曲线与方程(教(学)案)

1、龙文教育个性化辅导授课案教师:娇 学生: 日期:星期:时段:课题曲线与方程学情分析教学目标与考点分析1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2 .利用直接法或定义法求轨迹方程.3 .结合平面向量知识能确疋动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质.教学重点难点正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的根本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。教学过程根底梳理1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二兀方程 f(x, y) 0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的

2、点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2. 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x, y)表示曲线上任意一点 M的坐标.(2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M).(3) 用坐标表示条件 p(M),列出方程f(x, y) 0.(4) 化方程f(x, y) 0为最简形式.(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.3. 两曲线的交点(1 )由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点

3、.2两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.四个步骤对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为： 设点：即设出弦的两端点坐标； 代入：即代入圆锥曲线方程； 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.五种方法求轨迹方程的常用方法1直接法：直接利用条件建立.X，y之间的关系Fx，y亍0 ;2待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条 件确定其待定系数；3定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直

4、接写出动点的轨迹方 ! I ! IB = ： : B程.丿".P4代入转移法：动点Px，y依赖于另一动点Qxo，yo的变化而变化，并且 Qxo，yo又在某 曲线上，那么可先用x，y的代数式表示xo，yo，再将xo，yo代入曲线得要求的轨迹方程；5参数法：当动点Px，y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.W »T« » t r ! r mt TBBn-BiBavBBveBa r 、r b i r a ? pwi raa rnafraan r r bk r a v k v

5、rr r tub k r » t t r ! n v v e n nan rr s *双基自测1. fxo，yo= O 是点 Pxo，yo在曲线 fx，y= O 上的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， fx。，yo = O 可知点 Pxo，yo在曲线 fx，y= O 上，又 Pxo，yo在曲线 fx，y = O 上时，有 fx。，yo= O， fxo，yo = O是Pxo，yo在曲线fx，y= O上的充要条件.答案 C22. 2O12质检方程x + xy= x的曲线是.A. 个点 B. 一条直线 C.

6、两条直线D .一个点和一条直线解析方程变为xx+ y- 1 = O x=O或x+y-1 =O故方程表示直线x= O或直线x+ y 1 = O.答案C3. (2021月考)点P是直线2x y+ 3 = 0上的一个动点，定点 M( 1,2), Q是线段PM延长线上的一点， 且|PM|=|MQ|，那么Q点的轨迹方程是().A. 2x+ y+ 1 = 0 B. 2x y 5 = 0C. 2x y 1 = 0 D. 2x y+ 5 = 0解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),贝UP为(2 x,4 y),代入2x y+ 3= 0得2x y+ 5= 0.答案 D4. (2021模拟)假设点P到直线x=

7、 1的距离比它到点(2,0)的距离小1,那么点P的轨迹为().A.圆B.椭圆C.双曲线D .抛物线解析 依题意，点P到直线x= 2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点 P的轨迹是抛物线. 答案 D25. (2021 )曲线C是平面与两个定点 F( 1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a> 1)的点的轨迹.给出以下三个 结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称；1 2 假设点P在曲线C上，那么 F1PF2的面积不大于2a .其中，所有正确结论的序号是 .解析 设动点M(x,y)到两定点F1,Fa的距离的积等于a2,得曲线C的方程为x+12 + y2x 1 2+ y2=

8、a2,/a> 1,故原点坐标不满足曲线 C的方程，故错误.以一 x, y分别代替曲线 C的方程中的x、y,其方程1 1 1 2不变，故曲线 C关于原点对称，即正确.因为SAFPF2= ?|PF|PF2|sin/ F1PF2W?|PF|PFH=?a ,即面积不大1 2于2a，所以正确.答案考点一直接法求轨迹方程【例1】？O O的方程是x2 + y2 2 = 0,0O'的方程是x2 + y2 8x+ 10= 0，如下图.由动点 P向O O和O O'所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程.|0 0 P|审题视点由条件找出等量关系，直接写出 P点坐标满足的等式化简即得轨迹方程. 解

9、 设 P(x, y),由圆 0 '的方程为(x 4) + y= 6，及 |AP| = |BP|,故 |OP| - |AO|2 2 2-|0' B|，那么 |0P| 2=|0' P| 6.22,八 22 x + y 2 = (x 4) + y 6,33 x=2，故动点P的轨迹方程是x = 2直接法求曲线方程的一般步骤:(1) 建立恰当的坐标系，设动点坐标(x，y);(2) 列出几何等量关系式；(3) 用坐标条件变为方程f(x，y)= 0;(4) 变方程为最简方程；(5) 检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.【训练1】如下图，过点 P(2,4)作互相垂直的直线li, 1

10、2假设li交x轴于A, 12交y轴于B,求线段AB中点M 的轨迹方程.解设点M的坐标为(x, y), M是线段AB的中点，二A点的坐标为(2x,0), B点的坐标为(0,2y)./PA= (2x-2,-4), PB= (-2,2y-4).由 PAPB= 0,二一2(2x- 2)-4(2y-4) = 0,即 x+ 2y 5 = 0.线段AB中点M的轨迹方程为x+ 2y-5 = 0.考向二定义法求轨迹方程【例2】？ 一动圆与圆x + 6x+ 5= 0外切，同时与圆x + y 6x- 91 = 0切，求动圆圆心 M的轨迹方程， 并说明它是什么曲线.审题视点由曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.

11、解 如下图，设动圆圆心为 M(x, y),半径为R,设圆的圆心分别为 Oi、O2,将圆的方程2 2 2 2分别配方得：(x+ 3) + y = 4, (x-3) + y = 100,当动圆与圆Oi相外切时，有|OiM匸R+ 2.当动圆与圆02相切时，有I02M匸10-R. 将两式相加，得|0iM| + IO2M匸12>|OiO2|,动圆圆心M(x, y)到点Oi( 3,0)和02(3,0)的距离和是常数12, 所以点M的轨迹是焦点为Oi( 3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. 2c= 6,2a= 12,二 c= 3, a=6, b = 36 9 = 27,2 2x y圆心

12、轨迹方程为+ = 1,轨迹为椭圆.3627在利用圆锥曲线定义求轨迹时，假设所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，那么根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，假设所求轨迹是某种圆锥曲线上的 特定点的轨迹，贝闲用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量围.【训练2】 圆C1： (x+ 3)2 + y2= 1和圆C2: (x 3)2 + y2= 9,动圆M同时与圆 G及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如下图，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件，得|MCi| |ACi|= |MA|, |MC2| |BC2|= |MB|.因为|MA|= |MB|,所以|MC

13、2| |MCi匸 |BQ| |ACi匸3 1 = 2.这说明动点M到两定点C2、Ci的距离的差是常数2，且小于IC1C2匸6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到Ci的距离小)，这里2a= 1，c= 3,贝U b4pb消去 x,得 ky 4py + 4pb = 0.所以 yy =丘.由 OA丄OB,得 yiy2= xx,= 8,设点M的坐标为(x, y),其轨迹方程为x2 ； = 1(x< 1).考向三参数法、相关点法求轨迹方程【例3】?抛物线y2= 4px(p>0), O为顶点，A, B为抛物线上的两动点，且满足 OA丄OB,如果OM丄 AB于M点

14、，求点M的轨迹方程.审题视点设出m点的坐标(x, y)后，直接找x, y的关系式不好求，故寻求其他变量建立 x, y 之间的联系.x 解 设M(x, y),直线AB方程为y= kx+ b.由OM丄AB得k = y.b2 由 y2= 4px 及 y= kx + b 消去 y，得 k2x2 + x(2kb 4p)+ b2= 0.所以,2.所以4pbkb= 4kp.故 y= kx+ b = k(x 4p).kx把 k= y代入，得 x2 + y2 4px= O(xM 0).即卩 M 的轨迹方程为 x2 + y2 4px = 0(x0).在一些很难找到形成曲线的动点P(x, y)的坐标x, y所满足的

15、关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x, t和y的关系式x=«t), y = x(t),再通过一些条件消掉t就间接找到了 x和y所满足的方程，从而求出动点P(x, y)所形成的曲线的 普通方程.【训练3】 如下图，从双曲线 x2 y2= 1上一点Q引直线x+ y= 2的垂线，垂足为 N.求线段QN的中点P 的轨迹方程.解 设动点P的坐标为(x, y),点Q的坐标为(xi, yi),贝U N点的坐标为(2x xi, 2y yi).点 N 在直线 x + y = 2 上，I 2x xi + 2y yi = 2,y 一 y i又二 PQ 垂直于直线 x+ y= 2. = 1，即卩

16、 x y + yi xi= 0,xXi31xp ?x+ 2 一 1，由、联立，解得13屮=2x+2y1.3113又 Q 在双曲线 x2 y2= 1 上， x? yi= 1，即 2x+ 2y 1 2 2x+ 2y 1 2= 1, 整理得2x2 2y2 2x+ 2y 1 = 0,这就是所求动点P的轨迹方程.规解答18如何解决求曲线的方程【问题研究】 曲线与方程是解析几何的一条主线，虽然高考对曲线与方程的要求不是很高，但 在高考中也经常会有一些试题是以建立曲线方程作为切入点命制的.从近几年的高考试题中可以发现，无论客观题还是主观题都有曲线与方程的命题点.【解决方案】 首先，要深入理解求曲线的轨迹方程

17、的各种方法及其适用的基此题型，注意参数 法和交轨法的应用其次，求出轨迹方程时要注意检验，多余的点要扣除，而遗漏的点要补上， 再次，要明确圆锥曲线的性质，选相应的解题策略和拟定具体的解题方法，如参数的选取，相关 点变化的规律及限制条件等.2 2.一.x y【例如】？ (2021 在平面直角坐标系 xOy中，点P(a，b)(a> b > 0)为动点，R、F2分别为椭圆孑+左=1的 左、右焦点 HP冋为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e； (2)设直线PF2与椭圆相交于 A，B两点，M是直线PR上的点，满足 AM BM = 2，求点M的轨迹方程.2 2 23x + 4y = 12c ,y

18、 = '3 x c .8X2c.5Xi =0,得方程组的解； 3c,8re,3 3尸5 °(6分)不妨设a£c, b(0，V3c).第(1)问设出焦点坐标，根据|PF2|=|FiF2|列出等式，解方程即可求得；第(2)问根据题意设出A, B两点坐标，代入关系式AM BM = 2即可求得点M的轨迹方程.解 设 F1( c,0), F2(c,0)(c>0).由题意，可得 卩冋=IF1F2I,即 a c 2+ b2= 2c,c 2ccc11整理，得 2 - +- 1 = 0,得1(舍)，或：=了所以.(4分)aaaa22由(1)知 a= 2c, b = ,3c,可得椭圆方程为 3x2+ 4y2= 12c2,直线PF2的方程为y = 3(x c). A, B两点的坐标满足方程组消去y