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文档简介
1、*5 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系,会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生的观察思考、归纳概括能力,解决问题的能力,渗透整体的数学思想、求简思想.【情感态度】通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.【教学重点】根与系数的关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.一、情境导入,初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存在什
2、么规律呢?今天我们共同去探究,感受一次当科学家的滋味.【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样,里边有很多有价值的规律,等待我们去探索,激发学生的学习兴趣、探究欲望.二、思考探究,获取新知解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表中x1+x2,x1·x2的值,它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系?从中你能发现什么规律?【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积,引导学生从中发现存在的一般规律,渗透特殊到一般的思考方法.【归纳总结】一般地,对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) ,用求根公式求出它的两个根x1、x2 ,由一元二次方
3、程ax2+bx+c=0的求根公式知x1=,x2=,能得出以下结果:x1+x2=-,x1·x2=.【教学说明】让学生自己发现规律,找到成功感,再从理论上加以验证,让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三、运用新知,深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积.(1)x2-6x-15=0;(2)5x-1=4x2;(3)x2=4;(4)2x2 =3x.2.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积.3.已知方程5x2+kx-60的一个
4、根为2,求它的另一个根及k的值;解:设方程的另一个根是x1,那么2x1= x1=又x1+2=k=-74.利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的(1)平方和;(2)倒数和.解:设方程的两个根分别为x1,x2,那么x1+x2=, x1x2=.(1) (x1+x2)2=x12+2x1·x2+x22,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=13/4(2) = 3 5.已知关于x的方程x2-(k+1)x+1/4k2+1=0,且方程两实根的积为5,求k的值.解:方程两实根的积为5 得 .当k=4时,方程两实根的积为5.6.已知关于x的一元二次方程x2+
5、2(k-1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)0可能是方程的一个根吗?若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.解:(1)= 2(k-1) 2-4(k2-1)=4k2-8k+4-4k2+4=-8k+8. 原方程有两个不相等的实数根,-8k+80,解得 k1,即实数k的取值范围是 k1.(2)假设0是方程的一个根,则代入得 02+2(k-1)· 0+k2-1 = 0,解得k=-1或 k=1(舍去).即当k=-1时,0就为原方程的一个根.此时,原方程变为 x2-4x = 0,解得 x1=0,x2=4,所以它的另一个根是4. 【教学说明】目的是考察学
6、生灵活运用知识解决问题的能力,让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用,同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动,课堂小结不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值:(1)先化成一般形式,再确定a,b,c.(2)当且仅当b2-4ac0时,才能应用根与系数的关系.(3)要注意符号:两个根的和是前面有负号,两个根的积是前面没有负号.让学生谈谈本节课的收获与体会,教师可适当引导和点拨.1.布置作业:教材“习题2.8”中第2 、3题.2.完成创优作业中本课时“课时作业”部分.此节课在研究方程的根与系数关系时,先从具体例子观察、归纳其规律
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