第八章傅氏变换

1、第八章傅氏变换一、傅里叶级数一、傅里叶级数1.1.三角形式三角形式 称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件： 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一类间断点； f（t）在a,b上只有有限个极值点。1.1 1.1 傅里叶积分公式傅里叶积分公式 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为2,2TT2,2TT) 1 . 1 . 1 ( )sincos(2)(1000nnnTtnbtnaatf T20), 2, 1, 0(cos)(2022

2、ndttntfTaTTTn)321( sin)(2220,ntdtntfTbTTTn)0()0(2100tftf2.2.傅氏级数的复指数形式傅氏级数的复指数形式ntjnTectf0)( 在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为 即 ( (三三) )傅氏积分傅氏积分 任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的。)()(limtftfTTdedeftftjj -)(21)( 这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式傅里叶积分公式 余弦傅氏积分公式余弦傅氏积分公式 正弦傅氏积分公式正弦傅氏积分公式 P113 例例 8.1 例例8.200cosc

3、os)(2)(dtdftf00sinsin)(2)(dtdftf定理定理8.2（傅氏积分定理）（傅氏积分定理）若f (t)在(-，+)上 满足下列条件：收敛）收敛）上绝对可积）上绝对可积，在任（在任（）（dttftf)(-)(.2)(tfdedeftftjj -)(21)(（1）在任一有限区间满足狄利克雷条件；在任一有限区间满足狄利克雷条件；则在 的连续点t处有傅氏积分公式的三角形式：傅氏积分公式的三角形式：0)-(cos)(1)(ddtftf1.2 1.2 傅里叶变换傅里叶变换 ( (一一) )定义定义1.1.1 1.1.1 设f (t)和F()分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组

4、傅里叶变换对，如果成立dtetfwFjwt)()(dwewFtfjwt)(21)(并称F()为f (t)的象函数或傅里叶变换，记为Ff(t)；称f (t)为F()的象原函数或傅里叶逆变换，记为F-1F()傅氏变换对的物理意义傅氏变换对的物理意义 1. 与与 构成一个傅氏变换对，它们是由构成一个傅氏变换对，它们是由许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包含含 分量；分量； 2. 是是 中各频率分量的分布密度，中各频率分量的分布密度， 称为频谱密度函数称为频谱密度函数 为振幅谱为振幅谱 为相位谱为相位谱)(tf)(tf）（F）（F-0）（F)(argF正

5、弦、余弦傅氏变换正弦、余弦傅氏变换余弦傅氏变换余弦傅氏变换正弦傅氏变换正弦傅氏变换P115 例例8.3 8.400coscos)(2)(dtdftf00sinsin)(2)(dtdftf0cos)()(tdttfF0sin)()(tdttfF0cos)(2)(tdFtf0sin)(2)(tdFtf 第三节第三节 单位脉冲函数（单位脉冲函数（-函数）函数） （狄拉克函数）（狄拉克函数） 1.函数的定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。 1)( 20)(0, 0)( 1dtttttt，； (2)矩形脉冲函数的定义)(lim)(0tt其中tt0,;, 0)(1其它其它二、单位脉冲函数

6、的性质二、单位脉冲函数的性质 性质性质8.1 对于任意的连续函数 ，都有 性质性质8.2 性质性质8.3 是偶函数，即 性质性质8.4 其中 称 为单位阶跃函数)(tf)()()(00tfdttttf)0(-)(fdttft）（t)（）（tt)-）tdttdutudttt()(),()(-0t0,0t1(，）tut)（u)0()()(fdtttf三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换 关于 函数的重要公式 更一般的有 故 与 构成傅氏变换对 例题见 P121 8.8 8.9 8.10)( 1 1)()(1tFtFF)-()()(0-1-000tteFettFFtjtj)-(0tttje- 3.

7、3.函数在积分变换中的作用函数在积分变换中的作用 (1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。dttf)(这种频谱图称为离散频谱（对应周期函数离散频谱（对应周期函数，也称为线状频谱，而非周线状频谱，而非周期函数的频谱也就相应地对应着连续

8、频谱）期函数的频谱也就相应地对应着连续频谱）( (四四) )物理意义物理意义频谱：指频率和振幅的关系图频谱：指频率和振幅的关系图 1.非正弦的周期函数的频谱10)sincos(2)(nnnnwtbnwtaatf)sin(sincos22nnnnnnwtbanwtbnwta;, 2 , 1 22nbaAnnnntjwnneCtf)(2 ,2nnnnnnjbaCjbaC222nnnnbaCCnnCA2第四节第四节 傅氏变换的性质傅氏变换的性质 1线性性质线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则)(1tf)(1F)(2tf)(2Fb )()( = )()(F2121bbFFtftf )()(

9、= )()(F2121-1tftfFFbb2位移性质位移性质 )( F)(F00tfettftj)()(F010ttfFetj该性质在无线电技术中也称为时移性质时移性质。 另：象函数的位移性质另：象函数的位移性质)()(00FtfeFtjtjetfFF0)()(0若 ，则 )()(FtfF象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质频移性质3.翻转性质翻转性质若 ，则 )()(FtfF）或或tfFFFtfF()()()(-13对称性质对称性质 （P123)P123)若 ，则 )()(FtfF)(2)(ftFF4相似性质相似性质 （P125)P125) 0),()(aFtfF若，则)(1)(aF

10、aatfF 5.微分性质（导数的像函数）微分性质（导数的像函数） 若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时， ，则 t,t0)(tf)()()(-1tfjFtfjtfF）（或或FF推论 若 （k=1,2,n）在 上连续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 则有 )()(tfk),()(lim)(| |tfkt)()()()(tfFjtfFnn 像函数的微分性质（像函数的导数）像函数的微分性质（像函数的导数）P127P127若 ，则dttfttfF)(,F()(）f(t)-)()(F-)(1t jFFttfjFdd或或一般地，有)()()(tftjFddnnnn

11、F若当 时， = ,则)(tgt0)(dttft)(1)(FjdttfFt6.6.积分性质积分性质7.7.乘积定理乘积定理 若 ， ，则 )()(11FtfF)()(22FtfFdFFdttftf)()(21)()(2121dFF)()(2121其中 ， 均为t的实函数， 、 分别为 、 的共轭函数。 )(1tf)(2tf)(1F)(2F)(1F)(2FjttfGFGjttfF)(-)()()(1或或 dFGFtfF)()()()(， 像函数的积分P1288.帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（Parseval)Parseval)等式等式 （能量积分公式）（能量积分公式） 若 ，则 ）F()(tfFdFdtt

12、f22)(21)(该等式又称为巴塞瓦等该等式又称为巴塞瓦等式。 9.卷积定理卷积定理 设 ， 都 满 足 付 氏 积 分 定 理 中 的条， ，则 )(1tf)(2tf)()(11FtfF)()(22FtfF )()()(*)(2121FFtftfF)(*)(21)()(2121FFtftfF- -、常用函数傅里叶变换公式、常用函数傅里叶变换公式 bbjtuet1)( F 1)( 1=)( F (2)t )()( =cos F (3)aaat )()( = sin F (4)aajat )(1 =)( F (5)jtu )(2 =1 F (6) )(2= F (7) 00tje （4） 卷积定理卷积定理 设 推论推论 设设 绝绝对对值值不不等等式式）(t)(t)(2121ftfftf)( )(,)( )(2211FtfFFtfF)()(21(t)()()(t)(21212121FFftfFFFftfF则则 n),1,2,(i)( )(iiFtfF)()()()2(1f(t)(t)()()(f(t)(t)(211 -212121