二次函数的综合题训练及答案

1、班级_ 姓名_ 考场号_ 考号_ -密-封-线-二次函数的综合题训练一、应用题1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 （为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点以直线为对称轴的抛物线 （ 为常数，且0）经过，两点，并与轴的正半轴交于点 （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点是否存在这样的点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程2. 抛物线经过点

2、、，已知，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为，轴于点，是轴上一动点，是线段上一点，若，请指出实数的变化范围，并说明理由二、复合题3. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交直线交于点B.抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上.(1)求点C、D的纵坐标.(2)求a、c的值.(3)若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长.(4)若Q为线段OB或线段AB上一点，PQx轴.设P、Q两点之间的距离为d（d0），点Q的横坐

3、标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.参考公式：二次函数（a0）图象的顶点坐标为4. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，将抛物线沿轴翻折得抛物线.（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点.使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点.若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径.5. (本题满分12分）已知直线与轴和轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N（1）如图，当点M与点A重合时，求：抛物线的解析式；（4分）点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得OMN与

4、AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由（4分）三、猜想、探究题6. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为坐标原点，点为抛物线的顶点，点在抛物线上，点在轴上，四边形为矩形，且，（1）求抛物线所对应的函数关系式；（2）求的面积；（3）将绕点逆时针旋转90，点对应点为点，问点是否在该抛物线上？请说明理由7. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点B，将AOB绕原点O顺时针旋转90后得到COD，抛物线经过点A、C、D（1）求点A、B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）已知在抛物线与线段AD所围成的封闭图形（不含边界）中，存在点，使得PCD是等腰三角形，求的

5、取值范围8. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为点在抛物线的图象上，过点作轴，垂足为，且点横坐标为（1）求证：；（2）求所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由9.如图，抛物线过点（1，4）和(2，5).请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若该抛物线与轴的两个交点分别为A、B，与轴的交点为C则在该抛物线上是否存在点D，使得ABC与ABD全等？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. AOCB注：抛物线的对称轴是10.已知抛物线yax22x

6、c的图像与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由11.已知：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，是等腰直角三角形（1）求过三点的抛物线的解析式；（2）若直线交抛物线于点，求点的坐标；（3）若点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么是否有最大面积？若有，求出此时点的坐标和的最大面积；若没有，请说明理由12. 如图，抛物线经过、三点，线段与抛物线的对称轴相交于

7、点.设抛物线的顶点为，连接，线段与轴相交于点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点，使以为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；（3）将绕点顺时针旋转，边旋转后与线段相交于点，边旋转后与对称轴相交于点，连接，若，求点的坐标（直接写出结果）.13. 己知：二次函数的图象与轴交于点A(，0)和点B(，0)，与轴交于点C，且满足.（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？ 如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由.二次函数的综合题训练参考答案一、应用题1. 解：（1）点在一次函数的图象上，解得；

8、（1分）一次函数的解析式为，令，得，点的坐标为，抛物线的对称轴为1，可设抛物线的解析式为，依题意，得，解得；（2分）抛物线的函数表达式或（3分）（2）存在（4分）为四边形的一边时，如图：轴，由抛物线的对称性，得，（5分）此时四边形的面积为：（6分）为四边形的对角线时，如图：设与交于点，即为的中点，设，则有在轴上，又，即，解得或（不合题意，舍去），点的坐标为，（7分）此时四边形的面积为：（8分）如图，作关于对称的点，有，直线与的交点即为点，则点就是使的周长取得最小值的点，直线的表达式为，当时，过的直线设为：，即，（9分）由，可得：，将代入，消去得：，（10分）联立解析式，得方程，整理得，此方程有

9、两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得：，；（11分）将，代入有定值，且定值为1（12分）2. 解：（1）由题，解得：，所以抛物线解析式为 （2）令，即设直线的解析式为， 故直线的解析式为， 设，则 当时，的面积最大，此时 （3）由（1），所以过作于点，则.当在左侧时，因为，则，得，设，则， 即，关于的方程有解，得 当在右侧时，中，即，作交轴于点，则，即为点时，.综上，的变化范围为：二、复合题3. 解：（1）在中，当x=16时，y=10. 在中，当x=4时y=4.点C的纵坐标为10，点D的纵坐标为4. （2）由（1）知，点C的坐标为(16,10)，点D的坐标为(4,4).抛物线图象经过点C、

10、D，解得a的值为， c的值为10. （3） 在中，当x=5时y=5.点Q的横坐标为5.由（2）可知，抛物线的解析式为.当y=5时，解得.点P的横坐标为.当点P在点Q左侧时，线段PQ的长为.当点P在点Q右侧时，线段PQ的长为.线段PQ的长为或. （4）当0m4或12m16时，d随m增大而减小. 4. 解：（1）由题意知，抛物线上的点关于轴的对称点1分设的解析式为则 的解析式为3分（2）的对称轴为，在直线上，故当点与点、点不在一直线上时，中，4分当点与点、点不在一直线上时，这些线段间关系为：故此时点到两点的距离差最大.5分设的解析式为，将代入上式得直线的解析式为6分而直线和直线的交点即为由得即为所

11、求.7分（3）设所求圆的半径为.由图可知8分对称轴为，9分由得，即10分将代入的解析式，得，即，圆与轴相切，.11分当时，解得（舍）12分当时，解得（舍）13分故所求的圆有两个，在轴上的圆半径为，在轴下方的圆半径为14分5. 1）解：直线与轴和 轴交于点A和点B， 1分解法一：当顶点M与点A重合时，. 2分抛物线的解析式是：即 4分解法二：当顶点M与点A重合时，. 2分 ， . 又，. 3分抛物线的解析式是： 4分N在直线上，设，又N在抛物线上， 5分解得 ， （舍去） 6分过N作NC轴，垂足为C(如图)， 7分 8分（2）存在. 10分 . 12分三、猜想、探究题6. 解：（1）因为四边形为

12、矩形，所以点的坐标为，点的坐标为把，；，分别代入中得，解之得所以抛物线所对应的函数关系式为；（2）因为，所以抛物线的顶点坐标为，所以中边上的高为4，令，得，解之得，所以，所以的面积；（3）绕点逆时针旋转，落在所在的直线上，又由（2）可知，所以点对应点的坐标为（3，2），当时，所以点不在该抛物线上7. 解：（1）当x=0时，y=2 当y=0时，由2x+2=0得x=-1 A（-1，0） B（0，2） （答对一个坐标得2分） （2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2yCBDOAxGFEH C（0，1）， D（2，0） 设抛物线的解析式是 依题意得 解得 抛物线的解析式是 （3）在中，由C（0

13、，1）， D（2，0）可得 若PCD是等腰三角形，则有以下三种情况： 当CP=CD时，此时点P在抛物线与线段AD所围成的封闭图形外，不合题意；（学生未答不扣分）， 当DP=DC时，以点D为圆心，DC长为半径画弧交x轴于点H，此时点P在sup4 ()上（不含点C、H），此时的取值范围是； 当PC=PD时，作线段CD的垂直平分线FG，交CD于点E，交x轴于点F，交抛物线于点G此时点P在线段FG上（不含点F、G、E）， 求得 E（1，），DE=. 在中， ，解得, ，即F(，0). 易得过E、F的直线解析式是，联立方程组得 解得(舍去） 点G的横坐标是， 此时的取值范围是，且. 综合，当PCD是等腰

14、三角形时，的取值范围是或，且. 8. 解：（1） ， 为等腰直角三角形，在和中，（AAS）（2）C点坐标为，BD=CO=1B点的横坐标为，B点坐标为 设所在直线的函数关系式为，则有解之，得 BC所在直线的函数关系式为 （3）存在二次函数解析式为=，对称轴为直线 若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使ABDCOxy P1P2 点为直线与对称轴直线的交点由题意，得 解之，得 若以为直角边，点为直角顶点，对称轴上有一点，使，过点作，交对称轴直线于点CD=OA， A（0，2）易求得直线的解析式为，由 得满足条件的点有两个，坐标分别为9. 解：（1）根据题意，得 解得 所求抛物线的解析式为 （2

15、）存在点D根据抛物线的对称性，点A和点B是对称点，要使，则点D应为点C的对称点，C(0，3)，对称轴 点D的坐标为(2，3) 10. 解：（1）因为点A（3，0）、B（0，3）在抛物线上，所以解得所以，所求抛物线的解析式为yx22x3（2）由（1）知y(x1)24 所以抛物线的对称轴为x1 方法1由抛物线性质知，点A、C关于对称轴对称连接AB，由轴对称性质知，AB与对称轴的交点即为所求的点D直线AB的解析式为y3x设点D（1，m），所以m312所以，所求点D的坐标为（1，2）方法2点B关于对称轴的对称点为E（2，3）连接CE，由轴对称性质知，CE与对称轴的交点即为所求的点D直线CE的解析式为y

16、x1设点D（1，m），所以m112所以，所求点D的坐标为（1，2）（3）解法1假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大连接OP，则当时，点P（，）在第一象限，此时ABP的面积最大所以，所求点P为（，）解法2假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大过点P作PQOA，垂足为Q，有PQOB那么（以下步骤与解法1相同，参照解法1评分）解法3假设存在点P（x，y）使得ABP的面积最大过点P作PMAB，垂足为M，作PQOA，垂足为Q，PQ交AB于点N，有PQOB直线AB的解析式为y3x，于是N的坐标为（x，3x）因为OAOB，所以OAB是等腰直角三角形PQOB MNPOBA45MNP是等腰直角三角形（

17、或MNPOBA）（或，即）PNPQNQyNQx22x3(3x)x23x10分（以下步骤与解法1相同，参照解法1评分）说明其他方法参照评分标准按步骤相应给分11. 解：（1）分别是直线与轴和轴的交点又是等腰直角三角形1分设过三点的抛物线解析式为： 解得：3分（2）设直线解析式为： 解得直线：4分设直线的解析式为：直线过点直线：5分又直线与抛物线相交于点 解得：（与点重合，舍去）或7分（3）有最大面积.8分点在抛物线上设，过作轴于点9分当时，10分当，11分12. 解：（1）由题意可设，即 2分 （2） 顶点的坐标为 设直线的解析式为，则即当时，即点的坐标为4分设对称轴与轴相交于点，且6分若以为顶点的三角形与全等，则分两种情况：，且点在的延长线上（记为）或在的延长线上（记为）点的坐标为7分作轴，垂足为，则，即点的坐标为8分，且点在轴上，（记为）或在第二限（记为