专题1抛物线与三角形

1、中考专题一、抛物线与三角形 姓名 15、(2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3） AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质【答案】（1）抛物线与轴交于点（0，3），设抛物线解析式为根据题意，得，解得抛物线的解析式为(5)(2)(5)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F四边形ABDE的面积=9（3）似如图，BD=；BE=DE= , 即： ,所以是直角三角形,且, 1

2、0、（2009年常德市）已知二次函数过点A （0，），B（，0），C（）图8 （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M（1，）是否在直线AC上？ （3）过点M（1，）作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明BEF是直角三角形【关键词】二次函数【答案】（1）设二次函数的解析式为（）， 把A （0，），B（，0），C（）代入得图8解得 a=2 ， b=0 ， c=2，（2）设直线AC的解析式为 ，把A （0，2），C（）代入得， 解得 ，当x=1时， M（1，）在直线AC上 （3）设E点坐标为（），则直线EM的解析式为由 化简得，即， F点

3、的坐标为（）过E点作EHx轴于H，则H的坐标为（） ，类似地可得 ， ，BEF是直角三角形4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.【关键词】与二次函数有关的面积问题第26题图【答案】解：（1）将A（1，0）B（-3，0）代入中得，抛物线解析式为

4、： （2）存在理由如下：由题意知A、B两点关于抛物线的对称轴对称，直线BC与的交点即为Q点，此时AQC周长最小，C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为Q点坐标即为的解，Q（-1，2） 2、（2009年株洲市）已知为直角三角形，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、（1）求点的坐标（用表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值【关键词】二次函数的综合题【答案】（1）由可知，又ABC为等腰直角三角形，所以点A的坐标是（）. （2） ，则点的坐标是（）.又抛物线顶点为，且

5、过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： 解得 抛物线的解析式为 ，（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，. 即，得 即，得又即为定值8. 20、（2009湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与x轴交于A（，0），B（m2，0）两点，记抛物线顶点为C，且ACBC（1）若m为常数，求抛物线的解析式；（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由OBACDxy第25题图解：（1）设抛物线的解析式为：ya（xm2）（xm2）a（xm）24a

6、ACBC，由抛物线的对称性可知：ACB为等腰直角三角形，又AB4，C（m，）代入得a解析式为：y（xm）2（亦可求C点，设顶点式）（2）m为小于零的常数，只需将抛物线向右平移m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y（xm）2顶点在坐标原点（3）由（1）得D（0，m2），设存在实数m，使得BOD为等腰三角形BOD为直角三角形，只能ODOBm22|m2|，当m20时，解得m4或m（舍）当m20时，解得m0（舍）或m（舍）；当m20时，即m时，B、O、D三点重合（不合题意，舍），综上所述：存在实数m4，使得BOD为等腰三角形4.（09年福建莆田）25（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，

7、抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接（1）求点的坐标；（2）求证：；EDCAFBxOylEDCOFxy（图1）备用图（第25题图）（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（09年福建莆田25题解析）25（1）解:方法一，如图1，当时,当时, EDCAFBxOyl（图1）1分2分设直线的解析式为3分则解得直线的解析式为4分当时,EDCAFBxOyl（图2）GHM5分方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形

8、均为矩形,设3分4分解得5分(2)证明：方法一：在中，6分在中，由（1）得7分8分方法二：由 （1）知6分同理：7分同理：即8分（3）存在.解：如图3，作轴，垂足为点9分EDCOFxy图3MPlQ又10分设，则当时，11分解得12分当时，13分解得综上，存在点、使得与相似.14分.（09年甘肃定西）28如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图14（2）、图14（3）为解答备用图（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，

9、请说明理由；图14（1）图14（2）图14（3）（4）在抛物线上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形（09年甘肃定西28题解析）解：（1），1分A（-1，0），2分B（3，0）3分（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM 4分则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6，5分 四边形 ABMC的面积=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=96分 图14（2）说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和（3）如图14（2），设D（m，），连结OD则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， DO

10、B的面积=-（），8分 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积= 9分图14（3） 图14（4） 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为10分（4）有两种情况：如图14（3），过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C CBO=45°，EBO=45°，BO=OE=3 点E的坐标为（0，3） 直线BE的解析式为12分由 解得 点Q1的坐标为（-2，5）13分如图14（4），过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45°，CFB=45°，OF=OC=3 点F的坐标为（-3，0） 直线

11、CF的解析式为14分由 解得 点Q2的坐标为（1，-4）15分综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形16分说明：如图14（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明BCM为直角三角形同样得2分 13.（09年广东茂名）25（本题满分10分）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 （1）求的值；（2分） （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分） （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽

12、抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值（4分）（第25题图）yOMxnl123（09年广东茂名25题解析）解：（1）在上，2分 （2）由（1）得：， 在上， 当时，3 分 解法一：设抛物线表达式为：，4分 又， ，5 分 经过点的抛物线的解析式为：6 分 解法二：，设，4 分 把代入：，得，5 分 抛物线的解析式为6 分 （3）存在美丽抛物线7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛

13、物线的顶点的纵坐标必小于 1当时，当时，当时，yOMxnl123美丽抛物线的顶点只有8分若为顶点，由，则；9分若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线10分14.（09年广东梅州）23本题满分 11 分 （提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） 如图 12，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点 （1）直接写出直线的解析式； （2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值； （3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由LAOM

14、PBxyL1图12Q（09年广东梅州23题解析）（1）2分（2），点的横坐标为，当，即时，3分当时，4分当，即时，当时，有最大值6分（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得7 分LAOPBxyL123题图-1QC下证连，则四边形是正方形 法一：（i）当点在线段上，在线段上（与不重合）时，如图1 由对称性，得， ， 8分（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图2，如图3 ， 9分 （iii）当点与点重合时，显然 综合（i）（ii）（iii）， yLAOPBxL123题图-3QC21在上存在点，使得是以为

15、直角顶点的等腰直角三角形11 分 LAOPBxL123题图-2QC21y法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得 7 分 延长与交于点 （i）如图4，当点在线段上（与不重合）时，四边形是正方形， 四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形 LAOPBxyL123题图-1QC又， ， ， ， 又， 8分（ii）当点与点重合时，显然 9分 （iii）在线段的延长线上时，如图5， ，1=2 综合（i）（ii）（iii）， 在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 11分23题图-4LAOMPBxyL1Q

16、CNyLAOPBxL123题图-5QC21法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，O两点关于直线对称，所以，得 9分连，10分在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 11分17.（09年广东深圳）23（本题10分）已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图11）。（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一

17、个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。图11当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）图12又连接CD、CP（如图13），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）图13（09年广东深圳23题解析）（1） 由RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=为所求（2） ； 提示：直线BC的解析式为设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组 分别可

18、求和（3） 过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为，且，故 故，当时，21.（09年广西来宾）26（本小题满分12分）当x2时，抛物线yax2bxc取得最小值1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B （1）求该抛物线的关系式；（2）若点M（x，y1），N（x1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；ABCDOxyEF3（第26题图）（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F问：是否存在DEF与AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由（09年广西来宾26题解析）解：（1）由题意可

19、设抛物线的关系式为ya(x2)211分因为点C（0，3）在抛物线上所以3a(02)21，即a12分所以，抛物线的关系式为y(x2)21x24 x33分（2）点M（x，y1），N（x1，y2）都在该抛物线上y1y2（x24 x3）(x1)24(x1)332 x4分当32 x0，即时，y1y25分当32 x0，即时，y1y26分当32 x0，即时，y1y27分（3）令y0，即x24 x30，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（,）直线AC的函数关系式为yx38分因为OAC是等腰直角三角形，所以，要使DEF与OAC相似，DEF也必须是等腰直角三角形由于EFOC，因此DEF45

20、6;，所以，在DEF中只可能以点D、F为直角顶点当F为直角顶点时，DFEF，此时DEFACO，DF所在直线为由，解得，（舍去）9分将代入yx3，得点E（，）10分当D为直角顶点时，DFAC，此时DEFOAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为yx解x24 x3x，得，（舍去）11分将代入yx3，得点E（，）12分ABCDOxyEF3（第26题图）ABCDOxyEF3（第26题图）22.（09年广西崇左）25（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点（1）求点的坐标；（2）求抛物线的

21、解析式；BACxy（0，2）（1，0）（第25题）（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由BADCOMNxyP1P2（09年广西崇左25题解析）（1）过点作轴，垂足为，；1分又，2分3分点的坐标为；4分（2）抛物线经过点，则得到，5分解得，所以抛物线的解析式为；7分（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：若以点为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，8分过点作轴，；10分，可求得点；11分若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，12分过点作轴，同理可证；13分，可求得点；1

22、4分经检验，点与点都在抛物线上16分28.（09年广西钦州）26（本题满分10分）如图，已知抛物线yx2bxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（1，0），过点C的直线yx3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b_，c_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由（09年广西钦州26题解析）解：（1）（0，3），b，c33分（2）由（1），得yx2x3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）O

23、B4，又OC3，BC5由题意，得BHPBOC，OCOBBC345，HPHBBP345，PB5t，HB4t，HP3tOHOBHB44t由yx3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）OQ4t4分当H在Q、B之间时，QHOHOQ（44t）4t48t5分当H在O、Q之间时，QHOQOH4t（44t）8t46分综合，得QH48t；6分（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似7分当H在Q、B之间时，QH48t，若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得，t7分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t11，t21（舍去）8分当H在O、Q之间时，QH8t4若QHPCOQ，则QHCOHP

24、OQ，得，t9分若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得，即t22t10t1t21（舍去）10分综上所述，存在的值，t11，t2，t310分30.（09年贵州黔东南州）26、（12分）已知二次函数。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。（09年贵州黔东南州26题解析）解（1）因为=所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2分）（2）设x1、x2是的两个

25、根，则，因两交点的距离是，所以。（4分）即：变形为：（5分）所以：整理得：解方程得：又因为：a<0所以：a=1所以：此二次函数的解析式为（6分）（3）设点P的坐标为，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，所以：AB=（8分）所以：SPAB=所以：即：，则（10分）当时，即解此方程得：=2或3当时，即解此方程得：=0或1（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(2,3), (3,3), (0, 3)或(1, 3)。（12分）31.（09年贵州安顺）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与交于A(1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（4） 求抛物线的解析式；（

26、5） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（6） AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。（09年贵州安顺27题解析）解：（1）(5) 抛物线与轴交于点（0，3），设抛物线解析式为(1)根据题意，得，解得抛物线的解析式为(5)(2)(5)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4） （2)设对称轴与x轴的交点为F四边形ABDE的面积=9（5）（3）(2)相似如图，BD=；BE=DE= , 即： ,所以是直角三角形,且, (2)37.（09年黑龙江牡丹江）28（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且 （1）求的值 （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？xyADBOC28题图 （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 1分在中，由勾股定理有1分（2）点在轴上，1分由已知可知D（6，4）设当时有解得1分同理时，1分在中，在中，1分（3）满足条件的点有四个4分说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出