二次函数与相似三角形结合问题

1、 高效学习 快乐成长 成就梦想 琢玉教育个性化辅导讲义教师姓名学科上课时间 年 月 日学生姓名年级讲义序号课题名称教学目标1. 会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；2. 掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3. 能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；教学重点 难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查上次作业完成情况：优 良 中 差 建议_教学内容知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中二.特殊的二次函数：下图中三二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的

2、图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。例题选讲：例1.如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且ABE与ABC的面

3、积之比为32（1）求直线AD和抛物线的解析式；例1题图（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且ABQ与ADF相似，直接写出点Q点的坐标。ABO练习1.如图，直线()与分别交于点,，抛物线经过点，顶点在直线上。（1）求的值； （2）求抛物线的解析式； （3）如果抛物线的对称轴与轴交于点，那么在对称轴上找一点，使得和相似，求点的坐标。 例2.已知：矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线与边交于点（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过、两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线交于点，点是对称轴上一动点，以、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点方法总结：

4、二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：1. 根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；2. 待定系数法求解相关函数的解析式；3. 相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；4. 当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；5. 根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；6.注意利用好二次函数的对称性；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点（1，1）和点（2，2），该函数图像的对称轴与直线、分别交于点和点（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（4分）（2）

5、求证：=；（4分）（3）如果点在直线上，且与相似，求点的坐标（6分）yxOAB11-1-12.如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线于点。点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标。【参考教法】：1 你能求出题目中点的坐标吗？（让学生独立计算求解）2 点的运动有什么特征吗？提示：点的不同位置相似的情况不一样。3 当与相似时：1. 需要讨论吗？提示：需要，根据点的不同位置讨论2. 怎么讨论？根据点的位置，分两大类讨论：（1）当点P在C的左侧，由题意有，则分2类讨论： 当时：，即； 当时：，即。（2） 点P在C的左侧，由题意有，不存在。3.情况分好了，那怎么计算呢？你算一下。

6、提示：让学生计算。4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。6.根据本题的求解你有什么想法没？提示：二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】： 当点P在C的左侧，由题意有，分两类讨论： 若，即时，PACBAC，此时CP=3，P(3,2); -2若，即时，PACABC;此时CP=，P(,2).-2 当点P在C的左侧，由题意有,不存在。3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过、三点，没该二次函数图像的顶点为（）（1）求这个二次函数的解析式及其图像的顶点的坐际；（2）在线段上是否存在

7、点，使，其中坐标轴的原点对应点，点的对应点为C?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。【解法点拨】：1.二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式；（让学生自己计算）2.当时，字母已经对应好，无需分类讨论，则由得，所以。又因为点在线段上，且的解析式是： ，则可直接计算出点的坐标。3.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：(1)由题意得： 解得： 二次函数的解析式为 顶点的坐标是 (2)根据题意， 解得： 的解析式是 设点的坐标是， 解得：点的坐标是 例2题图4.如图，双曲线和在第二象限中的图像，A点在的图像上，点A的横坐标为m（m0），ACy轴交图像于点C，AB、DC均

8、平行x轴，分别交、的图像于点B、D。（）（1）用m表示A、B、C、D的坐标；（2）若ABC与ACD相似，求m的值.【参考教法】：1. 题目看完了吧！我们来一起分析一下，先找找题目中的一些已知道条件吧！你试试：提示： 注意题目中有两个反比例函数； AB、DC均平行x轴，得出点纵坐标相同，点纵坐标相同； 点的坐标可根据图像用m表示；2. 点的坐标可以用含的代数式表示吗？你求解一下。提示：让学生求解3. 当ABC与ACD时：1. 两三角形中是否有相等的角？提示：2. 需要讨论吗？提示：需要，分2类讨论；3. 怎么讨论？提示：因为，则分两个情况讨论： 当 时，得 ABCCAD，则，直接计算可的的值；

9、当时，得 ABCCDA，则，直接计算可的的值；4. 怎么计算？你求解看看。提示：让学生求解。5. 在分析题目的过程中，还要及时画图哦！【满分解答】：（1）由题意知，；（2） 当 时，得 ABCCAD，则, 得=(-3 m) 所以：=16，得 m= ±2 （正数舍去） 所以：m= -2 时，得 ABCCDA，则, 所以：m= 0（舍去） 所以若ABC与ACD相似，m= -2. 5.RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），BDE的面积为2。（14分）OABCDxyE（1） 求m与n的数量关系；（3分）（）

10、（2） 当tanA=时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；（6分）（3） 设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果AEO与EFP 相似，求点P的坐标。（5分）【解法点拨】：1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论： 点的反比例函数的图像上，则它们的坐标乘积相等（引导学生发现）； 第2、3小问中，点的坐标不变；2.第1小问可根据的反比例函数的图像上可得；3.第2小问结合三角比和m与n的数量关系可求的点的坐标；求出点可得FD/x轴，所以EFP=EAO。当AEO与EFP 相似时，则：或，再根据长度可直接求的得点坐标。4.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】：（1）D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上, ， .2分 .1分(2) ACB=90°，D（4，m），设B（4，y）作EHBC，E（2，n），即E（2，2m），EH=2，BH= y-2m.1分BDE的面积为2，且tanA=，即.1分，B（4,3），E（2,2）.1分E（2,2）在反比例函数图像上，,即反