量子力学习题答案

1、.2.1如图所示 左 右 0 x设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中其解分别为（1）粒子从左向右运动右边只有透射波无反射波，所以为零由波函数的连续性得 得 解得由概率流密度公式 入射反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得两个方程 解 反射系数透射系数（二）的情形令,不变此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其解分别为由在右边波函数的有界性得为零（1）粒子从左向右运动得 得 解得 入射 反射系数透射系数(2) 粒子从右向左运动左边只有透射波无反射波，所以为零同理可得方程由于全部透射过去，所

2、以反射系数透射系数2.2如图所示 E 0 x在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为总透射系数 2.3以势阱底为零势能参考点，如图所示（1） 左 中 右 0 a x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得 相应的因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） 左 中 右 0 x显然时只有中间有值在中间区域所满足的定态薛定谔方程为其解是由波函数连续性条件得当，为任意整数，则当，为任意整数，则综合得 当时，波函数归一化后当时，波函数归一化后2.4如图所示 左 中 右 0 a显然在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程

3、为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 再由连续性条件，即由得 则得 得 除以得再由公式 ,注意到 令,其中 ， 不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得2.5则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为令 则上式可化成令则只有当有解 2.6由 和已知条件可得第三章3.1能量本征值方程为即分离变量法，令则有令则同理 令则式中能级简并度为 3.2角动量算符 在极坐标系下 则 由能量本征值方程 令 其解为由周期性得 归一化条件 则 3

4、.4由能量本征值方程 令 当 令 此时 满足的方程为 时 时只考虑时 令其解分别为 由波函数有界性 得 由波函数连续性得 再由公式 ,注意到 令,其中 ， 不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定归一化条件得1 可求得3.5 同理 方差算符 则 由测不准关系代入，验证该式是成立的第四章4.1在动量表象中 ， 则 代入 得 令 得 则 归一化后的 4.5本征方程的矩阵形式上式存在非零解的条件是即 解得当 再由 得 当 ，同样第六章6.3解：在 表

5、象，的矩阵元为其相应的久期方程为 即 所以的本征值为。设对应于的本征函数的矩阵表示为，则由归一化条件，得 同理可求得 对应于的本征函数为6.1设在的表象下的本征函数为 ，本征值为 ，在的表象下的本征函数为 ，本征值为由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det=0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得 由波函数归一化条件得有同理由在的表象下的矩阵得方程有非零解的条件为det=0，即 ，的本征值、本征函数有两个当时，代入得 由波函数归一化条件得有同理6.3节的证明题在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在算符与算符的相乘项）电子的哈密顿量为求其

6、本征值时转化为球坐标系下的方程则方程左边可分解为三维表象下的三个方程，三个表象下各自的波函数相乘即是的本征函数。表象下是阶连带拉盖尔多项式，记作算符的本征值表象下的方程显示的对的作用关系即是算符是球谐函数，是与的共同本征函数表象下是其本征函数为主量子数角量子数轨道量子数自旋量子数（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合电子的哈密顿量为同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程表象下也是阶连带拉盖尔多项式表象下的方程显示的对的作用关系即是总动量矩算符 ， 是属于不同自由度的 ，分别为其分量类似于在轨道角动量矩的性质，具有共同本征函数下面先求的本征函数的本征函数为球谐函数的本征函数为则的本征函数为，显

7、然的简并度为属于本征值的本征函数可表示为通过，确定可得表象下的本征函数在表象下由求得（以下只要记住就行） 时 时至此该情况下的本征函数为主量子数角量子数磁量子数内量子数量子力学全书重点1. 量子力学三大作用：奠基作用、渗透作用、设计作用2. 量子力学中粒子的特点单一粒子具有波粒二象性多粒子体系具有全同性3. 量子力学的三大原理：态叠加原理：若波函数 ，是描述粒子的一些可能态，则这些波函数线性叠加得到的也是描述粒子的可能态测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符，设其满足，则有对于时间与能量全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运动状态只能用对称或反对称的波函数来描述4. 量子力学的三大概率分布概率跃迁概率散射概率5. 量子力学的三大景象薛定谔景象 随时间变化，不变海森伯景象 取时刻，含时互作用景象（狄拉克景象）6. 量子力学的三大方程薛定谔方程：含时形式：定态形式：海森伯方程泡利方程7. 波函数物理含义：描述微观物体的运动状态，是描述的粒子在体积元内出现的概率性质：连续性，有界性，单值性，归一性厄米算符线性条件：厄米条件：本征函数:正交归一性、完备性具有完备的共同本征函数：两算符必须对易力学量的完备集合1. 力学量的数目至少等于系统的自由度2. 这一组力学量必须两两对易3. 这一组力学量必须相互独立8. 常见力学量