二次函数动点问题(提高篇)

1、数学压轴题 二次函数动点问题1.如图，抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)当x4和x2时，二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等，连结AC、BC（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解

2、：（1）由题意得 解得a，b，c（2）由（1）知yx 2x，令y0，得x 2x0解得x13，x21A(3，0)，B(1，0)又C(0，)，OA3，OB1，OC，AB4，BC2tanACO，ACO60°，CAO30°同理，可求得CBO60°，BCO30°，ACB90°ABC是直角三角形又BMBNt，BMN是等边三角形BNM60°，PNM60°，PNC60°RtPNCRtABC，由题意知PNBNt，NCBCBN2t，tOMBMOB1如图1，过点P作PHx轴于H，则PHPM·sin60°×M

3、HPM·cos60°×OHOMMH1点P的坐标为(1，)（3）存在由（2）知ABC是直角三角形，若BNQ与ABC相似，则BNQ也是直角三角形二次函数yx 2x的图象的对称轴为x1点P在对称轴上PNx轴，PN对称轴又QNPN，PNBN，QNBNBNQ不存在以点Q为直角顶点的情形如图2，过点N作QN对称轴于Q，连结BQ，则BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QNPN，MNQ30°PNQ30°，QNtan60°，当BNQ以点N为直角顶点时，BNQ与ABC不相似如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则BMQ120°AMP60

4、°，AMQBMN60°，PMQ120°BMQPMQ，又PMBM，QMQMBMQPMQ，BQMPQM30°BNM60°，QBN90°CAO30°，ACB90°BNQABC当BNQ以点B为直角顶点时，BNQABC设对称轴与x轴的交点为DDMQDMP60°，DMDM，RtDMQRtDMPDQPD，点Q与点P关于x轴对称点Q的坐标为(1，)综合得，在抛物线的对称轴上存在点Q(1，)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似2.如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y

5、轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标解：（1）由题意得解得所求抛物线的解析式为yx 22x3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P(1，)或P(1，)或P(1，6)或P(1，)；（3）解法一：过点E作EFx轴于点F，设E(m，m 22m3)（3 a 0）则EFm 22m3，BFm3，OFmS四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBF

6、83;EF (EFOC)·OF(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)m 2m(m)2当m时，S四边形BOCE 最大，且最大值为此时y()22×()3此时E点的坐标为(，)解法二：过点E作EFx轴于点F，设E(x，y)（3 x 0）则S四边形BOCE SBEF S梯形FOCEBF·EF (EFOC)·OF(3x)· y(3y)(x)(yx)(x 23x3)(x)2当x时，S四边形BOCE 最大，且最大值为此时y()22×()3此时E点的坐标为(，)3.如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在

7、x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）OA、OC的长是方程x 25x40的两个根，OAOCOA1，OC4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A（1，0），C（0，4）抛物线yax 2bxc的对称轴

8、为x1由对称性可得B点坐标为（3，0）A、B、C三点的坐标分别是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）（2）点C（0，4）在抛物线yax 2bxc图象上，c44分将A（1，0），B（3，0）代入yax 2bx4得 解得此抛物线的解析式为yx 2x4（3）BDm，AD4m在RtBOC中，BC 2OB 2OC 23 24 225，BC5DEBC，ADEABC，即DE过点E作EFAB于点F，则sinEDFsinCBA，EFDE×4mS SCDE SADC SADE(4m)×4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）0 当m2时，S有最大值2此时ODOBBD321此时D

9、点坐标为（1，0）4.如图，抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(2，6)（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得6a(23)(21)，a2抛物线的解析式为y2(x3)(x1)，即y2x 24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21点A在点B右侧，A(1，0)，

10、B(3，0)设直线AC的函数关系式为ykxb，把A(1，0)、C(2，6)代入，得 解得直线AC的函数关系式为y2x2（2）设P点的横坐标为m(2 m 1)，则P(m，2m2)，M(m，2m 24m6)PM2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2当m时，线段PM长度的最大值为存在. M1(0，6), M2(，)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CMPM，CMPANP点C(2，6)，点M的纵坐标为6，代入y2x 24x6得2x 24x66，x2（舍去）或x0M1(0，6)（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合）)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，2m 24m6)(2 m 1)过C作C