大学数学期末考试复习题及参考答案(三套) - 百度文库

1、大学数学期末考试复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是.（）A.2ln)(,ln2)(xxgxxf=B.0)(,1)(xxgxf=C.1)(,11)(2-=-+=xxgxxxfD.2)(|,|)(xxgxxf=2.下列函数中为奇函数的是.（）.A.)1ln()(2+=xxxfB.|)(xexf=C.xxfcos)(=D.1sin)1()(2-=xxxxf3.极限+22221limnnnnnL的值为.（）A0B1C21D4.极限xxxxsinlim+的值为.（）A0B1C2D5.当0x时，下列各项中与23x为等价无穷小的是.（）A)1(3-xexBxcos1-Cxxsintan-D)1

2、ln(x+6.设12)(-=xxf，则当0x时，有.（）.A)(xf与x是等价无穷小B)(xf与x同阶但非等价无穷小C)(xf是比x高阶的无穷小D)(xf是比x低阶的无穷小7.函数)(xf在点x0可导是)(xf在点x0连续的_条件.（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8.设函数-=0,0,1sin)(2xxaxxxxf在点0=x处连续，则=a.三、解答与证明题20.求下列数列极限（1）+)1(1321211limnnnL（2）)12(lim+-+nnnn（3）+nnnnnnnn22221limL（4）nnnnx10.21lim+21.求下列函数极限（1）15723lim

3、2323+-xxxxx（2）134lim22+xxx（3）503020)12()23()32(lim+-xxxx（4）11lim31-xxx（5）28lim32-xxx（6）)1311(lim31xxx-（7）)1(limxxx-+（8）xxxxln)1(lim1-（9）xxxsinlnlim0（10）xxx3sin2sinlim0（11）30sintanlimxxxx-（12）xxx10)51(lim-22.若432lim23=-+-xaxxx，求a的值.23.若已知411lim21=-+xbaxx，求a,b值.24.当a取何值时，函数)(xf在x=0处连续：（1）+-+=0),cos(0,

4、11)(xxaxxxxf.25.证明（1）方程01423=+-xx在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程xex3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(xf在点0x可导，则=-+hxfhxfh)()2(lim000()（A）)(0xf-；(B)(0xf；(C)(20xf；(D)(20xf-2、设函数)(xf是可导函数，且13)1()1(lim0-=-xxffx，则曲线)(xfy=在点)1(,1(f处切线的斜率是()(A)3；(B)1-；(C)13；(D)3-3、设)()()(xaxxfj-=，其中)(xj在ax=处连续，则)(af=()(A)(aj；(B)0；(C)a；

5、(D)(aaj4、若0x为函数)(xf的极值点，则()(A)0)(0=xf；(B)0)(0xf；(C)0)(0=xf或不存在；(D)(0xf不存在5、设)0)(1ln(+=aaxy，则y=()(A)22)1(axa+；(B)2)1(axa+；(C)22)1(axa+-；(D)2)1(axa+-6、由方程5ln=-yxey确定的隐函数)(xyy=的导数=dxdy()(A)1-yyxee；(B)yyxee-1；(C)yyexe-1；(D)yyexe1-7、)2sinsin(limxxxxx+()(A)2；(B)1；(C)3；(D)极限不存在8、设xxy=)0(x则=y()(A)xx；(B)xxxl

6、n；(C)1-xx；(D)1(ln+xxx9、曲线xysin1+=在点)1,0(处的切线方程是()(A)01=-yx(B)01=+-yx(C)01=+yx(D)01=-+yx10下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是()(A)2(),0,3fxxx=(B)21(),1,1fxxx=-(C)(),1,1fxxx=-(D)()3,0,3fxxxx=-二、填空题11、设xxy2sin2+=，则=dy12、已知xxynln)3(=-，(Nnn,3)，则)(ny13、已知过曲线24yx=-上点P的切线平行于直线xy=，则切点P的坐标为.14.已知2)1(=f，则=-+-2)1()(lim31xxfxfx

7、.15.设xay=(0a且1a),则=)(ny.16.曲线3)1(-=xy的拐点是17.设函数)(xf在0x处可导，则xxxfxxfxDD-D+D)()(lim000=18.设+a)确定的函数为)(xyy=，则=dxdy.三、解答与证明题21.设exxey+=，求y22.求下列函数的二阶导数.(1)设xeyxsin=，求y.(2)设1arctan1xyx-=+，求y23.求曲线21xy=在点（4，2）处的切线方程和法线方程24.讨论下列函数在点0=x处的连续性和可导性：（1）00)1ln()(=xxxxxxf25.求由方程lnxyxyxe-=所确定的隐函数y的导数dxdy26.求极限：（1）1

8、)1ln(1lim0xxx-+；（2）30sintanlimxxxx-；（3）)arctan2(limxxx-+p；（4）xxx+0lim；（5）)1sin1(lim0xxx-；（6）200sinlimxdttxx27.设函数)(xyy=由参数方程-=+=ttytxarctan)1ln(2所确定，求22dxyd28.求函数23()(4)(1)fxxx=-+的单调区间、极值.29.求函数32332yxxx=-+的凹凸区间、拐点30.已知点)3,1(为曲线1423+=bxaxxy的拐点.(1)求ba,的值；(2)求函数1423+=bxaxxy的极值.31.设11xyx-=+，求()ny32设ba0

9、，证明：ababbaa-当时,存在且()fx单调增加，证明：当0x时函数()fxx单调增加.34.证明：当0x时，xxxx+时,有1xxxexe-成立.第三章一、选择题：1下列凑微分正确的一个是（）A)2(sincosxdxdx=；B.)11(arctan2xdxdx+=C)1(lnxdxdx=D.)1(12xddxx-=2若+=,)(cxdxxf则-dxxf)32(=（）A2-3x+c；B.cx+-31；C.x+c；D.cx+-2)32(213在以下等式中，正确的一个是（）A=)()(xfdxxfB.=)()(xfdxxfC=)()(xfdxxfdD.=)()(xfdxxf4.设xxf3si

10、n)(=，则dxxf)(是（）Acos3x；B.cos3x+c；C.cx+-3cos31；D.2193sincxcx+-5.若,0(),0xxxfxex=，则21()dfxx-=（）.A.13e-B.13e-+C.3e-D.3e+6.下列定积分是负数的是（）（A）dxx20sinp(B)dxx20cosp(C)dxxpp2sin(D)dxxpp2cos7.若4)12(1=+dxxa，则a=()(A)3(B)2(C)0(D)48.若-=031dxekx，则k=()(A)31(B)-31(C)3(D)-39.=+)1(212xdtttdxd（）（A）xx+12(B)212-+xx(C)241xx+

11、(D)2512xx+10.若,21)(21)(0-=xfdttfx且1)0(=f，则=)(xf（）(A)2xe(B)xe21(C)xe2(D)xe221二、填空题：1xdxdx3(arcsin_312=-）.2=+_912dxx.3若+=,3cos)(cxdxxf则f（x）=.4.=_)()(22dxxfxxf.5.F(x)=dttx+223,则=)1(F_.6.极限020cosdlimxxttx=；7.23423sin1xexdxxx-+=8设()fx连续，(0)1f=，则曲线0()dxyfxx=在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、25()xxdxx-2、-+322xxdx3、+dx

12、xx214、422331.1xxdxx+5、cos2.cossinxdxxx-6、dxxx-427、-+211xdx8、xdxxarctan29、3211d1xxx+10、10deexxx-+11、10arctand(1)xxxx+12、22()edxxxx-+；1340d1cos2xxxp+；14.41lndxxx；15.01dlnxxx+16.22030sindlimxxttx；17.求曲线xxeyey-=,及直线1=x所围成的平面图形的面积.18.求由曲线)cos2(2q+=ar所围图形的面积19.由曲线2yx=和2xy=所围成的图形绕y轴旋转后所得旋转体体积.20.计算曲线)3(31x

13、xy-=上相应于31x的一段弧的弧长大学数学期末考试复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、3,0(11、)1,1-12、xx21+13、)23(2353-+=xxxy14、015、116、217、-118、e19、0三、解答与证明题20（1）+)1(1321211limnnnL)1113121211(lim+-+-+-=nnnL1)111(lim=+-=nn.（2）2111211lim12lim)12(lim=+=+=+-+nnnnnnnnnnn.（3）因为1212222222+nnnnnnnnnnnnL，而11limlim2222

14、=+=+nnnnnnn，所以121lim222=+nnnnnnnnL.（4）因为nnnnnnnnnnn101010.101010.211010=+=，110lim10lim1=nnnn，故1010.21lim=+nnnnn.21（1）15723lim2323+-xxxxx33115723limxxxxx+-=53=.（2）331341lim134lim2222=+=+xxxxxx.（3）503020)12()23()32(lim+-xxxx503020122332lim+-=xxxx503020)02()03()02(+-=3023=.（4）11lim31-xxx1)1)(1(lim33323

15、1-+-=xxxxx3)1(lim3321=+=xxx.（5）12)42(lim28lim2232=+=-xxxxxx.（6）112lim131lim)1311(lim2132131-=+-=-+=-xxxxxxxxxxx.（7）)1(limxxx-+011lim=+=+xxx.（8）11)1(limln)1(lim11=-=-xxxxxxxx.（9）0sinlimlnsinlnlim00=xxxxxx.（10）xxx3sin2sinlim03232lim32lim00=xxxx.（11）30sintanlimxxxx-30)cos1(tanlimxxxx-=3202limxxxx=21=.（

16、12）xxx10)51(lim-xt51-=ttt511lim-+511lim-+=ttt5-=e.22解由题意知0)2(lim23=+-axxx，即06232=+-a，从而3-=a.23解因1x时,012-x,而函数极限存在,则)1(0+xbax即0lim1=+baxx从而01=+ba（1）故原式=)1)(1)(1(1lim11lim121aaxxxxxaaxxx+-=-+-+aaaxxx+=+=141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-=ba.24解（1）因为axaxfxx=+=+)(lim)(lim00，1lim)(lim00=-xxxexf，而,)0

17、(af=故要使)(lim0xfx-)(lim0xfx+=)0(f=，须且只须1=a.所以当且仅当1=a时，函数)(xf在0=x处连续（2）因为21111lim11lim)(lim000=+=-+=+xxxxfxxx，axaxfxxcos)cos(lim)(lim00=+=-，而,cos)0(af=故要使)(lim0xfx-)(lim0xfx+=)0(f=，须且只须21cos=a，即32pp=ka)(Zk.所以当且仅当32pp=ka)(Zk时，函数)(xf在0=x处连续25证（1）令14)(23+-=xxxf，则)(xf在0,1上连续，且,02)1(,01)0(=ff由零点定理知，),1,0($

18、x使,0)(=xf即01423=+-xx，所以方程01423=+-xx在(0,1)内至少有一个根.（2）设xexfx3)(-=，则)(xf在1,0上连续，且03)1(,01)0(=eff，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B10、D二、填空题11、dxxx)2cos2(2+12、21x-13、)415,21(-14、1215、nxaa)(ln16、(1,0)17、)(20xf18、119、),31(+20、ttcos1sin-.三、解答与证明题21、解：1-+=exexey22、解：(1)(sincos)xyexx

19、=+，(sincos)(cossin)2cosxxxyexxexxex=+-=(2)2111111xyxxx-=+-+()()2222(1)1(1)(1)(1)1xxxxxx-+-+=+-22212(1)(1)xx-=+()1211yx-=-+()()22222121xxxx-=+=+23、解：2121-=xy，所以4121)4(421=-xxy，所以切线方程为)4(412-=-xy，法线方程为)4(42-=-xy24、解：（1）因为0)(lim0=+xfx，0)(lim0=-xfx，所以，0)(lim0=xfx且0)0(=f，因此，函数在0=x处连续100lim0)0()(lim)0(00=

20、-=-=+xxxfxffxx，100)1ln(lim0)0()(lim)0(00=-+=-=+-xxxfxffxx，所以函数在0=x处可导（2）因为0)(lim0=+xfx，0)(lim0=-xfx，所以，0)(lim0=xfx且0)0(=f，因此，函数在0=x处连续01sinlim001sinlim0)0()(lim)0(0200=-=-=+xxxxxxfxffxxx，100tanlim0)0()(lim)0(00=-=-=-xxxfxffxx，所以函数在0=x处不可导25、解：两边同时对x求导得，11ln()xyyxyeyxyx-=+，所以，1lnxyxyyyexyxxe-=+26、解：（

21、1）原式)1ln()1ln(lim0xxxxx+-20)1ln(limxxxx+-xxx2111lim0+-)1(21lim0xx+21（2）30sintanlimxxxx-=30)1cos1(sinlimxxxx-=xxxxxcos)cos1(sinlim30-121lim320=xxxx=21（3）)arctan2(limxxx-+pxxx1)arctan2(lim-=+p22111limxxx-+-=+11lim22=+=+xxx.（4）xxx+0lim=xxxxxxeelnlimln00lim+=，0lnlim0=+xxx，所以原极限10=e（5）)1sin1(lim0xxx-xxxx

22、xsinsinlim0-=20sinlimxxxx-=xxx2cos1lim0-=2sinlim0xx=0=（6）200sinlimxdttxx=xxx2sinlim0=2127、解：22111221dydytdttdxtdxdtt-+=+,22221()12241ddydytdtdxdxtdxtdtt+=+.28、解：函数定义域为),(+-.35(1)()3(1)xfxx-=+，令()0fx=，得驻点1=x，1x=-为不可导点.x(,1)-1（-1，1）1(1,)(xf+不可导-0+)(xf0334-由上表可以看出，函数在),1(),1,(+-上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在

23、1-=x处取得极大值0)1(=-f，在1=x处取得极小值343)1(-=f，29、解：函数定义域为),(+-.2363yxx=-+,666(1)yxx=-=-，令0y=,得x=1.当1x时，0y；当1x时，0y，所以函数的拐点为（1，3），在（-，1）上是凸的；在（1，+）上是凹的30、解：(1)baxxy+=232,axy26+=.由条件，有+=+=aba2601413，解得9,3-=-=ba.(2)149323+-=xxxy，函数定义域为),(+-.)3)(1(3963)(2-+=-=xxxxxf，)1(666)(-=-=xxxf.令0)(=xf，得稳定点11-=x，32=x.又012)1

24、(=f故149323+-=xxxy在点1-=x处取极大值，极大值为19)1(=-f，在点3=x处取极小值，极小值为13)3(-=f.31.解：122111xyxx-+=-+()2121(1)yx=-+，()()()312121yx=-+()()()41212(3)1yx=-+()ny()()1121!1nnnx+=-+32.证明：令xxfln)(=，则)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导.所以由Lagrange中值定理知，),(ba$x，使)()()(xfabafbf=-，即x1lnln=-abab.又由),(bax，故22211baab+x.即222lnlnbaaabab+-.33.证

25、明：1）令()(0)fxFxxx=()2()()(2)()xfxfxFxx-=2(0)0()()(0)fxfxfxfx=-2()()(0)xfxxfxxxx-时，()fx单调增加()(),()()0ffxfxfxx即故有()()0.(0,)fxFxx+即在单调增加34.证明：令)1ln()(uuf+=，则)(uf在,0x上满足Lagrange中值定理条件，故),0(x$x，使)0)()0()(-=-xffxfx，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+xxx，即x+=+1)1ln(xx.又由),0(xx，故xxxx+x11，即xxxx+)1ln(1.35.证明：令(),0,tftetx=

26、,()tfte=在0,x应用拉格朗日中值定理()00,0xeeexxx-=-xxe是单调增函数，0xeeex，故有1xxxexe-证毕第三章一、选择题1-5DCBDA6-10CBCDC二、填空题133211arctan33xC+3.-3sin3x4221()+C4fx5-26-1708yx=三、解答题1.5722252()=557xxdxxdxdxxxCx-=-+2.2111=23(3)(1)41311ln|43dxdxdxdxxxxxxxxCx=-+-+-+-=+3.22221(1)1=ln|1|+C1212xdxdxxxx+=+4.42232233113arctan.11xxdxxdxxxCxx+=+=+5.22cos2cossin(cossin)sincos.cossincossinxxxdxdxxxdxxxCxxxx-=+=-+-6.dxxx-42=cxx+-)2arccos24(tan227.-+211xdx=cxxx+-+-211arcsin8.xdxxarct