构造直角三角形解题

1、  构造直角三角形解题韩玉海在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。1、求线段长例1在四边形ABCD中，A=60°，B=90°，D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。解：延长AD、BC交于F，得RtABF和RtCDF，且F=30°。在RtABF中，由AB=2，F=30°得AF=2AB=4同理可得CF=2，DF=BC=BFCF=，AD=AFDF=4。2、求角的度数例2如图，在ABC中，ABC=45°，ACB=60°，D在AC的延

2、长线上，AB=CD。求CBD。解：作AEBC于E，连DE，在RtABE中，BE=AE，在RtAEC中，所以。则AB=而AB=，故CE=CD1=2=ACB=30°又EAC=30°，所以DE=AE=BE所以CBD=3=1=15°3、证线段倍分例3如图，B=90°，1=2=60°，C=45°，求证：CDBD=AB。证明：把ABD绕AD翻转到AB'D的位置，则B'D=BD，AB'=AB，B'=B=90o，2=3。由123=180°，知C、D、B'三点共线，故AB'C为等腰直角三角形，从

3、而有：CDB'D=AB'，CDBD=AB。4、证不等例4如图，在ABC中，BC>AC，AD、BE为高，求证：BCAD>ACBE。证明：由题意，在BC上取一点A'，使A'C=AC，作A'D'AC于D'，A'FBE于F，则四边形EFA'D'为矩形，得A'D'=FE又有RtA'D'CRtADC，于是A'D'=ADBA'=BCA'C=BCACBF=BEFE=BEA'D'=BEAD在RtA'BF中，BA'>BF，

4、即BCAC>BEADBCAD>ACBE.5、解三角问题例5求cot22.5°的值。解：构造如图所示的RtABC，则cot22.5°=6、解代数问题例6若a>3，求证：。证明：作出如图所示的RtABC，由BDAD>AB，得7、求最值例7若m、n、p为正实数，且，求：的最小值。解：构造如图所示的直角三角形，易知CDAE，即故的最小值为例8求的最小值。解：构造如图所示的RtPAC，RtPBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P，使PAPB的值最小”，取A点关于L的对称点A'，则有

5、：原式=PAPBA'B故的最小值是5。  更多精彩文章尽在扬州假日培训网！点击更多惊喜等着您！构造直角三角形解题山东省莱西市牛溪埠镇栾家寨中学 秦显平山东省莱西市教育局教研室 梁翠风在解决一些线段或角的数量关系问题时，根据已知图形的特征，可考虑构造直角三角形，以运用直角三角形的边角关系求解1等腰三角形问题例1如图1，D为等腰ABC的底边BC的延长线上的任意一点求证 AD2-AC2DB·DC证明 作AEBC于E，ABAC，BEEC根据勾股定理，有AD2-AC2(AE2+ED2)-(AE2+EC)2ED2-EC2(ED+EC)(ED-EC)DB·CD2面积问题

6、例2 如图2，已知ABC中，B60°，C75°，ABC的面积为解 作CDAB于D， B60°， A180°-60°-75°45°，解得 a2，故选C，3直角问题例3 如图3，在四边形ABCD中，ABBCCDDA2231，且B90°，求DAB的度数解 连结AC，设ADa，则ABBC2a，CD3a B90°，且ABBC，又 AC2+AD28a2+a29a2CD2， CAD为直角三角形且 CAD90°，BAD90°+45°135°例4 如图4，在四边形ABCD中，A60&

7、#176;，BD90°解 延长AB和DC相交于E，延长AD和BC相交于F，易知4三角函数问题例5 如图5，AD是ABC的中线，BAD，CAD，ADC证明 分别从B、C向AD或AD延长线作垂线，垂足为E、F在RtBED和RtCFD中，BDECDF，BDCD， BEDCFD， AE-AF2ED2BEctg而AEBEctg，AFCFctgBEctg，把它们都代入，化简即得，5勾股定理的逆定理问题 例6 如图6，已知P是正方形ABCD内的一点，且2BP2+AP2PC2求证APB135°分析 条件似乎很不够，可考虑用旋转，把PBC绕B点逆时针旋转90°得PBA，则PBPB，

8、PBP90°，PPB45°，且2BP2+AP2PB2+BP2+AP2PP2+AP2PC2PA2 APP90°，APB90°+45°135°6直径问题例7 如图7，圆内接四边形ABCD中，AC是O的直径，DAB60°，CD2，BC11求AC的长解 AC是O的直径，ADCB90°延长BC、AD交于E，则DCE为直角三角形B90°，DAB60°，E90°-60°30°，在RtCDE中E30°，EC2CD4，BEBC+EC11+415，例8 如图8，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内