一次函数与不等式的关系

1、九年级数学九年级数学青岛版青岛版利用一次函数的图象求利用一次函数的图象求一元一次不等式的解集一元一次不等式的解集 1、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次方程的关系求求ax+b=0(a, b是是常数，常数，a0)的解的解X X为何值时为何值时函数函数y= a ax+b的值的值为为0从数的角度看从数的角度看从形的角度看从形的角度看求求ax+b=0(a, b是是常数，常数，a0)的解的解确定直线确定直线y= a ax+b与与X轴交点的横坐标轴交点的横坐标知识回顾知识回顾 2 2、 一次函数与二元一次方程组一次函数与二元一次方程组：解方程组解方程组从从“数数”的角度看的角度看解方程组解方

2、程组确定两直线交点的确定两直线交点的坐标坐标. .从从“形形”的角度的角度看看cbacbayxyx222111cbacbayxyx222111自变量自变量x为何值为何值时两个函数时两个函数y=k1x+b1与与y=ky=k2 2x+bx+b2 2的值相等的值相等并求出这个函数值并求出这个函数值 解解(1)移项得移项得:5x - 3x 10 - 6合并合并,得得 2x 4原不等式的解是原不等式的解是: x2化系数为化系数为1,得得x 2(2)作出函数作出函数 y = 2x -4 的图象的图象(如图如图)从图像观察知，当从图像观察知，当x2时时 直线上的点在直线上的点在x x轴上方轴上方，即，即 y

3、 0因此当因此当 x 2 时函数的值大于时函数的值大于0。问题探究问题探究 由于任何一元一次不等式都可以转化为由于任何一元一次不等式都可以转化为axax+ +b b0 0或或axax+ +b b0 0（a a、b b为常数，为常数，a a00）的形式，所以解）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：一元一次不等式可以看作： 当一次函数的值大于（或小于当一次函数的值大于（或小于) )0 0时，求自变量时，求自变量相应的取值范围。从图像上看，这又相当于求相应的取值范围。从图像上看，这又相当于求“直直线线y=ax+by=ax+b在在x x轴上方的部分（或下方的部分）的横轴上方的部分（或下方的部分）的横

4、坐标的范围坐标的范围”想一想：想一想：v如果y=-2x-5, 那么当x取何 值时，y0?312 34-1-2-3-1-2-3-401234x-5yy=-2x-5解：由图可知，当x0八年级 数学第十一章 函数例例1:1:用画函数图象的方法解不等式用画函数图象的方法解不等式5x+45x+42x+102x+10解法解法1:1:原不等式化为原不等式化为3x -603x -60,画出直线画出直线y = 3x -6(y = 3x -6(如图如图) ) 可以看出可以看出, ,当当x2 x2 时这条直线上时这条直线上的点在的点在x x轴的下方轴的下方, ,即这时即这时y = 3x -6 0y = 3x -6

5、0所以不等式的解集为所以不等式的解集为x2x2找分界点找分界点解法二：画出函数解法二：画出函数 y = 2x+10 y = 5x+4y = 2x+10 y = 5x+4图象图象 从图中看出：当从图中看出：当x 2x 2时时直线直线 y = 5x +4 y = 5x +4 在在 y = 2x +10y = 2x +10的的下方下方 即即 5x+4 2x +105x+4 2x +10 不等式不等式 5x+4 2 x +10 5x+4 2 x +10 的解集是的解集是x 2x 2两种解法都把两种解法都把解不等式转化解不等式转化为比较直线上为比较直线上点的位置的高点的位置的高低低找分界线找分界线利用图

6、象求不等式利用图象求不等式6x-3x+2的解的解方法一方法一:将方程变形为将方程变形为ax+b0的形式的形式不等式化为不等式化为5x-50：转化为函数解析式转化为函数解析式：画图象：画图象y=5x-5：方法二方法二:把不等式把不等式6x-3x+2的两边看成的两边看成是两个函数是两个函数:即即y=6x-3,y=x+2转化为两个函数转化为两个函数画出两个函数图象画出两个函数图象找出交点找出交点（观察观察x在什么范围时图在什么范围时图象象y点在点在y点的下方）点的下方）0-1yx1xy01-22所以不等式所以不等式6x-3x+2的解是的解是x1所以不等式所以不等式6x-3x+2的解是的解是x1(观察

7、观察x在什么范围时图象上在什么范围时图象上的点是在的点是在x轴的下方轴的下方)找分界点找分界点找分界线找分界线尝试一下尝试一下 例例2：已知函数已知函数y1=5x+4，y2=2x+10，利用函数图像求：，利用函数图像求：1、当、当x为何值时，为何值时，y1=y2？2、x为何值时，为何值时，y1y2？3、你能求出你能求出两函数图像与两函数图像与x轴所围成的三角形的面积吗？轴所围成的三角形的面积吗？可以看出，它们交点的可以看出，它们交点的横横坐标为坐标为2，解：解：画出直线画出直线y1=5x+4与直线与直线y2=2x+10，（1）、当）、当x=2时，时， y1=y2。（2）、）、当当x2时，对于同

8、一个时，对于同一个X，直线，直线y1=5x+4上的上的点点都在直线都在直线y2=2x+10上相应点的上相应点的下方下方， 所以：当所以：当x x2 2时，时， y1y2y1=5x+4yx0y2=2X+102x点评点评：学习数学需要我们善于观察，寻找：学习数学需要我们善于观察，寻找知识之间的联系。知识之间的联系。(3)解：如图所示：分别求解：如图所示：分别求A,B,C三点的坐标三点的坐标:y1=5x+4yx0y2=2X+102A(-5,0)B(- ,0)C(2,14)542121A(-5,0)B(- ,0)C(2,14)SABC= AB.CD= x x 14521=21514721解不等式解不等

9、式ax+b0(a，b是常是常数，数，a0) x为何值时为何值时函数函数y= ax+b的值的值 大于大于0 从从“数数”的角度看的角度看解不等式解不等式ax+b0(a，b是常数，是常数，a0) 的解集的解集 求直线求直线y= ax+b在在 x x轴轴上方的部分上方的部分（射线）（射线）所对应的的横坐标的所对应的的横坐标的取值范围取值范围 从从“形形”的角度的角度看看知识总结知识总结xy 0 y=ax+bba解不等式解不等式ax+b0(a，b是常是常数，数，a0) x为何值时为何值时函数函数y= ax+b的值的值 小于小于0 从从“数数”的角度看的角度看解不等式解不等式ax+b02x+40的解集的

10、解集（2 2）不等式）不等式2x+402x+40的解集的解集（3 3）当）当2y62y6时时,x,x的取值范围的取值范围. .你是怎样做的？与同伴交流。你是怎样做的？与同伴交流。解：（解：（1 1）2x+42x+40 0的解集的解集 为：为：x x2 2（2 2）2x+402x+40的解集的解集 为：为：x x2 2（3 3）x x的取值范围是：的取值范围是： -1x1-1x1探究一下探究一下1、在一次函数、在一次函数y=2x-3中，已知中，已知x=0则则y= ；若已知；若已知y=2则则x= ；2、当自变量、当自变量x时，函数时，函数y=3x+2的的值大于值大于0；当；当x_ 时，函数时，函数

11、y=3x+2的的值小于值小于0。3、已知函数、已知函数y=-3x+6，利用图像求当，利用图像求当x _时，时，y0.当当x_时，时，y-2。及时反馈及时反馈-32.5-2/3-2/38/34 4、如图，如图，直线直线y y1 1=k=k1 1x+bx+b1 1与直线与直线y y2 2=k=k2 2x+bx+b2 2交于点（交于点（-2-2，2 2）则当则当x_x_时，时，y y1 1y y2 2，当当x_时，时，y1y2，当，当x_时，时，y1=y2及时反馈及时反馈3 3、在交点（在交点（ - 2 - 2 ，2 2）处）处即即x=-2x=-2时，时， y1y1= =y2y2-2 y2y2，所以当，所以当x x y2 y2 （1）一元一次不等式ax+b0（a0）是一次函数y=ax+b（a0）的函数值 的情形；一元一次不等式ax+b0 （a0）是一次函数y=ax+b（a0）的函数值 的情形 （2）直线y=ax+b上使函数值y0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的解集；使函数值y0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的