一偏导数的定义及其计算法ppt课件

1、定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算法机动 目录 上页 下页 前往 终了 同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy )

2、,(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.机动 目录 上页 下页 前往 终了 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y

3、的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.机动 目录 上页 下页 前往 终了 偏导数的概念可以推行到二元以上函数偏导数的概念可以推行到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzy

4、x2ln1 .例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解机动 目录 上页 下页 前往 终了 偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点阐明：有关偏导数的几点阐明：、 求分界点、不延续点处的偏导数要用求分界点、不延续点处的偏导数要用定义求；定义求；机动 目录 上页 下页 前往 终了 .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏导导数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解机动 目录 上页 下页 前往 终了 、偏导

5、数存在与延续的关系、偏导数存在与延续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不延续但函数在该点处并不延续. 偏导数存在偏导数存在 延续延续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 延续，延续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 延续，延续，机动 目录 上页 下页 前往 终了 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图机动 目录 上页 下页 前往 终了 偏偏导

6、导数数),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率.几何意义几何意义: :机动 目录 上页 下页 前往 终了 ),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高

7、阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .二、高阶偏导数机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例 6 设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 例例 7 7 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的的二二阶阶混混合合偏偏导导数数求求设设yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解机动 目录 上页 下页 前往 终了 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等例例