高等数学(上)重要知识点归纳

1、精品文档高等数学（上）重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）lim xna0, N, 当 nN 时， | xna |n2、性质(1) lim f ( x) Af ( x) A( x) ，其中(x) 为某一个无穷小。xx0(2)( 保 号 性 ）若 lim f ( x)oA 0，则0, 当 xU ( x0 , ) 时 ，x x0f (x)0 。(3)* 无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、 * 两个重要极限公式(1)lim sin1(2) lim (11) e02、两个准则(1) * 夹逼准则(2)单调有界准则3、 * 等价无穷小

2、替换法常用替换：当0 时（ 1) sin （ 3） arcsin （ 5） ln(1) （ 7） 1 cos 1 22（ 2） tan （ 4) arctan（ 6） e1 （ 8） n 11 n.精品文档4、分子或分母有理化法5、分解因式法6 用定积分定义三、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义 *f (x) 在 a 点连续lim y 0lim f ( x) f (a)f (a ) f (a )f (a)x 0x a第一类可去型（极限存在）跳跃型（左右极限存在 但不相等）2、间断点的分类无穷型（极限为无穷大 ）第二类 震荡型（来回波动）其他3、曲线的渐近线 *

3、(1)水平渐近线：若 limf ( x)A, 则存在渐近线： yAx(2)铅直渐近线：若 limf ( x),则存在渐近线： xax a五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理.精品文档第二章 导数与微分一、导数的概念1、导数的定义 *y |x af (a)dy |x alimylim f (ax)f (a)limf (x)f (a)dxx 0xx 0xx axa2、左右导数左导数 f (a)limylimf (x)f (a)x 0xx axa右导数 f (a)limylimf ( x)f (a)x 0xx axa3、导数的几何意义*y |x a曲线 f ( x)在点

4、（ a, f (a)处的切线斜率 k4、导数的物理意义若运动方程： ss(t)则s (t)v(t )(速度）,s (t)v (t )a(t ) (加速度）5、可导与连续的关系:可导连续，反之不然。二、导数的运算1、四则运算 (uv) u v(uv) u v uv(u )u vv2uvv2、复合函数求导设 yf ( x) ，一定条件下 dydy duyuuxdxdu dx3、反函数求导设 yf ( x)和xf 1 ( y) 互为反函数，一定条件1下： yxxy4、求导基本公式 * （要熟记）.精品文档5、隐函数求导 *方法：在 F (x, y)0两端同时对 x 求导，其中要注意到： y 是中间变

5、量，然后再解出y6、参数方程确定函数的求导 *设 xx(t ) ， 一 定 条件 下yy(t)yx dy yt ,( yt )txt （可以不记）yxdyxxtyt xt ytdx xtdxxt( xt )37、常用的高阶导数公式（ 1） sin (n) xsin( xn),( n0,1,2.)2（ 2） cos(n ) xcos(xn), ( n0,1,2.)2（ 3） ln( n ) (1x)(1)n1(n1)! , (n 12.)(1x)n（ 4） ( 1 )n(1)n n!, (n0,1,2.)1 x(1x)n 1（ 5）（莱布尼茨公式）n(uv)( n )Cnku( n k )v(

6、k )k 0三、微分的概念与运算1、微分定义*若yA xo(x) ，则 yf ( x) 可微，记 dyA xAdx2、公式： dyf (x)xf ( x) dx3、可微与可导的关系*两者等价4、近似计算当 | x | 较小时， ydy ， f ( x)f ( xx)f ( x) x.精品文档第三章 导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理 *(1) f ( x)、g ( x)在 a,b上连续( 2) f ( x)、 g (x)在 (a, b)内可导（3） g ( x) 0,则：（a, b),使得：f ( )f (b)f (a)g ( )g(b)g(a)当取 g ( x) x 时，定理演变成

7、：2、拉格朗日中值定理 *（a, b),使得： f (f (b)f (a)f (b) f (a) f ( )(b a)ba当加上条件f ( a)f (b) 则演变成：3、罗尔定理 *（a,b),使得： f ( )04、泰勒中值定理在一定条件下：f (x) f (x0 )f(x0 )(xx0 ).f ( n ) (x0 ) (x x0 )nRn (x)n!其中 Rn ( x)f (n1) ( ) ( x x0 )n 1o( x x0 )n ),介于 x0、x 之间 .(n1)!当公式中 n=0 时，定理演变成拉格朗日定理 .当 x0 0 时，公式变成 :5、麦克劳林公式f (x)f (0)f (

8、0) x .f ( n) (0) xnRn ( x)n!.精品文档6、常用麦克劳林展开式（ 1） ex 1xx22!（ 2） sin xxx33!（ 3） cosx1x22!.1 xno(xn )n!x5.( 1)n 12 n 1(2n )5!(2nxo x1)!x4.(1)nx2no(x2 n 1 )4!(2n)!（ 4）ln(1x2x3( 1)n 1xn(n )x) x.no x23二、罗比达法则 *记住：法则仅能对 0 ,型直接用， 对于 0 ,1 ,00, 0 , 转化0后用 .幂指函数恒等式 * f geg ln f三、单调性判别*1、 y0y,y0y2、单调区间分界点：驻点和不可导

9、点.四、 极值求法 *1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小 .4、第二判别法： 一阶导等于0，二阶导不为0 时，是极值点 .正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法*找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.精品文档六、凹凸性与拐点*1、 y0y,y0y2、拐点：曲线上凹凸分界点( x0 , y0 ) .横坐标 x0 不外乎f ( x0 )0,或f (x0 )不存在 ，找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径| y|1、曲率公式 K3(1 y2 )212、曲率半径 RK.

10、第四章 不定积分一、不定积分的概念*若在区间 I 上， F (x)f ( x),亦dF (x)f ( x)dx ，则称 F ( x)为f ( x)的原函数 .称全体原函数F(x)+c 为 f(x) 的不定积分，记为二、微分与积分的互逆关系1、f (x)dxf (x)d f (x)dxf ( x)dx2、f( x)dxf (x) cdf (x)f ( x) c三、积分法 *1、凑微分法 *2、第二类换元法3、分部积分法 *udvuvvdu4、常用的基本积分公式(要熟记 ).精品文档f ( x)dx .第五章 定积分一、定积分的定义bnf (x) dx limf ( i ) xiax 0i 1二、

11、可积的必要条件有界 .三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调 .四、几何意义定积分等于面积的代数和 .精品文档五、 主要性质 *bcb1、可加性 aac2、估值 在 a,b 上， m(bba) a f ( x) dxM (ba)3、积分中值定理 *当 f(x) 在 a,b 上连续时：ba f ( x)dx f ()(b a), a, bbf (x)dx4、函数平均值：aba六、变上限积分函数*1、 若 f ( x)在 a,b连续，则 F ( x)xxaf (t )dt可导，且 a f (t) dtf ( x)2、 若 f ( x)在 a,b连续，（ x）( x)可导，则： a f

12、 (t )dt f (x)( x)七、牛 -莱公式 *bf ( x)dx |ba F (b)若 f ( x)在 a, b连续，则 af ( x)dxF (a)八、定积分的积分法*1、换元法牢记：换元同时要换限2、分部积分法3、特殊积分bba udv uv |baa vdu（ 1）a0,当 f ( x)为奇函数时a f ( x)dxa2 f ( x) dx,当f ( x)为偶函数时0（ 2）当 f(x) 为周期为 T 的周期函数时：a nTTf ( x)dxnf ( x)dx, nZa0（ 3）一定条件下 :xf (sin x) dx2 0 f (sin x)dx0.精品文档(n1)! ， 是正

13、奇数时（ 4）02 sinn xdx02 cosn xdxn!n(n1)!，n是正偶数时！n !2（ 5）0 sinn xdx2 02 sinn xdx九、 反常积分 *1、无穷区间上f ( x)dxlimxf (t )dtF ( x) |aF ( ) F (a) 其他类似aax1p时收敛2、 p 积分 ： adx(a1xp0) :时发散p13、瑕积分：若a 为瑕点：则 babf ( x)dxlimxaxf (t )dtF ( x) |baF (b)F (a )其他类似处理第六章定积分应用一、几何应用1、面积Ab（y上 - y下） dx（ 1）abA（x右 - x左） dya（ 2）（ 3）xx(t ),则 A| y(t ) x (t ) | dtC :, (tyy(t )C :( ),与，（)围成图形面积12A（ ）d22、体积 *（ 1）旋转体体积 * Vxby2 dx Vydx2 dy或 Vybac2 xy dxa（ 2）截面面积为 AA(x) 的立体体积为bVa A( x) dx.精品文档3、弧长（ 1） s（ 2） sby 2 dx( a xb)1ax 2 (t ) y 2 (t )dt,(t)（ 3） s22 d ,()二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素： d