(教师)七年级下压轴题专题训练(1)北师大版

1、1 / 11七年级数学下学期试题七年级下压轴题专题训练11.如图，四边形 ABCD 中，AB 丄 BC , CD 丄 BC, E 为 BC 上一点，且 AB=CE , CD=BE .(1) 求证：/ AED=90 ;(2) 若 EN 平分/ AED 交 AD 于 N，试判断厶 BCN 的形状并证明；(3) 在(2)问的条件下，猜想： MBC 与四边形 ABCD 的面积有何数量关系？并说明理由.(1) 证明：TAB 丄 BC, CD 丄 BC ,/ ABE= / ECD=90 ,在 ABE 和厶 ECD 中，AB=CE / ABE= / ECD CD=BE , ABEECD ( SAS),/ A

2、EB= / EDC ,/ EDC+ / DEC=90 ,/ AEB+ / DEC=90 ,/ AED=90 ;(2) 解： BCN 为等腰直角三角形，证明： ABEECD ,AE=DE，/ BAE= / DEC,/ AED=90 , AED 为等腰直角三角形，/ EN 平分/ AED ,/ NED= / NAE=45 , EN 丄 AD ,/ BAN= / CEN , AN=EN ,在 BAN 和厶 CEN 中，AB=EC / BAN= / CEN AN=EN , BANCEN (SAS),NB=NC，/ ANB= / ENC ,/ ANB+ / BNE=90 ,/ ENC+ / BME=90

3、 , BNC 为等腰直角三角形；(3) 解：2SABNC=S 梯形 ABCD .理由如下： 作 NM 丄 BC ,AED 为等腰直角三角形，EN 平分/ AED ,N 点为 AD 的中点，/ AB 丄 BC, CD 丄 BC , NM 丄 BC,AB / CD / MN ,豆B2 / 11M 点为 BC 的中点，3 / 11 MN 为梯形 ABCD 的中位线，NE 丄 BC , SABNC=BC?NE?1/ 2,S 梯形 ABCD=BC ?NE , 2SABNC=S 梯形 ABCD .2. 已知 x, y 满足(x+2y) (x-2y) =-5(y-), 2x(y-1)+4(：x-1)=0 .

4、求( 1) (x-y ) J; (2) x 弓 +y 乳 x 月 y 目.解：( x+2y ) (x-2y ) =-5 (y2-6 /5 ),x4y4=-5y 1+6, x2+y2=6 ,/ 2x (y-1 ) +4 (1/ 2 x-1 ) =0, 2xy-2x+2x-4=0 , xy=2 ,(1)(x-y) 2=x2+y2-2xy=6-4=2 ;(2)x4+y4-x2y2= (x2+y2 ) 2-2x2y2-x2y2=(x2+y2)2-3x2y2=36-3 4424.3.如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，BC / AD , BC=8 , AD=20 , AB=DC=10，点 P 从 A 点

5、出发沿 AD 边向点 D 移动，点 Q 自 A 点出发沿 ATBTC 的路线移动，且 PQ/ DC,若 AP=x，梯形位于线段 PQ 右侧部分的面积 为 S.(1) 分别求出点 Q 位于 AB、BC 上时，S 与 x 之间函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)当线段 PQ 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分时， x的值是多少？(3) 在(2)的条件下，设线段 PQ 与梯形 ABCD 的中位线 EF 交于 0 点，那么 0E 与 OF 的长度有什么关系？借助备用图 2 说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l 经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？(

6、只要求说出条件，不需证明)解：(1)等腰梯形中，/ A= / D，因为 PQ/ DC,所以 QP=AQ ,当 x 12 时，S 梯形=SABP+S 平行四边形=48+ (x-12)X8,所以 SAAPQ= 1 3 x2(xw12) S 梯形=SAAPQ+S 平行四边形=48+(x-12)X8(12vx 20);(2) S 梯形=1 2( 8+20)X8=112 ,当线段 PQ 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分时，即 48+ (x-12 )?8=56 ,解之得，x=13 .(3) 如图所示，过点 B 作 BM / PQ,由(2)得，PD=7=OE，在 ABM 中，FN=1 2 AM=6 ,

7、 ON=PM=1，所以 OF=7=OE ./ 11研究发现，当直线 L 经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积.4.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1） 如图 a,若 AB / CD ,点 P 在 AB、 CD 外部， 则有/ B= / BOD ,又因/ / BPD+/ D，得/ BPD= / B-/ D .将点 P 移到 AB、CD 内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理 由；若不成立，则/ BPD、/ B、/ D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图 b 中，将直线 AB 绕点 B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点 Q,如图

8、c,则/ BPD、/ B、/D、/ BQD 之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图 d 中/A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F 的度数.5.已知点 C 为线段 AB 上一点， 分别以 AC、 BC 为边在线段 AB 同侧作 ACD 和厶 BCE， 且 CA=CD , CB=CE , / ACD=/ BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F,（1）如图 1，若/ ACD=60 ，则/ AFB=;如图 2，若/ACD=90 ，则/ AFB= ;如图 3，若/ ACD=120 ，则/ AFB=;（2） 如图 4，若/ ACD=a,则/ AFB=（用含a的式子表示）

9、.EBOD 是厶 POD 的外角，故/ BOD=5 / 11解：(1)如图 1, CA=CD，/ ACD=60 所以 ACD 是等边三角形/ CB=CE，/ ACD= / BCE=60 所以 ECB 是等边三角形/ AC=DC，/ ACE= / ACD+ / DCE，/ BCD= / BCE+ / DCE又/ ACD= / BCE/ ACE= / BCD/ AC=DC , CE=BC ACEDCB/ EAC= / BDC/ AFB 是厶 ADF 的外角/ AFB= / ADF+ / FAD= / ADC+ / CDB+ / FAD= / ADC+ / EAC+ / FAD= / ADC+ /

10、DAC=120 如图2,TAC=CD，/ ACE= / DCB=90 , EC=CB ACEDCB/ AEC= / DBC ,又/ FDE= / CDB，/ DCB=90 / EFD=90 / AFB=90 如图 3,vZACD=/BCE/ ACD- / DCE= / BCE- / DCE/ ACE= / DCB又 CA=CD , CE=CB ACEDCB/ EAC= / BDC/ BDC+ / FBA=180 -/ DCB=180 - (180-/ ACD ) =120/ FAB+ / FBA=120 / AFB=60 故填 120， 90， 60(2)VZACD= / BCE/ ACD+

11、/ DCE= / BCE+ / DCE/ ACE= / DCB/ CAE= / CDB/ DFA= / ACD /AFB=180-ZDFA=180-ZACD=180-a.6、如图 1 所示：AM/ DN AE、DE 分别平分ZMAD 和ZAND 并交于 E 点.过点 E 的直线分别交 AM DN 于 B、C.(1) 如图 2,当点 B、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD AB、CD 之间的存在的数量关系：(2)试证明你的猜想(3)若点 B、C 分别位于点 AD 的两侧时，试写岀 AD AB CD 之间的关系，并选择一个写岀证明过程。(3)证明:第一种情况：当点 B 位于点 A 左侧，点

12、 C 位于点 D 右侧时，DC=AD+AB.6、（1）AD=AB+CD证明：在AD 上截取AB=AF/BAE=/ FAEAE=AEABEAAFE-A/ABC=/ AFE / AB II CD/ ABC+/BCD=180 又J/AFE+/DFE=180 / DFE=/ C/ DE 平分/ ADC：/ ADEN CDE在厶FDE和厶CDE中/ DFE=/ C叫/ ADE=/ CDEDE=DEFDEA CDE- DF=CD AF+DF=AB+CD即 AD=AB+CD图 2在 CD 上截取 DF=AD,连接 EF.D9 / 11/ DE 平分/ ADC/ADEN CDEDA=DF/DFEN EAM 又

13、J/BAE+ZEAM=180/DFE+ZCFE=180/BAE=ZCFE/ AM/ DN/ABC=ZBCD在厶 8人和厶 CFE 中ZBAE=ZCFEZABC=ZBCDEA=EFBAEACFEAB=FC/ DC=DF+FC- DC=AD+AB在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF / AE 平分ZBAD ZBAE=ZDAE在人。和厶 AEF 中AF=ADZBAE=ZDAE AE=AE在厶 BEF 和厶 CED 中厂ZBFE=ZEDCZABC=ZBCD第二种情况：当点B 位于点 A 右侧，点 C 位于点 D 左侧时,AB=AD+CD：AEFAAEDEF=ED ZAFE=ZADE/ DE 平分Z

14、AND/ADE=ZEDNAFE=ZEDN又TZAFE+ZBFE=180ZEDN+ZEDC=180 ZBFE=ZEDCTAM/ DNABC=ZBCD/ADE=ZCDEDE=DEEA=EF/DAE=ZDFE/ AE 平分/ DAM/DAEK EAMDE=EFBFEACDECD=BFJAB=AF+FB AB=AD+(D10 / 117、如图，在 Rt ABC 中，/ C=90, AC=BC 点 P 是斜边中点，将一个等腰直角三角板绕点P 旋转，三角板的两条直角边与 AC、BC 交于点 D、E,连结 PC.(1)求证：PC 平分/ ACB ;(2)_ 图中有个等腰直角三角形，分别吉_；(3)求证：PD

15、=PE(1) CP 平分/ ACB/ AB=AC，点 P 是斜边中点.CP 平分/ ACB(三线合一)(2) 3 个分别为 ： ABC APC BCP伯)TCP平分厶 ZDCPZECFyDCT=ZECP=4Efr/A3=AJCSZACESODCP=ZBAB=JiC点P是斜迦中点f-CP丄ABy/ ZDPE=9OQ：Z DPC+ZCFE= ZCFE+ZBFE -ZDPC=ZBPE丁AACF和ASCF都是等腰直駕三:形 氏=円在ADCP和虫EEP中ZDC?=ZECFPC=FBDPC-ZBPEASCPSSABBP (ASA) -ipp=PE11 / 118 如图，在ABC中，AD平分/BAC(1)若

16、AC=BCZB：/C=2 ： 1,试写岀图中的所有等腰三角形，并给予证明.(2)若A时BD= AC求/B：/C的比值.即/B：/C=2 : 1方法 2:延长 AB 到 E，使 AE=AC 连接 DE证明ADEAADC再类似证明得到/B=2/AED=/C利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将ACAB 或 AB + BD(ABC证明 1 分，ABDHADC的证明各 3 分，本小题共 7 分)等腰三角形有 3 个：ABCABDADC(只写岀没有任何证明，1 个给 1 分)证明： AC=BC/B=/BAC/B：/C=2:1/B+/BAG/C=180/B=/BAC=72，/C=36I/ BA=/DAC

17、=/BAC=36/B= /ADB=72 ,/DAC/C=36ABDHA ADC是等腰三角形(2)方法 1:在AC上截取AE=AB连接DE又/BAD/DAE AD=AD ABDAADE /AED/B， BD = DE/ AB+ BD= ACBD= ECDE=EC /B=/AED/EDC/C=2/C12 / 11转化成一条线段13 / 119、已知：如图， -丄；中，一 上二-I，匚丄-二于匚,53 平分_5 :,且二_丄于 E，与匚匚相交于点-匸：三是三边的中点，连结匚三与三三相交于点.1(1)求证：3F - 二；(2)求证：亡总二?;(3) 三与王-的大小关系如何？试证明你的结论.证明:亠_二

18、； 形-BD = CD在二 J. J 二禾 口二. 一 中,工ZDESFD ZDCAW-ZEFC且佔FD=MFC? ? -?/. DBF=ADCA又/ZBDF = CDA9Q BD = CD二RtZXZ）励坐DAC BF = AC(2)证明在 =：一三三-和?. r中T丄二 平分 王匚-是等腰直角三角14 / 11/. ZABE =ACBE.又BS=BErZBEABSC =9 ,(3)匸-证明：连结.rZ：=CZ.又片是兰二边的中点，匸三垂直平分兰二在丄D_中，是斜边，丁三是直角边，二工咗三三10、图中是一副三角板，45的三角板 RtDEF的直角顶点D恰好在 30的三角板 RtABC斜边AB的中点处，/A=30o，ZE= 45,/EDF=/ACB=0,DE交AC于 点G GML AB于M.(1)如图，当DF经过点C时，作CNLAB于N求证：AM=DN (2)如图，当DF/ AC时，DF交BC于H,作HNL AB于N,( 1 )的结论仍然成立，请你说明理由.证明：（1）v/A=