2016新课标创新人教A版数学必修4 22平面向量的线性运算

1、第1课时向量加法运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P80P83的内容，回答下列问题(1)观察教材P80图2.21，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等(2)观察教材P80“探究”的内容，思考：力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？提示：产生的效果相同力F与力F1、F2有怎样的关系？提示：力F是F1与F2的合力力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长(3)数的加法启发我们，从

2、运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法2归纳总结，核心必记(1)向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2)向量加法的运算法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab_. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a00aa平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线_就是a与b的和我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.(3)向量加法的运算律交换律

3、：abba；结合律：abc(ab)ca(bc)问题思考(1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则(2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用(3)式子0正确吗？ 课前反思(1)向量加法的定义：；(2)求向量和的三角形法则：；(3)求向量和的平行四边形法则：；(4)向量加法的交换律：；(5)向量加法的结合律：思考1求作两个向量和的方法有哪些？提示：三角形法则和平行四边形法则思考2三角形法则和平行四边形法则的适用条

4、件有什么不同？名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的如图所示， (平行四边形法则)， (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同. 讲一讲1(1)如图，利用向量加法的三角形法则作出ab；(2)如图，利用向量加法的平行四边形法则作出ab.尝试解答(1)如图所示，设a，a与b有公共点A，故过A点作b，连接即为ab.(2)如图，设a，过O点作b，则以OA、OB为邻边作OACB，连接OC，则ab. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的

5、问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单练一练1如图，已知a、b、c，求作向量abc.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示作abc.思考向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：abba；向量加法的结合律：(ab)ca(bc)讲一讲2化简下列各式： 解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法

6、运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.练一练2如图，在ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：讲一讲3在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和尝试解答如图所示，设分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是；两次飞行的位移的和指的是依题意，有8008001 60

7、0 (km)又35°，55°，ABC35°55°90°.800(km)其中BAC45°，所以方向为北偏东35°45°80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤练一练3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置解：如图所示，设分别是轮船的两次位移，则表示最终位移，且.CAD60°，即此时轮船位于A港东

8、偏北60°，且距离A港40 km处课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用2要掌握向量加法的三个问题(1)求作向量的和，见讲1；(2)向量加法运算，见讲2；(3)向量加法的应用，见讲3.3求作向量时应注意以下两点(1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”课下能力提升(十四)学业水平达标练题组1求作向量的和1 如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作ab.解：在平面内任取一点O，2已知两非零向量a，b(如图所示)求作

9、ab.解：如图所示：在平面内任取一点O，作题组2向量加法运算4下列等式错误的是()Aa00aaA2 B4C12 D66根据图示填空解析：由三角形法则知7已知正方形ABCD的边长为1，a，c，b，则|abc|为_解析：|abc|2.答案：28如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以题组3向量加法的应用9若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”则|ab|_，ab的方向是_解析：如图所示，设a，b，则ab，且ABC为等腰直角三角形，则|8 km，BAC45°.答案：8 km北偏东45&

10、#176;10雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向解：如图，用表示雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度以，为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度在RtOAC中，|4，|，AOC30°.故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向与垂直方向成30°角向东. 能力提升综合练1设a，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.A BC D解析：选Ca0，是正确的2已知D，E，F分别是ABC的边AB，B

11、C，CA的中点，则下列等式中不正确的是()解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，3如图，四边形ABCD是梯形，ADBC，则()4已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则下列结论中正确的是()AP在ABC的内部BP在ABC的边AB上CP在AB边所在的直线上DPP在ABC的外部解析：选D，根据平行四边形法则，如图，则点P在ABC外答案： 6若P为ABC的外心，且，则ACB_解析：，则四边形APBC是平行四边形又P为ABC的外心，因此ACB120°.答案：120°7在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且|0，cosDAB.求又cosDAB，DAB(0，)，

12、 DAB60°，ABD为正三角形 8已知船在静水中的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向解：作出图形，如图船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在RtACD中，|v水|10 m/min，60°，从而船与水流方向成120°的角故船行进的方向是与水流的方向成120°的角第2课时向量减法运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P85P86的内容，回答下列问题(1)一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗

13、？若有，如何表示？提示：一个数x的相反数是x.一个向量a有相反向量，记为a.(2)任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？提示：a(a)0.(3)根据前一节所学的内容，你能作出向量a与b的差ab吗？提示：可以，先作b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a(b)即可2归纳总结，核心必记(1)相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a规定：零向量的相反向量仍是零向量；(a)a；a(a)(a)a0；若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0(2)向量的减法定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：以O为起点，作向

14、量a，b，则_ab，如图所示，即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量问题思考(1)若两个非零向量a与b互为相反向量，则a与b应具备什么条件？提示：长度相等；方向相反(2)相反向量与相反数一样吗？提示：不一样相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等(3)若abcd，则adbc成立吗？提示：成立移项法则对向量的运算是成立的课前反思(1)相反向量的定义：；(2)向量减法的定义：；(3)向量减法的几何意义：讲一讲 (1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式首尾相连且为和；起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用练一

15、练1化简下列各式：思考1已知两个非零向量a，b，如何作ab?名师指津：求作两向量的差可以转化为两个向量的和，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，并指向被减向量思考2ab的几何意义是什么？名师指津：ab的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量讲一讲2(1)四边形ABCD中，若 ()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.尝试解答(1) acb.(2)法一：如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.法二：如图所示，在平面内任取一点O，

16、作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.答案：(1)A求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量练一练2如图，O为ABC内一点，a，b，c.求作：(1)bca；(2)abc.如图所示(2)由abca(bc)，如图，作OBEC，连接OE，连接AE，则a(bc)abc.讲一讲3如图，解答下列各题： 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)三点注意注意相

17、等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系；注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；注意在封闭图形中利用多边形法则练一练课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量2要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算，见讲1；(2)向量减法及其几何意义，见讲2；(3)利用已知向量表示未知向量，见讲3.3掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果课下能力提升(十五)学业水平达标练题组1向量的减

18、法运算1已知非零向量a与b同向，则ab()A必定与a同向B必定与b同向C必定与a是平行向量D与b不可能是平行向量解析：选C若|a|b|，则ab与a同向，若|a|b|，则ab与b同向，若|a|b|，则ab0，方向任意，且与任意向量共线故A，B，D皆错，故选C.3给出下面四个式子，其中结果为0的是()A BC D题组2向量减法及其几何意义4若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()解析：选B由减法法则知B正确A3，8 B(3，8)C3，13 D(3，13)6如图，在正六边形ABCDEF中，()7已知菱形ABCD边长都是2，求向量的模题组3利用已知向量表示未知向量8如图，向量，则向量可

19、以表示为()Aabc BabcCbac Dbac解析：选Cbac.故选C.9已知一点O到ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()AabcBabcCabc Dabc解析：选B如图，点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有abc.10如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中b，c，则等于_解析：bc.答案：bc11如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且a，b，c，试用a，b，c表示向量 能力提升综合练1有下列不等式或等式：|a|b|<|ab|<|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|

20、b|ab|<|a|b|；|a|b|<|ab|a|b|.其中，一定不成立的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选A当a与b不共线时成立；当ab0，或b0，a0时成立；当a与b共线，方向相反，且|a|b|时成立；当a与b共线，且方向相同时成立2如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A8 B4 C2 D14平面上有三点A，B，C，设若m，n的长度恰好相等，则有()AA，B，C三点必在同一直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B90°DABC必为等腰直角三角形解析：选C由|m|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且ABC中B为直角

21、答案：6设平面向量a1，a2，a3满足a1a2a30，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i1，2，3，则b1b2b3_解析：将ai顺时针旋转30°后得ai，则a1a2a30.又bi与ai同向，且|bi|2|ai|，b1b2b30.答案：07设O是ABC内一点，且，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，又四边形ODHC为平行四边形，8已知O为四边形ABCD所在平面外一点，且向量、满足等式.作

22、图并观察四边形ABCD的形状，并证明解：通过作图(如图)可以发现四边形ABCD为平行四边形证明如下：，AB綊DC，四边形ABCD为平行四边形第3课时向量数乘运算及其几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P87P90的内容，回答下列问题(1)已知非零向量a，根据向量的加法，作出aaa和(a)(a)(a)，你认为它们与a有什么关系？提示：aaa3a的长度是a长度的3倍，且方向相同；(a)(a)(a)3a的长度是a长度的3倍，且方向相反(2)a与a(0，a0)的方向、长度之间有什么关系？提示：当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反，且a的长度是a长度的|倍(3)若ab，则

23、a与b共线吗？提示：共线2归纳总结，核心必记(1)向量数乘运算一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；a(a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00(2)向量数乘的运算律设，为实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab特别地，()a(a)(a)，(ab)ab(3)共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.(4)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a±2b)1a±2b问题思考(1)向量与实数可以求积，那

24、么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以，向量与实数不能进行加减运算，如a，2b无法运算(2)数乘向量与实数的乘积等同吗？提示：不等同数乘向量的结果仍然是一个向量，既有大小又有方向实数相乘运算的结果是一个实数，只有大小没有方向(3)0时，a0；a0时，a0，这两种说法正确吗？提示：不正确，a0中的“0”应写为“0”课前反思(1)向量数乘的概念：；(2)向量数乘的运算律：；(3)共线向量定理：；(4)向量的线性运算：思考向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？名师指津：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号共线向量可以“合并同类项”“提取公

25、因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数讲一讲1化简下列各式：(1)3(6ab)9； (2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.尝试解答(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用

26、运算律，简化运算练一练1设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)解：原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.讲一讲2.已知在ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点若，试用e1，e2表示尝试解答M，N分别是DC，BC的中点，MN綊BD.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示，其实质是向量线性运算的反复应用练一练2.如图所示，四边形OADB是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a，b表示思考1如何证明向量a与b共线？名师指津：要

27、证向量a与b共线，只需证明存在实数，使得ba(a0)即可思考2如何证明A，B，C三点在同一条直线上？名师指津：讲一讲3(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求xy的值 AB与BD有交点B，A，B，D三点共线(2)由于A，B，P三点共线，所以向量在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数使故x1，y，即xy1.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两

28、条直线重合例如，若向量，则共线，又有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法练一练3如图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DMCD，延长BE至N使BEEN，求证：M，A，N三点共线证明：D为MC的中点，且D为AB的中点，M，A，N三点共线课堂归纳·感悟提升1本节课的重点是向量的数乘运算及共线向量定理，难点是共线向量定理的应用2掌握与向量数乘运算有关的三个问题(1)向量的线性运算，见讲1；(2)用已知向量表示未知向量，见讲2；(3)共线向量定理及应用，见讲3.3本节课的易错点当A、B、C、D四点共线时，共线；反之不一定成立4要掌握用已知

29、向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程5注意以下结论的运用(1)以AB，AD为邻边作ABCD，且则对角线所对应的向量ab，ab.课下能力提升(十六)学业水平达标练题组1向量的线性运算1.等于()A2ab B2baCba Dab解析：选B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.2已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.A BC D解析：选B和属于数乘对向量与实

30、数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误题组2用已知向量表示未知向量Arpq Brp2qCrpq Drq2ppq.4在ABC中，点P是AB上一点，且则t的值为()A. B. C. D.5如图所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b表示)b(ab)ba(ba)答案：(ba)6如图所示，已知ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且e1，e2，试用e1，e2表示2×得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)e2e1，同理得y(2e1e2)，即e1e2.题组3共线向量定理的应用7对于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共线的有()ABC D解析：选A对于，ab