浅谈数学开放型试题的特点以及解法

1、浅谈数学开放型试题的特点以及解法扬中市西来桥学校何敏 摘要开放型试题，国外叫做“open-ended problem”，即开放结果的问题，对此国内的说法很多，归纳起来大致有下面四种：1.结论不唯一的题是开放型试题； 2. 条件不完备或结论不唯一的题是开放型试题； 3.条件不完备、解题策略多样、结论不唯一的题都是开放型试题； 4.解决方向不唯一的数学题是数学开放型试题。 开放性题一般具有以下特征：1不确定性;2探究性;3非完备性;4发散性;5层次性;6发展性;7创新性; 随着中考数学对考查数学思想方法及分析问题、 解决问题能力的要求的逐步提高，开放型问题受到中考命题者的青睐， 逐渐成为中考的热点

2、问题之一。 那么什么是数学开放型试题? 我们所谓的开放型试题，国外叫做“open-ended problem”，即开放结果的问题，对此国内的说法很多，归纳起来大致有下面四种： 1.结论不唯一的题是开放型试题； 2. 条件不完备或结论不唯一的题是开放型试题； 3.条件不完备、解题策略多样、结论不唯一的题都是开放型试题； 4.解决方向不唯一的数学题是数学开放型试题。 我认为，不应该狭义地去理解数学开放型试题，因为数学开放型试题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放型试题时，应该更多地考虑教学的因素。因此，我比较赞同第（4）种说法。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，它从数学和教

3、学两个方面来规定数学开放型试题。数学开放题较之以前的封闭性综合性更强，知识点覆盖面更广，已知条件更隐蔽，结论不直接给出，要人去猜想，要求学生通过观察，比较、分析、联想、概括、推理判断等一系列探索活动，逐步得出结论。例如，“已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是”这种类型的试题是给定结论来反探满足结论的条件，而满足的条件并不唯一，这类题目常以基础知识为背景巧妙设计而成的。主要考察学生基础知识的掌握程度和归纳能力，要求学生能进行发散性思维与归纳，从结构形式讲， 开放性题一般具有以下特征：1不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般

4、词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解的题目。 2探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。 3非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建。 4发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。5层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。 6发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。 7创新性：教师难以用注入

5、式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者。 开放型问题与常规问题相比，形式新颖， 解题过程具有较强的探索性和创造性，许多同学对这类题型感到无从下手， 下面就开放型试题的类型，通过例题讨论一下它的解题方法： 一、以“是否存在”、 “是否可能”等形式提问的双项选择性开放型问题，对于这类题型可先假设结论存在或成立， 进而作运算或推理，若推出矛盾，可否定假设；否则给出肯定的证明。 例，已知四点A(1,2) B(3,0) C(-2,20) D(-1,12)试问是否存在一个二次函数使它的图像同时经过这四个点？如果存在， 请求出它的解析式；如果不存在，请说明理由。 分

6、析：假设存在一个二次函数y=ax+bx+c(a0)过A、B、C 三点，不难求出a=1 b=-5 c=6，然后再判断点D是否在抛物线的图像上。 二、由题目提供的若干素材， 概括出一般结论的收敛性开放型问题。这类问题的主要特征是有条件而无结论， 解题的首要任务是探索结论，然后给出证明。 例，经过O内或O外一点P作两条直线交O于A、B和C、D四个点，得到了如图(1)-(6)所表示的六种不同情况。在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，请你首先写出这个式子，然后就如图(2)所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明。 分析：本题要求学生将课本中的

7、相交弦定理及其推论， 切割线定理及推论、切线长定理、 圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹等结论，抽象归纳为一个统一的结论。 三、由所列条件导出若干可能的正确结果的开放型问题。 此类问题应仔细分析已知条件， 思考哪些已知条件组合在一起可以产生新的结论。 例，如图AB是O的直径，O过AC的中点D，DEBC垂足为E，由这些条件你能推出哪些正确结论？ （要求：不在标注其它字母，找结论的过程中，所连辅助线不在结论中，不写推理过程， 写出四个结论） 分析：“AC=2AD”“CDE是直角三角形”分别是“D是AC 的中点”“DEBC于E”的另一种表示方式，而不属于所推出的结论。而应由RtCDE用图中的字母和线

8、段可表示出它的三条边、三个内角、两个补角之间的关系。又可连结BD，得CB:CD=CD:CE和EB:ED=ED: EC等等，但注意不能含有线段BD。 四、由需要的结论和部分已知条件， 补充使结果正确的条件的发散性开放型问题。此类问题可从结论出发逐步逆推寻求所需条件。 例，如图，已知ABC，D是AC边上一点，连结BD 满足什么条件时，ABCBDC。分析：ABC与BDC已有一个公共角C，还需再有一对角对应相等，或夹C的两边对应成比例。因而只需BDCABC或 CBDA或BCCD·CA即可。 例5， 已知梯形ABCD中，AB/CD，若添加一个条件如"BC=AD"，则可判定A

9、BCD为等腰梯形，请问除"BC=AD"外，还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD为等腰梯形?(至少写出两种) 分析：要使ABCD为等腰梯形，还可以添加"C= D" 或 " B=A"或"AC=BD"。 五、讨论型问题的特点是题设包含了多种可能的情形，导致探索的结果有多种可能的情形，解题的方法是分类讨论，关键是寻找“界点”。如果问题要求是判断某结论存在与否，那么问题的结果往往是在符合题设的某种情形下成立，而在另一些情形下不成立，这类问题是探索性问题和分类讨论问题的综合。 例6 ，如图一艘轮船以20海里/时的速度由西向东

10、航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属于台风区当轮船到A处时测得台风中心移动到位于点A的正南方向B处，且AB=100海里 若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间，若不会，请说明理由；解：(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t/小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t， AE=AB-BE=100-4t, EC=20 在RtAEC中，AC2+AE2=EC2，整理得t24t +3=0，=(4)24×1×3=40，途中会遇到台风解方程，得t1=1，t2=3最初遇到台风的时间为1小时 对任何一种问题归纳其类型总是不全面的，开放型问题除上述五种基本类型外，还有变更一个命题的部分结论后探索命题结论的变化或由某一结论去探索相应的条件等。但从解题方法上看，可归入上述五种类型。列举例题进行分析，只是想让读者便于领悟基本策略。同时，想通过例题分析说明解决开放型问题的某些特殊性，也说明探索思路