第九章+频域稳定性

1、第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT第九章第九章 频域稳定性频域稳定性Stability in the Frequency Domain本章主要内容：本章主要内容： 数学基础：s平面映射关系 Nyquist 稳定性判据 相对稳定性稳定裕度 利用频域方法确定时域性能指标 Matlab 分析系统稳定性 设计实例教学目标：教学目标： 深刻理解深刻理解NyquistNyquist稳定性判稳定性判据和据和NyquistNyquist图的作用图的作用熟悉时域性能指标在频域的熟悉时域性能指标在频域的特征特征理解控制

2、系统中纯延迟现象理解控制系统中纯延迟现象具备利用频率响应法分析系具备利用频率响应法分析系统稳定性和设计满足指标要求统稳定性和设计满足指标要求系统的能力系统的能力参阅教材第参阅教材第9章，章，P400-450第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT9.1 s平面上的映射关系平面上的映射关系前面章节讨论过系统稳定性问题：劳斯判据、根轨迹法等。前面章节讨论过系统稳定性问题：劳斯判据、根轨迹法等。采用的共同的理论依据：系统稳定的充分必要条件为闭环系统所有特征根采用的共同的理论依据：系统稳定的充分必要条件为闭环系统

3、所有特征根位于位于s左半平面。左半平面。方法：在复数域判别闭环特征根的位置。方法：在复数域判别闭环特征根的位置。 本章再次讨论系统稳定性问题，系统稳定的理论基础与劳斯判据、根轨本章再次讨论系统稳定性问题，系统稳定的理论基础与劳斯判据、根轨迹法相同：系统稳定的充分必要条件为闭环系统所有特征根位于迹法相同：系统稳定的充分必要条件为闭环系统所有特征根位于s左半平面。左半平面。采用的方法：在频率域利用系统频率响应判别系统稳定性。采用的方法：在频率域利用系统频率响应判别系统稳定性。 H.Nyquist在在19321932年就提出了频域稳定性判据。迄今，该方法仍然是研年就提出了频域稳定性判据。迄今，该方法

4、仍然是研究线性控制系统稳定性的基本方法。究线性控制系统稳定性的基本方法。 Nyquist稳定性判据（稳定性判据（Nyquist stability criterion）是以复变函数理论的）是以复变函数理论的Cauchy定理为理论基础的。定理为理论基础的。 以传递函数为基础的系统特征根为复数，系统的频率特性也是复数。以传递函数为基础的系统特征根为复数，系统的频率特性也是复数。在讨论稳定性判据时，必须建立两者之间的联系。在讨论稳定性判据时，必须建立两者之间的联系。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT一、围

5、线映射一、围线映射闭环系统特征方程闭环系统特征方程0)()()(1)(1)(sHsGsGsLsFc01)()(qmnLLLssF)()()()(sHsGsGsLc称为称为系统开环传递函数系统开环传递函数多回路系统：多回路系统： qmnLLLsL)(单回路控制系统单回路控制系统闭环系统稳定的充分必要条件：闭环系统稳定的充分必要条件：F(s)的所有根位于的所有根位于s左半平面。左半平面。Nyquist思路思路: 将将s平面的右半平面映射到平面的右半平面映射到F(s)平面，以便讨论稳定性。平面，以便讨论稳定性。信号流图信号流图化简化简围线映射：围线映射：利用关系函数利用关系函数F(s)将将s平面平面

6、 上的闭合曲线映射到另一平面上。上的闭合曲线映射到另一平面上。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT例如，若例如，若 则则当当 时时)(sF是关于变量是关于变量s s的函数，的函数，jsjvusF)(也为复数，坐标（也为复数，坐标（u，v）是）是s s 在在F(s)F(s)平面上映射点。平面上映射点。 0)()()(1)(1)(sHsGsGsLsFc)(sFj),(jjvu),(jvus平面平面F平面平面1)(212)(jsjvusF12u2v12)(ssF第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 Colle

7、ge of Automatic Control Engineering , CUIT12)( ssF将将s平面矩形框（闭合曲线）映射到平面矩形框（闭合曲线）映射到F平面的矩形框（仍然为闭合曲线）平面的矩形框（仍然为闭合曲线）S平面闭合线包围了平面闭合线包围了F(s)的一个零点（的一个零点（s=-1/2），），F平面闭合曲线包围原平面闭合曲线包围原点一周。两者绕行方向都为顺时针。点一周。两者绕行方向都为顺时针。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT2)(sssF将将s平面闭合曲线映射到平面闭合曲线映射到F

8、平面仍然为闭合曲线平面仍然为闭合曲线S平面闭合线包围了平面闭合线包围了F(s)的一个零点（的一个零点（s=0），），F平面闭合曲线包围原点平面闭合曲线包围原点一周。两者绕行方向都为顺时针。一周。两者绕行方向都为顺时针。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT2)(sssF将将s平面闭合曲线映射到平面闭合曲线映射到F平面仍然为闭合曲线平面仍然为闭合曲线S平面闭合线包围了平面闭合线包围了F(s)的一个零点（的一个零点（s=0）和一个极点（）和一个极点（s=-2），），F平平面闭合曲线面闭合曲线不不包围原点。包

9、围原点。两者绕行方向相反。两者绕行方向相反。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT（二（二) Cauchy) Cauchy定理定理 对于在闭合曲线（对于在闭合曲线（围线围线）内具有有限个极点和零点的函数）内具有有限个极点和零点的函数F(s)F(s)，CauchyCauchy定理给出了围线映射的结论。定理给出了围线映射的结论。MkkniissssKsF11)()()()(1)(sLsF系统特征函数系统特征函数F(s)F(s)()()(sDsNsLMkkniissssKsDsNsDSDSNsLsF11)()

10、()()()()()(1)(1)(F(s)F(s)的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式，即系统特征多项式。的分子多项式才是闭环传递函数的分母多项式，即系统特征多项式。 Si为为F(s)F(s)的的零点零点（闭环系统极点闭环系统极点），），Sk为为F(s)F(s)的的极点极点（开环极点开环极点）。）。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT 当当s s沿围线沿围线 顺时针方向移动时，若在顺时针方向移动时，若在s s平面上包围平面上包围F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点，但不通过个极点，但不通过F(s

11、)的任何极点和零点，则映射的的任何极点和零点，则映射的围线围线 也以顺时针方向在也以顺时针方向在F(s)平面上包围平面上包围F(s)平面的原点平面的原点N次。次。 且且N=Z-P sFCauchyCauchy定理定理( (相角原理相角原理): ): Z=3,p=1 顺时针包围原点顺时针包围原点2次次N=Z-P=2 第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUITZ=0,p=1 逆时针包围原点逆时针包围原点1次，次，顺时针包围原点顺时针包围原点-1次次N=Z-P=-1 第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 Colle

12、ge of Automatic Control Engineering , CUIT9.2 Nyquist 稳定判据稳定判据0)()()()()()()(1)(1)(11MkkniissssKsDsNsDSDSNsLsF判定系统稳定性的出发点是闭环系统特征方程判定系统稳定性的出发点是闭环系统特征方程系统稳定的充分必要条件是系统稳定的充分必要条件是F(s)的所有零点都在的所有零点都在s 左半平面。左半平面。一、一、 NyquistNyquist稳定性判据稳定性判据闭环频率特性判据闭环频率特性判据Nyquist稳定判据来自于稳定判据来自于Cauchy定理。定理。Nyquist围线：整个右半围线：整

13、个右半s平面，包括虚轴但不平面，包括虚轴但不包括原点。实际上包括原点。实际上s沿围线变化一周，意味着沿围线变化一周，意味着从从-j-j变化到变化到+j+j。F(s)在在F平面的围线：当平面的围线：当s沿沿Nyquist围线变化时，围线变化时，F平面的围线就是平面的围线就是F(j)的轨迹，即闭环系统频的轨迹，即闭环系统频率响应曲线，不过此时率响应曲线，不过此时从从- -变化到变化到+ +。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUITNyquist稳定判据一：如果系统开环在稳定判据一：如果系统开环在s右半平面的极

14、点数为右半平面的极点数为p，在在从从- -变化到变化到+ +时，时，系统闭环频率响应曲线顺时针绕原点系统闭环频率响应曲线顺时针绕原点N次，则系统稳定的充分必要条件为：次，则系统稳定的充分必要条件为：z=N+p=0。或者说。或者说F(j)在在F平面逆时针绕原点次数为平面逆时针绕原点次数为p次。次。此判据实际上是此判据实际上是Cauchy定理的直接应用。定理的直接应用。二、二、 NyquistNyquist稳定性判据稳定性判据开环频率特性判据开环频率特性判据判据一理论意义较大，实际应用上需要绘制闭环系统频率响应曲线。工程判据一理论意义较大，实际应用上需要绘制闭环系统频率响应曲线。工程设计中绘制系统

15、开环频率特性曲线较为方便。设计中绘制系统开环频率特性曲线较为方便。)(1)(sLsF闭环系统的特征多项式为闭环系统的特征多项式为记记)(1)()(sLsFsF通过上述变形，可知通过上述变形，可知 把在把在s s平面上的围线平面上的围线 映射到映射到 平平面上。面上。 )()(sLsFs)(sL第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT与判据一的分析相同，与判据一的分析相同，L(s)平面上的围线平面上的围线 就是系统开环频率响应曲线，频就是系统开环频率响应曲线，频率变化范围是率变化范围是- -到到+ +。因为

16、因为 所以在所以在F(s)F(s)平面上顺时针包围原点的次数将变成平面上顺时针包围原点的次数将变成在在 平面上包围平面上包围(-1,0)(-1,0)点的次数。点的次数。NyquistNyquist稳定性判据可以稳定性判据可以表述如下：表述如下： , 1)()(sFsF)()(sLsFNyquistNyquist稳定判据三：稳定判据三：当开环传递函数当开环传递函数L(s) L(s) 在在s s右半平面内没有极点时，闭环系统稳右半平面内没有极点时，闭环系统稳定的充分必要条件是：定的充分必要条件是：L(s)L(s)平面上的围线平面上的围线 不包围不包围 点。点。 L)0,1(NyquistNyqui

17、st稳定判据二：稳定判据二：闭环系统稳定的充分必要条件是：闭环系统稳定的充分必要条件是：L(s)L(s)的映射的映射 沿逆时针方向沿逆时针方向包围包围 的周数等于的周数等于L(s)L(s)在在s s右半平面内极点的个数。右半平面内极点的个数。)0,1(L实际上，判据三是判据二的特例或推论。实际上，判据三是判据二的特例或推论。L第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例1 1 有二个实极点的系统有二个实极点的系统) 1)(1()(21ssKsGH1110/12100K系统无右半平面系统无右半平面极点，频率

18、特性极点，频率特性未包含（未包含（-1，0）点，故闭环系统点，故闭环系统稳定。稳定。此图即就是开环频率特性的此图即就是开环频率特性的极坐标图极坐标图-Nyquist图。图。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例2 2 在原点有一个极点的系统在原点有一个极点的系统) 1()(ssKsGH系统开环无右半平面系统开环无右半平面极点，但有一个位于极点，但有一个位于原点的极点。原点的极点。频率特性未包含（频率特性未包含（-1-1，0 0）点，故闭环系统稳定。）点，故闭环系统稳定。第九章第九章 频域稳定性频域稳

19、定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT 系统频率特性曲线在全频率（系统频率特性曲线在全频率（-，+）范围关于实轴是对称的，在绘制）范围关于实轴是对称的，在绘制频率响应曲线时就已指出：仅需要绘制（频率响应曲线时就已指出：仅需要绘制（0 0， + ）频率范围的曲线。所以）频率范围的曲线。所以NyquistNyquist稳定性判据有如下推论。稳定性判据有如下推论。推论：推论：NyquistNyquist判据可表述为：判据可表述为： 闭环系统稳定的充要条件：闭环系统稳定的充要条件：s s沿着奈氏路径绕一圈，沿着奈氏路径绕一圈，G(j)H(j

20、)G(j)H(j)曲线曲线逆逆时时针绕（针绕（-1-1，0 0）点的圈数）点的圈数N= P/2 。 或：或：z=p-2N=0 1 1 若若p=0p=0，则，则NyquistNyquist曲线不从（曲线不从（-1-1，0 0）点左侧穿过；即不包围（）点左侧穿过；即不包围（-1-1，0 0）点。）点。 2 2 若若p0,p0,则则N N等于等于NyquistNyquist曲线从（曲线从（-1-1，0 0）点左侧穿过次数的代数和。且系）点左侧穿过次数的代数和。且系统稳定的充要条件为统稳定的充要条件为N= P/2，不稳定极点个数为，不稳定极点个数为z=p-2N 。1)( )( )( 1 )(21 )(

21、 在（在（-1,0-1,0）点左侧奈氏曲线的穿越次数）点左侧奈氏曲线的穿越次数N N的确定：的确定： NNNN N+ +：正穿越，从上往：正穿越，从上往下穿越，也即：逆时下穿越，也即：逆时针穿越，相角增大的针穿越，相角增大的穿越；否则为负。穿越；否则为负。曲线起始或终止于实轴算曲线起始或终止于实轴算1/21/2次穿越次穿越第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例3 3 系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：) 1)(1()(21sssKsGH绘制开环频率响应极坐标曲线，讨论系统的稳定性。绘制开环频率

22、响应极坐标曲线，讨论系统的稳定性。) 2/(tantan1 ()()(1)1)(/ 1 ()() 1)(1()(21112/ 12122221422214222122122121KjKKjjjKjGH当当=0+ 时，时， 的相角为的相角为 ，幅值为无穷大。，幅值为无穷大。当当趋于趋于 时，相角趋于时，相角趋于-270-270，幅值趋于，幅值趋于0 0。 )(jGH90解：解：0讨论频率在讨论频率在范围的频率特性范围的频率特性渐近线：渐近线：)()(Re(2100KujGH第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , C

23、UIT与实轴的交点：与实轴的交点：0)(1)1)(/1 (2221422212212Kv令令21/121212122212121212/1222142221221)()()(1)(12KKKu 0 0先绘制正频率部分，再根据对称性绘出先绘制正频率部分，再根据对称性绘出负频率部分。负频率部分。注意在注意在从从0 0+ +变化到变化到0 0- - 阶段的曲线，阶段的曲线，保证频率响应曲线的封闭性。保证频率响应曲线的封闭性。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT稳定性讨论：稳定性讨论：当当12121K即即21

24、21K系统稳定系统稳定曲线过（曲线过（-1，0）点，系）点，系统临界稳定统临界稳定2121K系统不稳定系统不稳定2121K121绘制当绘制当时开环系统频率特性曲线：时开环系统频率特性曲线：第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT例例4 4 系统开环频率特性极坐标图如图，分析判断闭环系统稳定性。系统开环频率特性极坐标图如图，分析判断闭环系统稳定性。（a）（b）（c）解：解：(a)图系统开环不含不稳图系统开环不含不稳定极点，系统为定极点，系统为0型系型系统。频率特性曲线包围统。频率特性曲线包围（-1，0）点，

25、系统不）点，系统不稳定。曲线在（稳定。曲线在（-1，0）左侧左侧负负穿越穿越1次，不稳次，不稳定极点数为定极点数为z=p-2N=2。(b)图系统开环不含不图系统开环不含不稳定极点，系统为稳定极点，系统为I型型系统。系统。需要补绘需要补绘=0处处曲线。曲线。频率特性曲线不频率特性曲线不包围（包围（-1，0）点，系）点，系统稳定。统稳定。(c)图系统开环不含不图系统开环不含不稳定极点，系统为稳定极点，系统为II型系统。型系统。需要补绘需要补绘=0处曲线。处曲线。频率特频率特性曲线不包围（性曲线不包围（-1，0）点，系统稳定。或在点，系统稳定。或在（-1，0）点左侧正、）点左侧正、负各穿越负各穿越1

26、次。次。补绘原则：逆时针旋转补绘原则：逆时针旋转9090第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT三、三、 NyquistNyquist稳定性判据稳定性判据BodeBode图判据图判据)( L )( 0180)( )( 0dB与稳定性判据与稳定性判据相关的特殊点相关的特殊点（-1，0）在）在Nyquist图与图与Bode图上的图上的对应关系对应关系)( 1 )( ujv（-1，0）点的幅频值为）点的幅频值为1，相频为，相频为-180。分别对应分别对应bode图幅频特性的图幅频特性的0dB线和相线和相频特性的

27、频特性的-180 线。线。推论：推论：BodeBode图上的图上的NyquistNyquist稳定性判据稳定性判据 若系统开环在若系统开环在s s右半平面的极点数为右半平面的极点数为P P，开环对数幅频特性为正值的所有频，开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，相频曲线对率范围内，相频曲线对-180-180线的正、负穿越次数代数和线的正、负穿越次数代数和N=NN=N+ +-N-N- - ，满足：，满足：Z=P-2N=0 Z=P-2N=0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。，则闭环系统稳定，否则不稳定。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control En

28、gineering , CUITT/10o180 decdB /40o270 0decdB /60dBL/)()( 0 01 例例3 3：)1()()(2 TssKsHsGNyquist 图图Bode 图图分别绘制系统开环分别绘制系统开环Nyquist 图和图和 Bode 图图221 NPZNN，由由Bode 图看到：图看到：在幅频特性大于在幅频特性大于0dB0dB的频段，相频的频段，相频自自-180-180向向-270趋近。系统趋近。系统不稳定，负穿越不稳定，负穿越1次，次，z=0+2=2个个不稳定闭环极点。不稳定闭环极点。由由Nyquist 图看到：图看到：结论相同。结论相同。第九章第九章

29、 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT9.3 稳定裕度及与系统性能指标的关系稳定裕度及与系统性能指标的关系在频率响应图上利用在频率响应图上利用Nyquist判据可以判定系统的绝对稳定性，同样，也可判据可以判定系统的绝对稳定性，同样，也可以确定系统的相对稳定性。以确定系统的相对稳定性。穿越穿越频率频率 x cjvu0-1d1)(cjGH一、幅值与相角裕度一、幅值与相角裕度1. 幅值裕度（幅值裕度（Gain margin）幅值裕度（也称增益裕度）：幅值裕度（也称增益裕度）：当当GH(j)的相角为的相角为-180幅值的倒

30、数。幅值的倒数。此时的频此时的频率称为率称为穿越频率。穿越频率。幅值裕度表示了系统达到临界稳定所需幅值裕度表示了系统达到临界稳定所需的最大增益。的最大增益。2. 相角裕度（相角裕度（Phase margin）oxxjGHdjGH180)(,1)(11)(, )(180ccjGHjGH相角裕度：相角裕度：当当GH(j)曲线绕原点旋转到单位幅值点即将与（曲线绕原点旋转到单位幅值点即将与（-1，0）点重）点重合所需的角度。合所需的角度。此时的频率称为此时的频率称为截至频率。截至频率。相角裕度表示保证系统稳定的最大冗余角度。相角裕度表示保证系统稳定的最大冗余角度。截止截止频率频率第九章第九章 频域稳定

31、性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUITo180 )(dBdc x 0db L( ) ( )幅值裕度和相角裕度在幅值裕度和相角裕度在Bode 图上的表示图上的表示第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT3. 利用利用Matlab求取系统稳定裕度求取系统稳定裕度Matlab提供了求取系统稳定裕度的函数提供了求取系统稳定裕度的函数Margin(sys)-150-100-50050Magnitude (dB)10-210-11001011021

32、03-270-180-900Phase (deg)Bode DiagramGm = 0.984 dB (at 3.46 rad/sec) , Pm = 2.08 deg (at 3.3 rad/sec)Frequency (rad/sec)num=10;den=0.1 1.1 1.2 2; sys=tf(num,den); margin(sys); grid)2)(110()(2sssKsGHK=10gm,fai,wg,wc=margin(sys);gm,fai,wg,wcgm = 1.1200 （0.984dB）fai = 2.0755wg = 3.4641wc = 3.3020第九章第九章

33、 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT4. 4. 稳定裕度与稳定性的关系稳定裕度与稳定性的关系对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于1 1，则，则系统闭环稳定；否则系统闭环不稳定。并且这些值越大表明稳系统闭环稳定；否则系统闭环不稳定。并且这些值越大表明稳定程度越好。定程度越好。 请问这个系统稳定吗？说明判断理由请问这个系统稳定吗？说明判断理由请思考：请思考： 11 0,h0,h1时系统稳定性怎么判时系统稳定性怎么判定？定？第九章第九章 频域稳定性频域稳定性

34、College of Automatic Control Engineering , CUIT二、稳定裕度与时域指标的关系二、稳定裕度与时域指标的关系以二阶系统为例以二阶系统为例 )2()(2nnsssGH该二阶系统的特征方程为该二阶系统的特征方程为 0222nnss21nnjs)2()(2nnjjjGH频率特性函数为频率特性函数为在频率在频率 处，频率响应的幅值等于处，频率响应的幅值等于1 1，有，有 c1)4(2/12222nccn0)(4)(422222ncnc22/14222) 14(nc)2) 14(12(tan)2) 14(21tan(90)2(tan901802/122/1412

35、/122/141ncpm该系统的相位裕量为该系统的相位裕量为 第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT相位裕度与阻尼解析式过相位裕度与阻尼解析式过于复杂，绘制其曲线如图。于复杂，绘制其曲线如图。pmnc24242142arctan214pm01. 0其中相位裕量的单位为度。其中相位裕量的单位为度。 707. 00第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT707.00,001.02142arctan2142424nc12

36、24421)707.0( 12122422nBnrrMnsTeOP4,100%.21稳定裕度稳定裕度谐振峰值谐振峰值由开环还由开环还是闭环频是闭环频率特性获率特性获得？得？频域、时域关系小结频域、时域关系小结时域指标时域指标第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT三、开环频率特性曲线与闭环曲线三、开环频率特性曲线与闭环曲线 前面介绍的频域指标都是系统闭环指标，稳定裕度可以从系统开环频率特前面介绍的频域指标都是系统闭环指标，稳定裕度可以从系统开环频率特性曲线直接获得，而谐振峰值、谐振频率和带宽性曲线直接获得

37、，而谐振峰值、谐振频率和带宽必须必须从从闭环频率特性闭环频率特性获得。获得。 由于系统开环频率特性曲线绘制较闭环频率特性曲线容易，由于系统开环频率特性曲线绘制较闭环频率特性曲线容易，能否能否从开环频从开环频率特性曲线获得必须从闭环频率特性得到的谐振峰值、谐振频率和带宽？率特性曲线获得必须从闭环频率特性得到的谐振峰值、谐振频率和带宽？ Nichols通过研究系统开环与闭环频率特性关系，构建了通过研究系统开环与闭环频率特性关系，构建了Nichols坐标系。坐标系。通过在此坐标系绘制开环频率特性曲线即可获得闭环频率特性指标：谐振频通过在此坐标系绘制开环频率特性曲线即可获得闭环频率特性指标：谐振频率、

38、谐振峰值和带宽；同时也可方便绘制闭环曲线。率、谐振峰值和带宽；同时也可方便绘制闭环曲线。（推导过程见（推导过程见P420-422）。）。1. Nichols坐标系坐标系 Nichols坐标系是在系统频率特性对数幅相图上刻度了闭环幅值（坐标系是在系统频率特性对数幅相图上刻度了闭环幅值（M圆）圆）和闭环相角（和闭环相角（N圆）栅格。圆）栅格。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT 基础坐标：横坐标为开基础坐标：横坐标为开环相角，纵坐标为开环对环相角，纵坐标为开环对数幅值。数幅值。 基础栅格：基础栅格：基础坐

39、标的基础坐标的等分度栅格。（图中方格）等分度栅格。（图中方格） 圆形栅格：圆形栅格：M M圆（图中圆（图中黑色）闭环幅值，黑色）闭环幅值，N N圆圆（图（图中蓝色）闭环相角。中蓝色）闭环相角。 Matlab Matlab绘图函数：绘图函数：Nichols(sys)+grid。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT2. Nichols图的利用图的利用) 1)(64. 0)(2jjjjGH 开环曲线与开环曲线与 9 9dB M圆相切，圆相切，频率为频率为0.9rad/s0.9rad/s。所以闭环谐。所以闭环

40、谐振峰值为振峰值为9dB9dB，谐振频率为，谐振频率为0.9rad/s0.9rad/s。 闭环闭环-3dB-3dB与开环曲线交点处与开环曲线交点处的频率小于的频率小于1.21.2，约为，约为1.81.8，故，故系统带宽为系统带宽为1.8rad/s1.8rad/s。 开环开环180180时幅值时幅值-4dB，频率，频率1.0。故幅值裕度为。故幅值裕度为4dB，穿越，穿越频率为频率为1rad/s。 开环开环0dB 0dB 相角相角-145，频率，频率0.7。故相位裕度为。故相位裕度为45，截至，截至频率为频率为0.7rad/s。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automa

41、tic Control Engineering , CUIT例例1.1.现代加工业和物流业大量使用现代加工业和物流业大量使用AGV小车运送物料。（小车运送物料。（P457 P9.16 题题）第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT其自动驾驶系统结构图如图，确定增益其自动驾驶系统结构图如图，确定增益K K的取值，使闭环系统的相位裕度达的取值，使闭环系统的相位裕度达到到3030，并确定此时系统时域指标，并确定此时系统时域指标P.O.P.O.和和TsTs。解：解：系统开环传递函数：系统开环传递函数：)2)(11

42、0()(2sssKsGH系统开环频率特性函数：系统开环频率特性函数：)2)(110()(2jjjKjGH021103021 . 0180ccctgtg19. 3211 . 02cccjjK根据相角裕度定义得：根据相角裕度定义得：解得解得c=2.08，代入幅值特，代入幅值特性得：性得：第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT 根据相角裕度条件求截止频率根据相角裕度条件求截止频率c需要求解三角方程，通常比较麻烦。可需要求解三角方程，通常比较麻烦。可以借助以借助Matlab，通过相关函数作图试凑求解。，通过相关

43、函数作图试凑求解。021103021 . 0180ccctgtg本例中利用本例中利用Margin()函数，对函数，对K取不同值求相位裕度，试凑取不同值求相位裕度，试凑K值：值：Margin(tf(1,0.1 1.1 1.2 2);KGm(dB)x(rad/s) ()c(rad/s)1213.46inf2153.4651.11.72311.43.4632.22.033.111.23.46312.063.210.93.4629.92.08K=3.2时，相角裕度时，相角裕度29.9更接近更接近30，取，取K=3.2第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Cont

44、rol Engineering , CUIT-150-100-50050Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-180-900Phase (deg)Bode DiagramGm = 10.9 dB (at 3.46 rad/sec) , Pm = 29.9 deg (at 2.08 rad/sec)Frequency (rad/sec)第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT根据相角裕度与阻尼的近似关系根据相角裕度与阻尼的近似关系0.01=0.3，由由22/14222

45、) 14(ncn=2.275,于是：于是：Ts=5.86s , P.O.=37%024681012141600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)Amplitude实际超调达到实际超调达到98%，调节时间约调节时间约12s。造。造成较大误差的原因在成较大误差的原因在于按照近似式求阻尼于按照近似式求阻尼时，从前面的阻尼时，从前面的阻尼-相相角裕度曲线看到：在角裕度曲线看到：在30度时误差最大，图度时误差最大，图上显示上显示0.250.25。同。同时，第三个极点对系时，第三个极点对系统仍然有影响。统仍然有影响。另外在另外在K=3.2K

46、=3.2时系统稳态误时系统稳态误差约为差约为38%38%，因此本系统无，因此本系统无论动态、静态性能都是不论动态、静态性能都是不好的。好的。如何改进？如何改进？第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT9.4 控制系统中的纯延迟及对系统稳定性的影响控制系统中的纯延迟及对系统稳定性的影响 纯延迟（纯延迟（Time delay）是控制系统被控对象中经常存在的现象，尤其在过是控制系统被控对象中经常存在的现象，尤其在过程对象中更为普遍。程对象中更为普遍。例如轧钢厚度控制系统。例如轧钢厚度控制系统。纯延迟的数学模型（

47、传递函纯延迟的数学模型（传递函数）：数）：sTdesG)(T称为称为延迟时间延迟时间，轧钢系统，轧钢系统vdT 具有纯延迟系统开环传递函具有纯延迟系统开环传递函数和频率响应函数分别为：数和频率响应函数分别为：TjcsTcejHGGjGHesHsGsG)()()()()( 纯延迟并不影响系统开环频率响应的幅值，仅影响相角。延迟因子造成的滞纯延迟并不影响系统开环频率响应的幅值，仅影响相角。延迟因子造成的滞后相角：后相角：sradT/)(第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT如果液体流速为如果液体流速为5 ，

48、管道，管道截面积截面积1 ，距离，距离d为为5m，则延，则延迟为迟为T=1s 。 液位控制系统，控制阀液体流出液位控制系统，控制阀液体流出到液面存在纯延迟。到液面存在纯延迟。sm /3系统开环传递函数：系统开环传递函数：绘制系统开环绘制系统开环Bode图图ssTAessssesHsGsGsGH) 13/9/)(130)(1(5 .31)()()()(2第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT有无纯延迟系统幅频特性未发有无纯延迟系统幅频特性未发生变化，系统截止频率约为生变化，系统截止频率约为0.8。无纯延迟

49、时，系统相位裕度为无纯延迟时，系统相位裕度为40，有延迟时约为，有延迟时约为-3，系，系统已不稳定。统已不稳定。如果希望有延迟情况下，系如果希望有延迟情况下，系统相位裕度仍然为统相位裕度仍然为4040，系，系统截止频率必须变为：统截止频率必须变为：0.4系统幅频曲线必须垂直下移系统幅频曲线必须垂直下移8dB,8dB,即增益即增益K K必须减小必须减小2.52.5倍。倍。增益的减小必然造成系统增益的减小必然造成系统稳态误差增大；截止频率稳态误差增大；截止频率变小，必然使系统响应速变小，必然使系统响应速度变慢。度变慢。可见，纯延迟的存在对系统可见，纯延迟的存在对系统性能指标影响是十分明显的。性能指

50、标影响是十分明显的。第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT纯延迟在纯延迟在Matlab中的表示中的表示 系统数学模型通常以有理分式（传递函数）或确定系数的有限阶微分方程系统数学模型通常以有理分式（传递函数）或确定系数的有限阶微分方程表示。纯延迟的传递函数为非线性的，展开成有理式是无限项：表示。纯延迟的传递函数为非线性的，展开成有理式是无限项：! 5)(! 4)(! 3)(! 2)(15432sTsTsTsTTsesT通常用不同阶有理分式作有限项近似，例如通常用不同阶有理分式作有限项近似，例如1 1阶有理

51、分式作阶有理分式作3 3项近似为：项近似为：Matlab提供了做近似的函数提供了做近似的函数Pade()12120101sTsTdsdnsnesT num,den=pade(T,N)近似分式近似分式分子系数分子系数近似分式近似分式分母系数分母系数纯延迟时纯延迟时间间T近似分式近似分式的阶次的阶次num,den=pade(1,1);sys=tf(num,den) Transfer function:-s + 2-s + 2第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT9.5 PID控制器的频率特性控制器的频率特性

52、PIDPID控制器的传递函数为控制器的传递函数为 sKsKKsGc321)(sssKssKKsKKKsGc) 1)(1() 1()(2212232 一般讲，当被控对象只有一个或二个极点一般讲，当被控对象只有一个或二个极点( (或可作二阶近似或可作二阶近似) )时，时，PIDPID控制控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应性能特别有用。器对减少稳态误差和改善瞬态响应性能特别有用。 为了绘制为了绘制PIDPID的的BodeBode图，将传递函数改写为：图，将传递函数改写为：可以看出：可以看出：PIDPID控制器实际为一带通滤波器。控制器实际为一带通滤波器。 第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 Coll

53、ege of Automatic Control Engineering , CUIT9.6 设计举例设计举例-钢锭淬火机器人控制钢锭淬火机器人控制第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT位置控制系统结构图位置控制系统结构图sT78. 04控制目标：控制目标：位置跟踪误差最小化。位置跟踪误差最小化。设计指标设计指标： （1）阶跃输入下位置跟踪稳态误差小于阶跃输入下位置跟踪稳态误差小于10%； （2）在考虑纯延迟情况下，相位裕度大于）在考虑纯延迟情况下，相位裕度大于50； （3）阶跃输入时超调量小于）阶跃输

54、入时超调量小于10%。设计思路：设计思路：首先采用最简单的比例控制，看能否满足设计指标？如果不能，首先采用最简单的比例控制，看能否满足设计指标？如果不能，采用采用PI控制，再确定控制器参数。控制，再确定控制器参数。设计方法：设计方法：频域分析法。频域分析法。2) 1()()()()(sKsGsGcsLKsGc采用比例控制，不考虑纯延迟时采用比例控制，不考虑纯延迟时系统开环传递函数为：系统开环传递函数为：第九章第九章 频域稳定性频域稳定性 College of Automatic Control Engineering , CUIT阶跃输入阶跃输入R(s)=a/s 时，系统稳态误差：时，系统稳态误差：KaKaeK