多所高校近世代数期末考试题库

1、优选教育资源 共赢共享共进多所高校近世代数题库一、（20*年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打错的打“X”；每小题1分，共10分）1、设与都是非空集合，那么A=B=«xwA且xwBk（）2、设、都是非空集合，则AmB到的每个映射都叫作二元运算。（）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射f。（）4、如果循环群G=（a）中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（）6、近世代数中，群的子群是不变子群的充要条件为VgwGhwH;g-Hg=H。（）7、如果环的阶，那么的单位元1#0。（）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零

2、因子。（）9、F（x）中满足条件p（a）=0的多项式叫做元在域上的极小多项式。（）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与%同构的子域，这里是整数环，P是由素数生成的主理想。（）二、（20*年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设A,A2,，An和都是非空集合，而是A父A2M父An到的一个映射，那么（）集合A,4,，AQ中两两都不相同；A,A2,，An的次序不能调换；A1MA2MMAn中不同的元对应的象必不相同；一个元0,，an）的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（

3、）在整数集上，a:b=-一b；在有理数集上，a二b=J|ab|；ab在正实数集上，a:b=alnb;在集合4亡Zn之0）上,a=b=a-b。3、设是整数集上的二元运算，其中a0b=maxa,b（即取与中的最大者），那么在中（）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。4、设（G）为群，其中是实数集，而乘法。:a©b=a+b+k,这里为中固定的常数。那么群（GJ）中的单位元和元的逆元分别是（）0和；1和0;和x2k；和（x+2k）。5、设a,b,c和都是群中的元素且x2a=bxc,，acx=xac,那么x=（）bc'a'c'a,；a'bc&

4、#39;；bca。6、设是群的子群，且有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6,那么的阶|G:（）6;24;10;12。7、设f:GitG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）的同态核是的不变子群；的不变子群的逆象是的不变子群；的子群的象是的子群；的不变子群的象是的不变子群。8、设f:RtR2是环同态满射，f（a）=b,那么下列错误的结论为（）若是零元，则是零元；若是单位元，则是单位元；若不是零因子，则不是零因子；若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（）欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，

5、那么（）（E:I）=（E:I（I:F）;（F:E）=（I:F'（E:I）;（I:F）=（E:F'（F:I）;（E:F）=（E:I'（I:F）。三、（20*年近世代数）填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合A=1,0,1;B=1,2,则有BmA=。2、如果是与问的一一映射，是的一个元，则Lf（a）=。3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果A/Aj,那么A仆Aj=。4、设群中元素的阶为，如果an=e,那么与存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换兀=（31425）,

6、那么n"=。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么%是一个域当且仅当是。9、整环的一个元叫做一个素元，如果。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果。四、(20*年近世代数)改错题(请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分)1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在ai©a2。an里，元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、

7、设和是环的理想且I=S=R,如果是的最大理想，那么S#0O4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d。5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元a0,a1,，a。使得ao+a1十"+anan=0。五、(20*年近世代数)计算题(共15分，每小题分标在小题后)1、给出下列四个四元置换4、4；2 3 4、2 4 3；1 2 3 4、12Ji.=4<21 3 4J<214、3;组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及%,产丁产丁,辄：和的所有子群。2、设26=0】112,3】4】5是模6的剩余类环，且f(x),g(x)wZel

8、xL如果f(x)=3X3+5X+b、g(x)=Lk2+3，计算f(x)+g(x)、f(x)-g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。3、群G=(a),|a|=7,求出群G的所有子群。六、(20*年近世代数)证明题(每小题10分，共40分)1、设和是一个群的两个元旦ab=ba,又设的阶|a=m，的阶|b=n，并且(m,n)=1,证明：的阶ab=mn。2、设为实数集，Va,bwR,a#0,令f(a,b):RtR,xTax+b,Vx=R,将的所有这样的变换构成一个集合G=f(a,b)|va,bwR,a。0,试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证I1口心和I1十12=1

9、a+bawIbw12都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1,证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。5、整数环Z中，证明(3,7)=(1)6、证明：域是欧式环。7、证明群同态定理第一条。8、R冈条件下，做映射：f:g(x)=g(0),求证：在f映射下R冈与R同构,并求其核。多所高校近世代数题库答案一、(近世代数)判断题12345678910XX-，-X二、(近世代数)单项选择题12345678910三、(近世代数)填空题1、%,1)(1,0)(1,12,1)(2,0)(2,1。2、。3、。4、mn5、变换群。6、(13524)。7、工xiayi,xi,yiR。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、（近世代数）改错题1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在ai2a。里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设和是环的理想且IJSJR,如果是的最大理想，