高一数学知识点与题型完整归纳总结

1、 集合及集合的应用【课标解读】1. 掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题；2. 掌握集合的包含关系（子集、真子集）；3. 掌握集合的运算(交、并、补)；4. 在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.【知识梳理】一、集合的有关概念(一) 集合的含义(二) 集合中元素的三个特性1.元素的确定性：如：世界上最高的山，反例：世界上很高的山；2.元素的互异性：如：由“HAPPY”的字母组成的集合H,A,P,Y；3.元素的无序性： 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合.(三) 集合的表示集合的表示方法：列举法与描述法.常用数集及其记法：非负整数集

2、（即自然数集） 记作：N，正整数集： N*或 N+ ，整数集：Z，有理数集Q， 实数集R.1列举法：a,b,c,2 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：xÎR| x-3>2,x|x-3>2.3语言描述法：如：不是直角三角形的三角形.4.Venn图.(四) 集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合;2.无限集: 含有无限个元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如：x|x2=-5.二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合.反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含

3、集合A,记作AB或BA.2. “相等”关系：A=B (55，且55，则5=5).实例：设A=x|x2-1=0， B=-1,1. 则A=B.元素相同则两集合相等,即： 任何一个集合是它本身的子集：AÍA；真子集:如果AÍB,且A¹ B,那就说集合A是集合B的真子集，记作A ÜB(或B ÝA).如果 AÍB, BÍC ,那么AÍC. 如果AÍB , 同时 BÍA ,那么A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Æ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素

4、的集合，有2n个子集，个真子集.三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作“A交B”），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作“A并B”），即AB =x|xA，或xB设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ðSA，即ðSA=.韦恩图示SA性质AA=A AÆ=ÆAB=BAABAABBAA=AAÆ=AAB=BAABABB(ðUA)( 

5、40;UB)= ðU(AB)(ðUA) ( ðUB)= ðU(AB)A (ðUA)=UA(ðUA)= Æ【方法归纳】一、对于集合的问题：要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.课堂精讲练习题考点一：集合的概念与表示1. 集合A中的元素由x=a+b(aZ,bZ)组成，判

6、断下列元素与集合A的关系. （1）0； （2） ； （3） .【解题思路】：（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为难度分级:B类2. 已知集合A=y|y=x-1，xR，B=(x,y)|y=x2-1，xR，C=x|y=x+1，y3，求.【解题思路】： A=y|y=x-1，xR=R是数集，B=(x,y)|y=x2-1，xR是点集， C=x|y=x+1，y3=x|x2， =.难度分级:A类3. 已知集合A=x|x2+4ax-4a+3=0， B=x|x2+(a-1)x+a2=0，C=x|x2+2ax-2a=0， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.【解题思路】： 当三个集合全是空集

7、时，所对应的三个方程都没有实数解. 方程都没有实数解， 即 解此不等式组，得 所求实数a的取值范围为a,或a-1.难度分级:B类考点二：集合中元素的特征4. 集合3，x，x22x中，x应满足的条件是_.【解题思路】：x1且x0且x3.难度分级：A类5. 设集合，若，求的值及集合、【解题思路】：且，（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，且；（2）若，则或 当时，与集合中元素的互异性矛盾，； 当时，由得 或 由得，由得，或，此时难度分级:B类6. 设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合： 1S，若，则，请解答下列问题：（1）若2S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若，则

8、.（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S中至少有三个不同的元素.【解题思路】：（1）要求的两个数为；（2）若，.（3）集合S中的元素不能只有一个.证明：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a=,此方程无解，a 集合S中的元素不能只有一个.（4）证明：由（2）知， 现在证明a，三个数互不相等.若a=,此方程无解，a若a=，此方程无解，a若=，此方程无解， 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.难度分级：C类考点二：交集、并集、补集的含义及其运算7. (2010·南京模拟)已知集合Mx|y2x1，Px|y22(x3)，那么MP .【解题思路】：由M：xy21

9、1，即Mx|x1，由P：xy233，即Px|x3，所以MPx|1x3答案:x|1x3难度分级：A类8.已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有AB，设集合ðU(AB)中有x个元素，则x的取值范围是_【解题思路】：因为当集合AB中仅有一个元素时，集合ðU(AB)中有3个元素，当AB中有6个元素时，ðU(AB)中有8个元素，即3x8且x为整数答案:3x8且x为整数.难度分级：B类9.(2010·盐城模拟)设全集UR，Ax|>0，UA1，n，则m2n2_.【解题思路】：由UA1，n，知A(，1)(n，)，即不等式>0

10、的解集为(，1)(n，)，所以n1，m1，因此m1，n1，所以m2n22. 难度分级：B类10.若集合，集合，且，求实数的取值范围【解题思路】：（1）若A，则，解得；（2） 若，则，解得，此时，适合题意；（3）则，解得，此时，不合题意；综上所述，实数的取值范围为难度分级：A类11.写出阴影部分所表示的集合： 【解题思路】：（1）B（ðUA） (2)ABC.难度分级：B级12.（2010辽宁理）已知A，B均为集合U=1,3,5,7,9的子集，且AB=3,ðU BA=9,则A= .【解题思路】：因为AB=3，所以3A，又因为ðU BA=9，所以9A,所以A=3,9.本

11、题也可以用Venn图的方法帮助理解.难度分级：B类13.设集合A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，xR，若BA，求实数a的取值范围【解题思路】：A=x|x2+4x=0，xR=0，-4, BA, B=或0，-4，0，-4.当B=时，=2(a+1)2-4(a2-1)<0. a< -1.当B=0时，, a=-1.当B=-4时， , 此方程组无解.当B=0，-4时， ,a=1. a的取值范围为：a-1或a=1难度分级：B类14. (2010·盐城模拟)已知集合Ax|x2x20，Bx|2<x14，设集合Cx|x2bxc>0，且满足(

12、AB)C，(AB)CR，求实数b，c的值【解题思路】：因为Ax|2x1，Bx|1<x3，所以ABx|2x3，又因为(AB)C，(AB)CR，所以Cx|x>3或x<2，则不等式x2bxc>0的解集为x|x>3或x<2，即方程x2bxc0的两根分别为2和3，则b(32)1，c3×(2)6. 难度分级：B类15.已知全集U=R，集合A=x|x2-x-6<0， B=x|x2+2x-8>0，C=x|x2-4ax+3a2<0， (1)试求a的取值范围，使ABC； (2)试求a的取值范围，使.【解题思路】： U=R，A=（-2，3），B=（-，

13、-4）（2，+），故AB=（2，3），（-，-23，+），-4，2，=-4，-2， x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0，当a<0时，C=（3a，a）； 当a=0时，C=； 当a>0时，C=（a，3a）.(1) 要使ABC，结合数轴知， 解得 1a2；(2) 类似地，要使，必有 解得 .难度分级：B类【课堂训练】1. 若集合中元素是ABC的三边长，则ABC一定不是 三角形.【解题思路】：根据集合中元素的互异性，a、b和c互不相等，所以ABC一定不是等腰三角形.答案：等腰难度分级：A类2. 设集合I=1，2，3，AI,若把集合MA=I的集合M叫做集合A的配

14、集，则A=1，2的配集有 个.【解题思路】：A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有.答案：4难度分级：B类3. 三个元素的集合1，a，也可表示为0，a2，a+b，求a2011+ b2012的值【解题思路】：依题意得, 则b=0.所以, 则.由互异性知.所以 a2011+ b2012=-1.难度分级：B类4. 设集合A=5，log2（a+3），集合B=a，b.若AB=2，则AB=_.【解题思路】：AB=2，log2（a+3）=2.a=1.b=2.A=5，2，B=1，2.AB=1，2，5.答案：1，2，5.难度分级：A类3.设A=x|1x2，B=x|xa，若AB

15、，则a的取值范围是_.【解题思路】：AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a1.答案：a1.难度分级：A类5. (2010·苏州模拟)已知全集UR，Mx|y，Px|，yM，则(ðU M)(ðU P)_.【解题思路】：M是y的定义域，即Mx|x1，ðU Mx|x<1P是值域为M时，的定义域，则Px|0<x，ðU Px|x0或x>，(ðU M)(ðU P)x|x0或<x<1答案：x|x0或<x<1难度分级：A类6.已知集合A=x|x2-1=0 ，B=x|x2-2ax+b=0，AB

16、=A，求a，b的值或a,b所满足的条件【解题思路】：A=x|x2-1=0 =1，-1, AB=A， BA.当B=时 , =4a2-4b<0,即; 当B=-1时，a=-1，b=1; 当B=1 时，2a=1+1=2，即a=b=1; 当B=-1，1时，B=A=-1，1 ，此时a=0，b=-1. 综上所述a,b满足的条件为：a2-b<0或a=-1，b=1 或a=0，b=-1或a=-1，b=1.难度分级：B类7.(2010·扬州模拟)设Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80(1)若ABAB，求实数a的值；(2)若AB，且AC，求实数a的值；(3)若ABAC

17、，求实数a的值【解题思路】：(1)因为ABAB，所以AB，又因为B2,3，则a5且a2196同时成立，所以a5.(2)因为B2,3，C4,2，且AB，AC，则只有3A，即a23a100，即a5或a2，由(1)可知，当a5时，AB2,3，此时AC，与已知矛盾，所以a5舍去，故a2.(3)因为B2,3，C4,2，且ABAC，此时只有2A，即a22a150，得a5或a3，由(1)可知，当a5时不合题意，故a3. 难度分级：B类【课后检测】1. 已知集合A=(x,y)|x2y2y=4，B=(x,y)|x2xy2y2=0，C=(x,y)|x2y=0，D=(x,y)|x+y=0.(1)判断B、C、D间的关

18、系；(2)求AB.【解题思路】：（1）B=CD; （2）AB=(),(2, 1),(4，4).难度分级：B类2. 已知全集中有m个元素，中有n个元素若非空，则的元素个数为 .【解题思路】： 因为，所以共有个元素.难度分级：A类3. 已知数集 A=a2，a+1，-3，数集B=a-3,a-2，a2+1，若AB=-3，求a的值【解题思路】：AB=-3， -3A, -3B. 当a-3=-3,即a= 0时，B=-3，-2，1， A=0，1，-3不满足题意； 当a-2=-3,即a=-1时，B=-4，-3，2， A=1，0，-3满足题意.a =-1. 难度分级：A类4. 已知集合A=2，5，B=x|x2+p

19、x+q=0，xR.（1）若B=5，求p，q的值（2）若AB= B ，求实数p，q满足的条件【解题思路】：（1）AB=5，方程x2+px+q=0有两个相等的实根5， 5+5=-p,5´5=q,p=-10，q=25.（2） AB= B,BA. 当B=时，=p2-4q<0，即 p2<4q；当B=2时，可求得p=-4，q=4； 当B=5时，p=-10，q=25；当B=2，5时，可求得p=-7，q=10； 综上所述：实数p，q满足的条件为p2<4q 或或或.难度分级：B类5. 已知A=x|x2px+15=0，B=x|x2axb=0，且AB=2,3,5，AB=3，求p,a,b的

20、值.【解题思路】：p=8, a=5 ,b=6.难度分级：B类6. 设A=x|x2+4x=0，B=x|x2+2(a+1)x+a21=0,aR.(1)若AB=B，求实数a的值.(2)若AB=B,求实数a的值.【解题思路】：(1)a=1或a1； (2)a=1.难度分级：B类7. 某校有A、B两个课外科技制作小组，50名学生中报名参加A组的人数是全体学生人数的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名的人数的还多1人，求同时报名参加A、B两组人数及两组都没有报名的人数.【解题思路】：同时报名参加A、B组的人数为21人，两组都没有报名的人数为8人.难度分级：B类8.

21、已知全集，且，求集合和.【解题思路】：如图： 由图可知，. 难度分级：B类9. 已知集合A=xR|ax2+2x+1=0，aR只有一个元素，则a的值为_.【解题思路】：若a=0，则x=.若a则，=44a=0，得a=1.答案：a=0或a=1.难度分级：B类10. 设集合P=0，a，2b，Q=0，a2，b2，已知P=Q，求a,b的值.【解题思路】：P=Q，或解得a=0（舍）或a=1，b=0（舍）或b=2.解得(舍去)，或所以a=1，b=2或者难度分级：B类11. 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.【

22、解题思路】： 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故不含“孤立元”的集合有，共6个.难度分级：C类12. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【解题思路】： 设两者都喜欢的有人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以.即所求人数为12人 .难度分级：B类第二讲 函数的图象及基本性质【课标解读】1 理解函数概念；2 了解

23、构成函数的三个要素；3 会求一些简单函数的定义域与值域；4 理解函数图象的意义； 5 能正确画出一些常见函数的图象；6 会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；7 理解函数单调性概念；8 掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；9 会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；10 能利用函数的单调性解决一些简单的问题；11 了解函数奇偶性的含义；12 熟练掌握判断函数奇偶性的方法；13 熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；14 能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.【知识梳理】1 函数的定义：设是两个非空数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个

24、元素，在集合中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数，记为其中输入值组成的集合叫做函数的定义域，所有输出值的取值集合叫做函数的值域.2 函数的图象：将函数自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数的图象3 函数的图象与其定义域、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域，在轴上的射影构成的集合对应着函数的值域4 用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然；用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法（这个等式通

25、常叫函数的解析表达式，简称解析式），其优点是函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质；用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法，其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势5 单调增函数的定义： 一般地，设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间注意：“任意”、“都有”等关键词；单调性、单调区间是有区别的；6 单调减函数的定义： 一般地，设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间7 函数图象与单调性：函数在单调增区间上的图象

26、是上升图象；而函数在其单调减区间上的图象是下降的图象.8 偶函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数注意：（） “任意”、“都有”等关键词；（）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；9 奇函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数10 函数图象与单调性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称【方法归纳】一、 求函数的定义域的常用求法（一） 给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；常见类型有： 1. 分式的分母不为零.2. 偶次根式的被开方数大于或等于零.3. 对数的真数大于零,底数大于

27、零且不等于1.4. 零次幂的底数不为零.5. 正切函数的定义域是：x不等于（二） 已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域时抓住两点：1. 复合函数f（g（x）定义域都是指最内层函数即g（x）的x的取值范围.2. 内层函数的值域都应是外层函数定义域的子集.（三） 实际问题中函数的定义域：除了使式子本身有意义之外，还应使实际问题有意义.二、 求函数的解析式常见方法（一） 已知内层函数和复合函数的解析式，求外层函数的解析式，这类问题主要两种方法：1. 换元法：令内层函数为t，将x用t表示，求出f（t）即可，若x用t表示比较困难，可考虑配凑法.2. 配凑法：将内层函数看着一个整体，把复合函数的

28、表达式配成用这个整体来表示.若式子比较难配，考虑换元法. （二） 已知函数的类型，求函数解析式，通常采用待定系数法，即直接设出函数的表达式，找出相等关系，将待定系数解出即可.（三） 求抽象函数的解析式，将f（x）看作一个未知数，x看作常数，利用方程的思想解出.三、 函数的值域（一） 弄清函数的类型：几种常见函数类型：1. 基本初等函数（1） 一次函数：y=kx+b（k0）（2） 二次函数：y=ax2+bx+c（a0）（3） 反比例函数：（4） 指数函数：（5） 对数函数：（6） 幂函数：（7） 正弦函数：y=sinx（8） 余弦函数：y=cosx（9） 正切函数：y=tanx2. 有几个基本初

29、等函数复合的函数例：，它是由1. 你能看出下列函数是由那些基本初等函数复合而成的吗？ ；.3. 复杂函数非（1）（2）（4）（5）的形式比较复杂的函数.如：y=2x+log2x4. 分段函数在函数的定义域内的不同部分上，对应不同的表达式：例：（二） 对于基本初等函数可利用函数的图象或函数的单调性求解.（三） 对于由几个初等函数复合而成的函数可以采用换元法求解.（四） 处理复杂函数的值域问题，可借助函数的单调性来处理.（五） 处理分段函数的值域问题时分别求出每一段的值域，然后取并集.四、 函数的单调性（一） 函数单调性的证明：定义法是证明函数单调性的常用方法，主要有以下步骤：1. 根据题意在区间

30、上设；2. 比较大小；3. 下结论“函数在某个区间上是单调增（或减）函数” .对于第二步，常见的思路是作差，变形，定号，其中变形主要指的是分解因式、通分、有理化等.（二） 复合函数的单调性：处理复合函数单调性问题的基本原则是同增异减.一般步骤：1. 写出符合函数的内层函数t=g（x）和外层函数y=f（t）2. 求出内外层函数的单调区间，注意求外层函数的单调区间时要将t的范围转化成x的范围.3. 根据同增异减的原则，利用取交集的方式求出复合函数的单调区间.（三） 函数单调性的应用1. 比较大小：若要比较大小的两个数结构、形式相同，可构造函数，利用函数的单调性比较.2. 求函数的值域：若函数的单调

31、性可以求出，则值域可求.3. 解不等式或方程：若不等式（方程）的两边分别可以看出同一个函数的函数值，可以利用单调性得出其自变量的大小关系，从而得到简化的不等式（方程）.五、 函数的奇偶性（一） 函数奇偶性的判断:判断函数的奇偶性主要是定义法.一般步骤：1.判断函数的定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.2.判断f（x）和f（-x）是否相等或相反.（二） 利用函数的奇偶性求函数的解析式：已知函数在某区间解析式，要求其对称区间的解析式，一般方法是先求出f（-x），再利用奇偶性得出f（x）.六、 函数的图象（一） 函数图象的意义函数f（x）图象在x轴的投影对应定义域，在y轴的投影对应值域

32、，图象上升和下降反映函数的单调性，图象的轴对称和中心对称性反映图象的奇偶性，图象位于x轴上方的部分对应f（x）0的解集，图象位于x轴下方的部分对应f（x）0的解集，图象和x轴的交点对应f(x)=0的解集.（二） 函数图象的变换：1. 几种常见的图象变换（1） 平移变换（2） 反射变换（3） 旋转变换（4） 伸缩变换2. 已知函数图象的表达式，求变换后的图象表达式常用方法：坐标转移法.课堂精讲练习题1. 求下列函数的定义域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.【解题思路】：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为x|x0且x-1.（2）由题意可得解得，故函数的定义域为x|-x且x±.

33、（3）要使函数有意义，必须有即x1,故函数的定义域为1，+）.难度分级：A类2. 已知矩形周长为20，若设长为x，求宽y与x的函数关系式.【解题思路】：y=10-x 矩形的长和宽都应是正数，x0,10-x0，解得：0x10.所求函数的解析式为：y=10-x （0x10) .难度分级：A类3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是 .【解题思路】：由函数的定义域为,得.解得.故函数的定义域是.难度分级：A类4. （1）已知，求；（2）已知a>0 且a1 ,f (log a x ) = (x )，求f(x)；【解题思路】：（1），（或）（2） 令t=logax(tR)，则难度分级：B类5.

34、已知是一次函数，且满足，求；【解题思路】：设，则，难度分级：B类6. 已知满足，求【解题思路】：，把中的换成，得，得，难度分级：B类7. 求下列函数的值域:(1)(2)(3)(4)【解题思路】:(1) -7,15; (2); (3)（1，log25）; (4)（0，1.8. 求下列函数的值域(1)； (2)；(3). 【解题思路】：（1）设（），则原函数可化为 又，故，的值域为（2），函数的值域为（3）=1设，则，原函数可化为，原函数值域为难度分级：A类9. 求下列函数的值域(1)(2)【解题思路】：(1)显然函数在（2，3）上单调递增，所以函数的值域为（4+log32，9）(3) 函数在（3

35、，）上单调递增，所以函数的值域为（7，）.难度分级：A类10. 求y=|x-1|+x2的值域【解题思路】：当x1时，y1，当x1时，y，所以函数的值域为.难度分级：A类11. 求证：函数f(x)= x3+1在区间(,+ )上是单调减函数.【解题思路】证明：设x1，x2R且x1<x2，则f(x1) f(x2)= x13+1+x231=(x2x1)(x22+x1x2+x12)因为x2>x1，x22+x1x2+x12>0,所以f(x1) f(x2)>0即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(,+ )上递减.难度分级：A类12. 求证：在区间上是减函数【解题思路】证明：

36、设，则.即.故在区间上是减函数难度分级：B类13. 讨论函数在上的单调性. 【解题思路】：设，则当时，此时函数在上是单调减函数；当时，此时函数在上是单调增函数.难度分级：B类14. 求函数的单调区间；【解题思路】：（1）单调减区间为：单调增区间为.难度分级：B类15.判断下列函数的奇偶性：(1);(2);(3)，;(4); (5).【解题思路】(1) 函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以该函数是奇函数.(2)函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数.(3) 函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数.(4)函数的定义域为R，关于原

37、点对称，所以该函数既是奇函数又是偶函数.(5) 函数的定义域为R，关于原点对称，所以该函数是偶函数.难度分级：A类16. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x(，0)时，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式【解题思路】f(x)是奇函数，可得f(0)f(0)，f(0)0.当x>0时，x<0，由已知f(x)xlg(2x)，f(x)xlg(2x)，即f(x)xlg(2x) (x>0)f(x)即f(x)xlg(2|x|) (xR)难度分级：B类17. (2010·温州一模)设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0，5时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数值y<

38、0的x的取值集合为_【解题思路】由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上的图象，得它在-5,0上的图象，如图所示由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5)难度分级：B类18. 设函数f(x)=x2-2|x|-1 (-3x3).（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；（4）求函数的值域.【解题思路】：（1）证明 ： f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函

39、数.（2）解： 当x0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.（3）解： 函数f(x)的单调区间为-3，-1），-1，0），0，1），1，3.f（x）在区间-3，-1）和0，1）上为减函数，在-1，0），1，3上为增函数.（4）解： 当x0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;当x0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;故函数f(x)的值域为-2，2. 难度分级：B类19. 把函数f（x）=log2x图象上

40、所有点向右平移2个单位得到g（x）的图象，求g（x）的表达式.【解题思路】：在函数f（x）=log2x的图象上任取一点A（x，log2x），向右平移2个单位后点A对应的坐标为A1（x+2，log2x），A1在g（x）的图象上，所以g（x+2）=log2x，所以g（x）=log2（x-2）即为g（x）的表达式.难度分级：B类20. 若f(x)ax与g(x)axa (a>0且a1)的图象关于直线x1对称，则a_.【解题思路】： g(x)上的点P(a,1)关于直线x1的对称点P(2a,1)应在f(x)ax上，1aa2.a20，即a2. 难度分级：B类【课堂训练】1. 求下列函数的定义域：（1）

41、y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;【解题思路】：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).（2）由得函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为难度分级：A类2. 设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3) y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).【解题思路】：（1）03x1,故0x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义

42、域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.难度分级：B类3. 已知f（x）+g（x）=3x+，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，求f（x）的解析式.答案：.难度分级：B类4. 已知函数(x)=f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且()=16， (1)=8求(x)的解析式，并指出定义域； 【解题思路】：设f(x)=ax，g(x)=，a、b为比例常数，则(x)=f(x)g(x)=ax+由，解得（x)=3x+，其定义域为(，0)(0，)

43、 . 难度分级：B类5. 的值域是 .【解题思路】：.难度分级：A类6. （1）的最小值为 ，值域为 .（2）的值域为 .【解题思路】：（1）4，；（2）.难度分级：A类7. 的值域是 . 【解题思路】：.难度分级：A类8. 求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=|x|.（3）y=x+【解题思路】：（1）(分离常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.（2） y=|x|·0y即函数的值域为.（3）任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x-2或x2时，f(x)递增,当-2x0或0x2时，f(x)递减.故x=-2时，f(x)

44、最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为（-，-44，+）.难度分级：A类9. 已知f(x)=(exa)+ (exa)(a0).（1） f(x)将表示成u= 的函数；（2） 求f(x)的最小值【解题思路】：（1）将f(x) 展开重新配方得，f(x)=(ex+ex)2a(ex+ex)+2a2，令u= ，得f(x)=4u4au+2 a2(u).(2)因为f(u)的对称轴是u=，又a,所以当时，则当u=1时，f(u)有最小值，此时f(u) =f(1)=2(a1). 当a>2时，则当u=时，f(u)有最小值，此时f(u)=f ()=a2.所以f(x)

45、的最小值为f(x)=.难度分级：C类10. 若f(x)= 在区间（2，）上是增函数，求a的取值范围.【解题思路】：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得, a .难度分级：B类11. 求函数y=的单调区间.【解题思路】：定义域是R.令，则.当时函数为增函数，是减函数，所以函数y=在上是减函数；当时函数为减函数，是减函数，所以函数y=在上是增函数.综上，函数y=的单调增区间是，单调减区间是.难度分级：A类12. 解关于x的对数不等式2 loga (x4)>loga(x2).【解题思路】：原不等式等价于(1)当a>1时，又等价于解之，得x>6.(2)当0<a<1时

46、，又等价于解之，得4<x<6.综上，不等式的解集，当a>1时，为(6，+ )；当0<a<1时，为(4,6). 难度分级：B类13. 已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围【解题思路】时，函数是减函数， 由得：，解得，的取值范围是难度分级：B类14. 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.【解题思路】：（1）x2-10且1-x20,x=±1,即f(x)的定义域是-1，1.f（1）=0，f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既

47、是奇函数又是偶函数.（2）方法一 易知f(x)的定义域为R，又f(-x)=log2-x+=log2=-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.方法二 易知f(x)的定义域为R，又f（-x）+f（x）=log2-x+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.（3）由|x-2|0，得x2.f（x）的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.难度分级：A类【课后检测】1. 求下列函数的定义域(1)y=；（2）y= (3）.【解题思路】（1）令，得.解得x1，或x<1.故定义域为xx1，或x<1.（2）令3，所以x.所以定义域为.（

48、3）由.难度分级：A类2. 给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.【解题思路】：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）设f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.难度分级：A类3.求下列函数的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.【解题思路

49、】：（1）y=1-而0值域为.（2）方法一 （单调性法）定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y函数的值域为.方法二 （换元法）令=t,则t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.（3）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.难度分级：A类4.求函数y=（4x-x2）的单调区间.【解题思路】： 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.t=4x-x2=-（x-2）2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4

50、). 难度分级：A类5.已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.【解题思路】：（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或x-9.难度分级：B类6.判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2）；（2）f（x）=；（3）f（x）=【解题思路】：（1）由0，得定义域为-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.（2）由得定义域为（-1，0）（0，1）.这时f（x）=.f（-x）=-f（x）为偶函数.（3）x-1时，f（x）=x+2，-x1,f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.x1时，f（x）=-x+2，-x-1，f