周，那么曲线积分。6、设，那么。7、通解为的微分方程是。8、设，那么它的Fourier展开式中的。二、选择题每题2分，共计16分。1、设函数 ,那么在点0，0处 A连续且偏导数存在； B连续但偏导数不存在； C不连续但偏导数存在； D不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，那么 A最大值点和最小值点必定

4、都在D的内部； B最大值点和最小值点必定都在D的边界上； C最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； D最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D：，假设，那么有 A； B ； C； D不能比拟。4、设是由曲面及 所围成的空间区域，那么 = A； B； C ； D。5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且， 那么曲线积分 (A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、设是取外侧的单位球面， 那么曲面积分 = (A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、以下方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是 (A) ； (B) ；(C)；

5、 (D)。8、设级数为一交织级数，那么 (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)假设，那么必收敛。三、求解以下问题共计15分 1、8分求函数在点A0，1，0沿A指向点B3，-2，2的方向的方向导数。 2、7分求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解以下问题共计15分 1、7分计算，其中是由及 所围成的立体域。 2、8分设为连续函数，定义，其中，求。五、求解以下问题15分 1、8分求，其中L是从Aa，0经到O0，0的弧。 2、7分计算，其中是 的外侧。六、15分设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。高等数学同济版下册

6、期末考试试卷三一、填空题每题3分，共计24分1、设， 那么。 2、函数在点0，0处沿的方向导数=。 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，那么I=。 4、设为连续函数，那么，其中。 5、，其中。 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，在上具有一阶连续偏导数，那么三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为公式。 7、微分方程的特解可设为。 8、假设级数发散，那么。二、选择题每题2分，共计16分 1、设存在，那么= A；B0；C2；D。 2、设，结论正确的选项是 A； B；C； D。3、假设为关于的奇函数，积分域D关于

7、轴对称，对称局部记为，在D上连续，那么 A0；B2；C4； (D)2。 4、设：，那么= A； B； C； D。5、设在面内有一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，那么曲线弧的重心的坐标为 =； B=； C=； D=, 其中M为曲线弧的质量。、设为柱面和在第一卦限所围成局部的外侧，那么 曲面积分 A0； B； C； D。、方程的特解可设为 A，假设； B，假设；C，假设；D，假设。、设，那么它的Fourier展开式中的等于A； B0； C； D。三、分设为由方程 确定的的函数，其中具有一阶连续偏导数，求。四、分在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。五、分求圆柱面被锥面和平面割下局部的面积。六

8、、分计算，其中为球面 的局部的外侧。七、10分设，求。八、10分将函数展开成的幂级数。高等数学同济版下册期末考试试卷四一、 填空题：此题共5小题，每题4分，总分值20分，把答案直接填在题中横线上1、向量、满足，那么2、设，那么 3、曲面在点处的切平面方程为4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，那么的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于5、设为连接与两点的直线段，那么以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、 解以下各题：此题共5小题，每题7分，总分值35分1、求曲线在点处的切线及法平面方程2、求由曲面及所围成的立体体积3、判定级数是否收敛？

9、如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部三、 此题总分值9分抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值 四、 此题总分值10分计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周五、 此题总分值10分求幂级数的收敛域及和函数六、 此题总分值10分计算曲面积分，其中为曲面的上侧七、 此题总分值6分设为连续函数，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 高等数学同济版下册考试试卷一参考答案一、1、当时，；当时，；2、负号； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B

10、； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令那么，； 于是当L所围成的区域D中不含O0，0时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O0，0时，在D内除O0，0外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，那么六、由所给条件易得：又 =即 即 又 即 七、令，考虑级数当即时，亦即时所给级数绝对收敛；当即或时，原级数发散；当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学下册考试试卷二参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、； 7、； 8、0；二、1、C； 2、B

11、； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点A1，0，1处可微，且； 而所以,故在A点沿方向导数为：+2、由得D内的驻点为且， 又 而当时， 令得 于是相应且在D上的最大值为，最小值为四、1、的联立不等式组为所以2、在柱面坐标系中所以五、1、连接，由公式得：2、作辅助曲面 ，上侧，那么由Gauss公式得：+= = =六、由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即 故所求函数为：高等数学同济版下册考试试卷三参考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、，公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A

12、 ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上两式消去，即得： 四、设为椭圆上任一点，那么该点到直线的距离为 ；令，于是由：得条件驻点： 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。五、曲线在面上的 投影为 于是所割下局部在面上的投影域为：， 由图形的对称性，所求面积为第一卦限局部的两倍。 六、将分为上半局部和下半局部，在面上的投影域都为：于是： ；，=七、因为，即 所以八、 又高等数学同济版下册期末考试试卷四八、 填空题：此题共5小题，每题4分，总分值20分，把答案直接填在题中横线上1、向量、满足，那么2、设，那么 3、曲面在点处的切平面方程为4、设是周

13、期为的周期函数，它在上的表达式为，那么的傅里叶级数在处收敛于，在处收敛于5、设为连接与两点的直线段，那么以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级九、 解以下各题：此题共5小题，每题7分，总分值35分1、求曲线在点处的切线及法平面方程2、求由曲面及所围成的立体体积3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部十、 此题总分值9分抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值 十一、 此题总分值10分计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的

14、上半圆周十二、 此题总分值10分求幂级数的收敛域及和函数十三、 此题总分值10分计算曲面积分，其中为曲面的上侧十四、 此题总分值6分设为连续函数，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 高等数学同济版下册期末考试试卷四一、 填空题【每题4分，共20分】1、； 2、；3、； 4、3，0； 5、.二、 试解以下各题【每题7分，共35分】1、解：方程两边对求导，得，从而，.【4】该曲线在处的切向量为.【5】故所求的切线方程为.【6】法平面方程为即.【7】、解：，该立体在面上的投影区域为.【2】故所求的体积为.【7】、解：由，知级数发散【3】又,.故所给级数收敛且条件收敛【7】、解：，【3】【7】、解：的方程为，在面上的投影区域为又，.【】故.【7】三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，那么点到原点的距离为【1】令，那么由，解得，于是得到两个可能极值点【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，