2019-2020整式找规律专题(含答案)

1、-2019-2020整式找规律专题（含答案）一、解答题1 你会求的值吗 ? 这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：（ 1）由上面的规律我们可以大胆猜=_想，得到利用上面的结论，求（ 2）的值；（ 3）求的值 .2 下列是用火柴棒拼出的一列图形仔细观察，找出规律，解答下列各题： 第4个图中共有_ 根火柴，第6 个图中共有_ 根火柴； 第 n 个图形中共有_ 根火柴 (用含 n 的式子表示)若 f(n)=2n-的1（如 f(-2)=2请判断上组图形中前20173 观察下列算式：111111;21212623f(1)+f(2)+f(2017)×(-2)-1，

2、f(3)=2×3- 1），求值2017个图形火柴总数201的倍数吗，并说明理7是由 ?111111; ? ?23123 434（）通过观察，你得到什么结论？用n1含（ n 为正整数）的等式表示：_ （ 2 ）利用你得出的结论，计算：1111(a 1)(a 2)(a 2)(a 3)(a 3)(a 4)(a 4)( a 5)4 观察以下等式：第 2 个等式：第 1个等式：-10101 ，121211111 ，2323-第 31212个等式：1 ，第 43434个等式： 1313第 5个等式： 41，54514141，5656? ?按照以上规律，解决下列问题：（ 1 ）写出第 6 个等式：

3、；（ 2 ）写出你猜想的第n 个等式：(用含 n的等式表示) ，并证明 .5先观察： 1 = ×， 1 = ×， 1 = ×， ?（ 1 ）探究规律填空： 1 =×；（ 2）计算：（ 1） ?（1 ） ?（1） ?（1）6 我们知道，? ?(1) 猜想： 1 3 +2 3 +3 3 +?+(n 1) 3 +n 3 = × ( ) 2× () 2(2) 计算： 13+2 3 +3 3+? +99 3+1003 ； 2 3+4 3+6 3+? +98 3+100 37 有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12， ?，它的每一项可用式

4、子2n(n是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1， 2,3 ， 4,5 ， 6,7 ， 8， ?(1) 它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？(2) 它的第 100 个数是多少？(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？都是不等x1， x ， x， ? x于0 的有理数，若 y，求 y 的值208 已知 x1 23161=1x1当 x 1 0时， y 1 x 1x1；当 x1x1x1 = 1 ，所以=1 0时， y1 =y1= ±1x 1x1x1x 1-（ 1）若y 2=x1+ x2，求 y 2 的值x1x2-（ 2）若y 3=x1+ x 2+ x 3，则 y 3的

5、值为；x1x 2x 3（ 3）由以上探究猜想，x2016 共有y 2016 =x 1+ x 2 + x 3+? +个不同的值，在y2016 这些不同x 1x 2x 3x2016的值中，最大的值和最小的值的差等于9（ 1 ）填空：（）_ ；（）_ ；（）_ ；（ 2 ）猜想：a-b ）（ a n-1 +a n-2 b+a n-3 b 2+?+ab n-2 +b n-1 ） = _ （其中 n 为正整n 2）（数，且；）利用（2 ）猜想的结论计（ 3算：98722 +2 +2+? +2 +2+1 2 10-2 9+2 8-? -2 3+22 - 21 仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问0

6、题：例：求1 2 2223242017的值 .2解：令 S1 2222 32 422017 ，则 2S22223242522018，所以 2S S20181，即S= 22018，21所以 1222232422017 220181仿照以上推理过程，计算下列式子的值：51015525354013323334353201611 如图所示，用棋子摆成的“上 ”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（ 1 ）第四、第五个“上 ”字分别需用第一个 “上 ”字 第二个 “上”字第三个 “上 ”字和-枚棋子（ 2 ）n 个 “上”字需用枚棋子第-（ 3 ）如果某一图形共有102枚棋子，你知道

7、它是第几个“上 ”字吗？12 观察下列三行数：0， 3， 8， 15，24, ?2， 5，10 ， 17 ，26 ，?0， 6，16 ， 30 ，48 ，?（ 1 ）第 行数按什么规律排列的，请写出来？（ 2 ）第 、 行数与第 行数分别对比有什么关系？）（ 3 ）取每行的第个数，求这三个数的和13 观察下列各式：? ?由上面的规律：（ 1）求的值；（ 2）求? +2+1 的个位数字（ 3）你能用其它方法求出的值吗？14 有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；?对任何正整数n ，第 n 个数与第（n+1 ）个数的和等于（ 1 ）经过探究，我们发现：设这列数的第5

8、个数为a ，那么，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（ 2 ）请你观察第1 个数、第 2 个数、第 3 个数，猜想这列数的第n 个数（即用正整数n 表示第n 数），-并且证明你的猜想满“第 n 个数与第（n+1 ）个数的和足等于”；（3）设 M 表示，?，这 2016个数的和，即，求证：15 观察下列等式：111第 1个等式： a 1(1)1323第 2个等式： a 211 ( 11 )352 35第 3等式： a 311 (11 )57257第 4个等式： a 411 ( 11 )792 79请解答下列问题：（ 1 ）按以上规律写出第 5 个等式： a 5 （ 2 ）用含 n 的式子表示第n

9、 个等式： a n （ n 为正整数）（ 3 ）求 a1+a2+a3+a 4+?+a2018的值16 这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说： “我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒， 第三格放四粒， 第四格放八粒 ? ?按这个方法放满整个棋盘就行。”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了,结果国王输了（ 1）我们知道, 国际象棋共有64 个格子 , 则在第64 格中应放多少米？（用幂表示）（ 2）请探究第（1 ）中的数的末位数字是多少? （简要写出探究过程）（ 3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?为解决这个问题 , 我们先来看下

10、面的解题过程：用分数表示无限循环小数：解：设等式两边同时乘以2将 得： 9x2 , 则 x， 910,得请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）17 观察下列等式：第一个等式：第二个等式：-第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：请写出第六个等式：_；用含 n 的代数式表示n 个等第式：_ _ ；_ 得出最简结果；计算：18我国古籍周髀算经中早有记“”.，下面我们来探究两类特殊的勾股载勾三股四弦五数通过观察完成下面两个表格中的空格（以a、 b 、 c 为下Rt ABC的三边，且a b c ）：表一表二abcabc34568105121381517724251024

11、269411237a 为大于（ 1 ）仔细观察，表一中1的奇数，此时 b、 c 的数量关系是_ ，a、 b 、 c 之间的数量关系是_ ；a 为大于（ 2 ）仔细观察，表二中4的偶数，此时 b、 c 的数量关系是_ ，a、 b 、 c 之间的数量关系是_ ；“ 3， 4 ， 5”与表二中的 “ 6， 8 ， 10 ”成倍数关系，表一中（ 3 ）我们还发现，表一中的三边长的 “5，12 ， 13 ”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系? ? 请直接利用这一规律计算：在Rt ABC34中，当 a， b时，斜边 c的值 .5519 观察以下一系列等式： 2 1 2 0=2 1=2 0； 2

12、 2 2 1=4 2=21 ； 2 3 2 2=8 4=2 2； _： ?-（ 1 ）请按这个顺序仿照前面的等式写出第 个等式： _；（ 2 ）根据你上面所发现的规律，用含字n 的式子表示第n 个等式：母_；-3 ）请利用上述规律计（算：2 0+2 1+2 2+2 3+?+2 100 21 ，1，1 ，1 ，1? 根据规律可0观察下列有规律的数：，1 知26122030421 第 7 个数是 _ ，第 n个数是 _（ n为正整数）；21 是第 _ 个数算.26122030422016201721 观察下列算式，你发现了什么规律？12= 1 2 3 ；12+22= 2

13、35 ； 12+22+32= 3 47 ；12+22+32+42= 4 5 9； ?6666(1)根据你发现的规律，计算下面算式的值；1 22 23 28 2_；请用一个含 n 的算式表示这个规律：(2)1 2223 2n 2_22 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1) 在 和后面的横线上分别写出相应的等式： 1 1 2； 1 3 2 2； 1 3 5 3 2； _ ； _ ；? .(2) 通过猜想写出与第 n 个点阵图相对应的等式23 把 2100个连续的正整数1、 2 、 3 、 ? ?、 2100 ，按如图方式排列成一个数表，如图用一个正方形框在表中任意框4 个数，设左上

14、角的数x 住为（ 1 ） 另外三个数用x 的式子表示出来，从小到大排_含列是（ 2 ） 被框住 4 个数的和为 416 时， x 值为多少？（ 3 ） 能否框住四个数和为324 ？若能，求出 x 值；若不能，说明理由（ 4 ） 从左到右，第1 至第 7 列各数之和分别为a 1、 a2 、a3 、 a4 、a5 、 a6、 a7 ，请直接写出7 个数中最大的数与最小的数之差-1258114bb5，?24 观察下面的一组分式：b ，b 23 ，b 4aaaaa（ 1 ）求第 10 个分式是多少？（ 2 ）列出第 n 个分式25 一张长方形的桌子有6 个座位，小刚和小丽分别用长方形桌子设计了一种摆放

15、方式：（ 1 ）小刚按方式一将桌子拼在一起如左图 .3 张桌子在一起共有 _个座位， n 张桌子拼在一起共有 _个座位。（ 2 ）小丽按方式二将桌子拼在一起如右图 .3 张桌子在一起共有 _ 个座位， m 张桌子拼在一起共有 _ 个座位。（ 3 ）某食堂有A 、 B 两个餐厅，现有300张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，每个餐厅都要放有桌子。将a 张桌子放在A 餐厅，按方式一每6 张桌子拼成一张大桌子；将其余桌子都放在B 餐厅，按照方式二每4 张桌子拼成一张大桌子。若两个餐厅一共有1185个座位，A 、B两个餐厅各有多少个座位？26 生活与数学（ 1 ）吉姆同学在某月的日历上圈

16、出2× 2 个数，正方形的方框内的四个数的和是32 ，那么第一个数是；（ 2 ）玛丽也在上面的日历上圈出2 × 2 个数，斜框内的四个数的和是42 ，则它们分别是；（ 3 ）莉莉也在日历上圈出5 个数，呈十字框形，它们的和是50 ，则中间的数是；-（ 4 ）某月有 5 个星期日的和是75 ，则这个月中最后一个星期日是号；（ 5 ）若干个偶数按每行8 个数排成下图： 图中方框内的9 个数的和与中间的数的关系是； 汤姆所画的斜框内9 个数的和为360 ，则斜框的中间一个数是；托马斯也画了一个斜框，斜框252 ，则斜框的中间一个数内9 个数的和为是27 我们常用的数是十进制数，如

17、 4657 4 10361025 10 1 7 10 0 ，数要用 10 个数码（又叫数字）： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、7 、 8 、 9 ，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中11012 2121 020 等于十进制的数6 ， 1101011 2 51 2 40 2 312 0 等于十进制的数53. 那么二进制中的1 2 20 2 1数101011等于十进制中的哪个数？“奇特数 ”，如： 828 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方那么称这个正整数212 ，差，为352，?因此 8、16、165232, 24 7224这三个数都是奇特数

18、.(1)56是奇特数吗？为什么？(2) 设两个连续奇数为2n1 和 2n1 ( 其中 n 取正整数 )，由这两个连续奇数构造的奇特数是8 的倍数吗？为什么？29 如下数表是由1 开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答-（ 1）表示第9行的最后一个数是（ 2）用含 n 的代数式表示：第n 行的第一个数，第 n 行共有个数；第n行各数是之和是x ，也称为取整函数，x 表示不超过 x 的最大整数30 高斯函数即. 例如：2.92 ，1.52.试探索：（ 1）5_,_；（ 2） 2.72.3_；（ 3） 2017 32017 42017 52017 62017 72017 8_.111111

19、111111-参考答案1（ 1）；（ 2）；（ 3）【解析】分析：（ 1 ）根据已知算式得出规律，即可得出答案；（ 2 ）先变形，再根据规律得出答案即可；（ 3 ）先变形，再根据算式得出即可详解：（ 1 ）1）（ a2018 +a 2017 +a 2016 +? +a 2 +a+1=a 2019 1 （ a ）故答案为：a 2019 1 ；（ 2 ） 2 2018 +2 2017 +2 2016 +? +2 2+2+1=（ 2 1 ） ×（ 22018 +2 2017 +2 2016 +?+2 2 +2+1 ）=2 2019 1故答案为：2 2019 1 ；（ 3）（）（）点睛：本题

20、考查了整式的混合运算的应用，能根据题目中的算式得出规律是解答此题的关键，难度适中2 1725(4n+1)【解析】试题分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点试题解析：（1 ）第 4 个图案中火柴有4× 4+1=17；第 6 个图案中火柴4× 6+1=25；有（ 2 ）n=时，火柴的根数4 × 1+1=5 ；当1是当 n=2时，火柴的根数是4× 2+1=9 ；当 n=3时，火柴的根数是4× 3+1=13 ；所以第n 个图形中火柴有4n+1

21、（ 3 ） f(1)=2 × 1-1=1 ，f(2)=2× 2-1=3 ，f(3)=2× 3-1=5 ，-f 1 f2f 2017（）（）（ 2?2017-2 11+ 2?2-1 +1)201720172 （12+ +2017） -20172017（ 1 2017）-2017=2017.20172017（ 4 ） 4 × 1+1+4 × 2+1+ +4 ×2017+1=4 ×（ 1+2+ +2017） +1 ×20171=4 × ×（ 1+2017）× 2017+20172=2 

22、15;（ 1+2017）× 2017+2017=4037× 2017.是 2017倍数 .11143（ 1）(2)n(n 1)nn 1(a 1)(a 5)【解析】【分析】(1) 观察已知算式，可总结出裂项原理.(2) 利用裂项原理，可以计算给定算式.【详解】（ 1 ）观察算式，可以把分母上的数化为两个相邻自然数的积，再裂项，可总结结论有111n n1 n n 1 .1111(2)a1 a2 a2 a3a 3 a4a 4 a 511111111=a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a 4 a 511=a1a54=a 1 a 5.【点睛】列项法的使用11111111

23、11n-12 23 +nn 1= 1223+nn 1=1-n 1= n 1 .-111 ，注意：1-nn 1nn 11111推广：n n 22 n n 24（ 11+5 +15 =1；（2 ）67671n11n .n 1n 1 n 1n 11111,.2n 12n12 2n 1 2n 11 + n1 + 1n1 =1，证明见解析 .nn1nn1【解析】【分析】（ 1）根据观察到的规律写出第6 个等式即可；2 ）根据观察到的规律写出n 个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即（第可得证 .【详解】（ 1 ）观察可知6 个等式为：15151 ，第6767故答案为：15151 ；6767（

24、2 ）猜想：1n-11n-11，nn1nn1n （ n-1 ） n-1n （ n1 ）证明：左边 = 1n-11n-1= n1=1 ，nn1nn1n （ n1 ）n （ n1 ）右边 =1，左边=右边， 原等式成立，1n-11n-1 第 n 个等式为：1 ，nn 1nn1故答案为：1n-11n-11.nn1nn1【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键 .5（ 1），（ 2）【解析】试题分析：（ 1 ）经过观察、分析可得：；（ 2 ）由（ 1 ）中所得规律将（2 ）中每个形如“”的式子分解为“”的形式，再利用乘法的结合律把“互为倒数的两个数结合在一起先

25、乘”就可计算出结果了.-试题解析：（1），；（ 2）原式 = .点睛：求解本题有两个关键点：（ 1 ）观察、分析所给的式子，找到规律，能把化成的形式；（ 2 ）由（ 1 ）中所得规律把原式改写为：的形式后，能够发现除了第一个因数“”和最后一个因数“”外，从第二个因数开始，依次每两个因数都是互为倒数的，这样就可利用乘法的结合律简便的算出结果了.6 (1)n ， n+1 (2) 25502500(3) 13005000【解析】试题分析：（ 1 ）通过观察，从1 开始的连续自然数的立方和等于最后一个数的平方与比它大 1 的数的平方的积的，然后写出即可；（ 2 ）根据（ 1 ）的公式，令n=100即可

26、求解.试题解析：(1)n n+1(2)由 (1) 得 1 3+2 3+3 3+ ?+99 3+1003= × 100 2 ×101 2=25 502 500(3)2 3+4 3+63+98 3+100 3=(2 ×1)×2) 3+(2 ×3)+?3+(23+333333333333333333?+(2××5=× 1× 2×3+?× 49× 50×(+2+? +49)=13005049)+(20)2+2+2+2+2=21+3+50007 (1) ( 1) n 1n(n是正整数 ) (2) 100(3)2017是其中的第2017个数【解析】试题分析：观察这个有规律的数我们可发现，它的所有的奇数都是正数，所有的偶数都是负数，那么们可以表示出n 项的数就应该是我它的第（-1 ） n+1n （ n 是正整数）， n 是奇 n+1是偶数，当数时，（ -1 ） n+1 n就是正n 是偶数时， n+1是奇数，（ -1）n+1n 就是负数，符合了这个数列的规律可数，当-