第3章 能量法

1、目录目录目录目录目录轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩llEAEAlFWVN2222)( 圆轴扭转圆轴扭转2P222 lGIGIlTWVP 目录 lEIdxxMWV22)( 梁的平面弯曲梁的平面弯曲梁横力弯曲时的剪切变形：梁横力弯曲时的剪切变形： lssGAdxxFWV22)( 目录 10FddWW目录 在弹性范围内，物体在外力作用下发生变形，物在弹性范围内，物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即应位移上所做的功，即=WVFl ld 10 ddVVV 目录 对杆件中取出的单元体对杆件中取出的单元体（边长为单

2、位长）（边长为单位长） 10 d 10FdW EEd22121212101 GGd22121212101 目录例题例题3-13-1qlABwxxyEIlqdxxlxEIqEIdxxMWVll240825222022 )()( 22121qxqlxM 目录 10FccdFdWWdVVVcc 10 dc目录例题例题3-23-2lAl11EAlFlN )(EAFlllN 1目录EAFlEAFEAFllllNNN2222222 )()(ltansin 22FlFFN sinEAlF3 目录lAl111134103041411 FlEAEAdlFdV 10FcdFV目录EAlF3 11313410434

3、313 FlEAFdFlEAFF)(F1AllF1AlFNFN由功能原理得由功能原理得: :3 =F1l32EA错在何处?几何非线性问题几何非线性问题该题若要建立力与该题若要建立力与位移的关系。位移的关系。错误！错误！例题例题3-33-3BCD）（11 nKn 11目录BCD cos21FFN cosAFAFN21 nK目录)(cos)(110021111 nnncAFnKdKd )()(cos)()(cos)(1111122122 nnnnnccFnKAlAFnKAlAlV ）（目录变形能的计算不能用叠加原理。变形能的计算不能用叠加原理。1F2F2F1F？21WWW1W2W讨论讨论: :应变

4、能一般不能叠加，只有一种载荷在另一应变能一般不能叠加，只有一种载荷在另一种载荷引起的变形上不作功才可叠加计算。种载荷引起的变形上不作功才可叠加计算。如如)(xFN)(xFN)(xM)(xM)(xT)(xTLLPLNGIdxxTEIdxxMEAdxxFV2)(2)(2)(222轴力、扭矩和弯矩各自的变形不同轴力、扭矩和弯矩各自的变形不同, , 相互不做相互不做功功, ,应变能可相互叠加（略掉剪力的影响）应变能可相互叠加（略掉剪力的影响） niiiidfVW10 目录iiiiVF dd iiVF iiFVW ddd 目录iiVV dd iiVF目录例题例题3-43-4BCA45l目录BCA45B

5、（a）BCAB（b）1112245 cosBCAB ，2222450 sinBCAB ，目录）（，21122BCAB221212212222)( lEAlEAlEAVii 目录1112245 cosBCAB ，2222450 sinBCAB ，BCA45l轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩llEAEAlFWVN2222)( 0222242211 lEAV FlEAV ）（212222 EAFlEAFl）（，22111 目录iiVFBCA45l niFiiccidfVW10 iiccFFVVdd 目录iiccFVWddd iiciiFFVFdd iciFV 目录iiccFVWddd iiccFFVVd

6、d iiFV 目录目录iiFV例题例题3-53-5 悬臂梁在自由端承受集中力悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩Me作作用。设用。设EI为常数，试求梁的应变能。为常数，试求梁的应变能。LFMeAB解解 弯矩方程：弯矩方程：FxMxMe)(应变能：应变能：EILFEIFLMEILMdxFxMEIdxEIxMVeeLeL622212322222 )()( xLFMeAB法二法二: :用普遍定理用普遍定理EILMEIFLwwweMAFAAe2323 )()(EILMEIFLeMAFAAe 22)()( EILMEIFLMEILFMFwWVeeAeA22621212232AeAMFwWV

7、2121x例题例题3-63-6lxqFxM630 目录 31525221d6212d3240520203002lFFlqlqEIxlxqFxEIEIxxMVll)( 321521340FllqEIFV EIlqFVwFA30400 目录 lEIxxMV022d)( xFxMxMEIFVxEIFxMxMxEIFxMFVlFFlFFlFd1d212d21000000020 )()()()()( 即即：目录例题例题3-7 3-7 FABaaCF已知已知: EI , F , a .的含义是什么的含义是什么 ?VF求: wAF2ABaaCF1VF= +VF1F1FVF2F2F= +VF1VF2= wA

8、+ wBAB: M (x) = - F1 x MF1= - xBC: M (x) = - F1(a + x) - F2 x MF1= - (a + x)+F(a + x) +F xEI(a + x)dxa0wA =F x dxEI2a0=7Fa32EI( )xx例题例题3-8 目录xlMxMB )(22222qxqlMxlMqlxMBB )()()()(1d10000 xMxMxMEIMVlMBMMBBBBB 目录2220022000 lxMxMqxqlqlxxMABlxMxMxMBCBBBBMBMMBM)(,)()()(段段：段段，：EIqlxlxqxqlqlxEIlB247d2221302

9、2 目录xlMxMBBC )(22222qxqlMxlMqlxMBBAB )( 能量法计算中，各段内力方程的原点可以任取，内力能量法计算中，各段内力方程的原点可以任取，内力的正负也可不必遵从前面的正负规定，可以自己设定。的正负也可不必遵从前面的正负规定，可以自己设定。ABRF求求: 竖直位移竖直位移 BV。已知已知: F, R, EI1. 写写 M (x) 并对并对F 求偏导求偏导M ( ) = -FRsin M/ F = -Rsin :2. 求求 BV BV =M ( )EIRdMF =/2EI(-FRsin )(-Rsin ) Rd10 =/22EI(1-cos2 )dFR30 =/22E

10、I( - sin2 )FR3021=4 EIFR3( )例题例题3-93-9aABRF求求: BH 已知已知: F, R, EI1. 写写 M (x) 并对并对F1 求偏导求偏导 :求求: BH F1M ( ) = FRsin +F1R(1- cos ) M/F1 = R(1- cos ) =/2EI(FRsin )(R)(1- cos ) Rd10 = /2EIsin (1-cos )dFR30 = /2EI(-cos - sin2 )FR3021=2EIFR3BH =M ( )EIRdMF1F1= 0( )例题例题3-9b3-9b例题例题3-10 目录AMFxxM )(10 AxMMxFM

11、FM，AxMxaFxFxM )cos(sin)( 313 AxMMxaFMxFM， cossinAxMFxaFxM 4)(14 AxMMxFMaFM，目录EIFaxaFxEIxxxaFEIxFxMxMEIxFxMxMEIaaaMFxMFaxMFAxAxAxAx33050300000500028d41d31d1d1 sin)cos()()()()(目录EIFaxFxEIxxaFEIxFxEIxFxMxMEIxFxMxMEIxFxMxMEIaaaaMFMFaMFaMFMFAyAxAxAxAxAx3302502302300000500030000033d1d31d1d1d1d1 )cos()()()

12、()()()( 目录EIFaxFxEIxxaFEIxFxEIxMxMxMEIxMxMxMEIxMxMxMEIaaaaMFAMFaAMFaMFAMFAAxAxAxAxAx233d1d31d1d1d1d123050303000005000300000 )cos()()()()()()( 目录例题例题3-113-11目录杆件FNiABBCCDDAAC0-(F+Fy)000-1000-10000-F00FFNiyNiFF0yFNiFF22F20000 FNiFNiiFiFFFFEAlFVFV 目录EAFlEAlFlFEACx)()(22122211 EAFllFEACx )(11目录 超静定系统，按其

13、多余约束的情况，可以分为超静定系统，按其多余约束的情况，可以分为外力超静定外力超静定系统和系统和内力超静定内力超静定系统。系统。外力超静定外力超静定支座反力不能全由平衡方程求出；支座反力不能全由平衡方程求出；内力超静定内力超静定支座反力可由平衡方程求出，但支座反力可由平衡方程求出，但 杆件的内力却不能全由平衡方程杆件的内力却不能全由平衡方程 求出。求出。目录BCAD外力超静定外力超静定内力超静定内力超静定目录 超静定结构的求解，一般先解除多余约束，超静定结构的求解，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系。再根据变代之以多余约束力，得到基本静定系。再根据变形几何相容条件得到关于多余

14、约束力的补充方程。形几何相容条件得到关于多余约束力的补充方程。 这种以这种以“力力”为未知量，由相容条件为基本方为未知量，由相容条件为基本方程的方法，称为程的方法，称为力法力法。 求解超静定结构时，可以求解超静定结构时，可以利用结构的利用结构的对称性对称性和和反对称性反对称性减少未知力的个数，简化计算。减少未知力的个数，简化计算。超静定结构的求解方法超静定结构的求解方法 目录目录0d1 xXxMxMEIXVwlB)()( xXMXxxM ，)(xXMMXxxMe ，)(aXMqyMXayMe ，22)(目录0d2dd102220 yaqyMXaxxMXxxxXxEIwaeaaeaB)()(kN

15、56.16X（逆逆）（向向左左）mkN292kN5616kN50 .AAyAXMFF（向下）目录目录。目录目录FF/2F/2目录目录目录目录目录例题例题3-11 求求 A、B两点间的相对线位移两点间的相对线位移AB 。AFBFRFSFSFSFSMMMM由对称性知由对称性知: :2NFF 0S F,AFBFRFNFNAF/2RMDD变形协调条件变形协调条件: :0 D )cos()( 12RFMMD1 DMM d RMMIEMDD 1222 RFMIERD0 121FRMD由此得由此得AF/2RMDD)cos()( 12121RFFRM 12cosFR)cos()( 12RFM d220 RFM

16、IEMD)()( 183IEFR 2423IEFRDABAF/2RMDD 练习题：平面刚架受力如图，各杆练习题：平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。常数。 试试求求C处的约束力及支座处的约束力及支座A、B的约束反力。的约束反力。Aaa/2a/2BCq变形条件：变形条件：C截面的位移为零截面的位移为零.Aaa/2CqX11631qaX 练习题：刚架的弯曲刚度为练习题：刚架的弯曲刚度为EI，承受力，承受力F后，支座后，支座C 有一下陷量有一下陷量 ，试求刚架，试求刚架C处的反力。处的反力。aa/2a/2FABCC 特别注意相容的符号问题特别注意相容的符号问题a/2a/2FABCaX131 436429aEIFX 练习题：正交折杆练习题：正交折杆ABC放置于水平面内，已知折杆放置于水平面内，已知折杆ABC的弯曲刚度为的弯曲刚度为EI、扭转刚度为扭转刚度为GIp及杆及杆CD的拉压刚的拉压刚度为度为EA。试求