教育部资通讯科技人才培育先导型计画

1、教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫通訊系統模擬通訊系統模擬 實習八實習八1實習三實習三 取樣取樣定理之模擬與分析定理之模擬與分析 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析2目的目的l 本實習主要分析並模擬取樣定理，進而了解取樣頻率的選擇如何影響取樣後訊號之重建。l 了解訊號取樣之疊化或稱膺頻(aliasing)現象。l 了解抗疊化(anti-aliasing)濾波器之作用。教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取

2、樣定理之模擬與分析3大綱大綱l 訊號取樣分析訊號取樣分析l 理想取樣理想取樣l 取樣訊號之重建取樣訊號之重建 l 訊號取樣實用上的考量訊號取樣實用上的考量l 自然取樣自然取樣 l 疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析4類比訊號之取樣與重建之問題思考類比訊號之取樣與重建之問題思考 l 類比訊號之取樣與重建(取樣定理)要探討兩個問題l 第一，類比訊號經過取樣是否可重建回原訊號?(如何重建?) l 第二，若可重建回原訊號，是否要考慮什麼條件? 教育部資通

3、訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析5在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序在時域圖解訊號之理想均勻取樣程序a)絕對可積分之類比訊號 )(txb)理想取樣函數 )(tpc)均勻取樣得到的離散時間訊號 相乘nsssnTtnTxtx)()()(教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析6訊號訊號理想理想均勻均勻取樣取樣l 將離散時間訊號xs(t)看成原來訊號x(t)乘上一理想取樣函數理想取樣函數(ideal sampling function)

4、p(t)，即可表示成 nssnTttxtptxtx)()()()()( 其中理想取樣函數p(t)是由週期 的脈衝訊號組成的週期訊號，實際上我們無法產生這種由週期脈衝序列組成的函數p(t)，因此p(t)取名為理想取樣函數，也因此本方式的取樣也稱為理想取樣理想取樣(ideal sampling)。 ssfT/1教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析7訊號訊號理想理想均勻均勻取樣取樣(續續) l 上述週期訊號p(t)可以用傅利葉級數表示成 l 改寫為,)(2ntnfjnsePtpsnTP/1tnfjnnssetxP

5、tptxtx2)()()()(l 由傅利葉轉換之頻移特性，即利用以下傅利葉轉換對： )()(2stfjffXetxs 可得到 的傅利葉轉換：( X( f )是原訊號x(t)的傅利葉轉換) )(txsnssnsnsnffXTnffXPfX)(1)()()(txs教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析8圖解圖解訊號之理想均勻取樣訊號之理想均勻取樣的傅利葉轉換 )(tx)(fX (a) 情況1： 時的頻譜msff2)(fXs教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理

6、之模擬與分析取樣定理之模擬與分析9圖解訊號之理想均勻取樣圖解訊號之理想均勻取樣(續續)(c) 情況3： 時的頻譜 msff2)(fXs (b) 情況2： 時的頻譜 msff2)(fXs頻譜有重疊現重疊現象象(aliasing)教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析10取樣定理取樣定理 取樣訊號之重建 l 整理前述分析可定義取樣定理(Sampling theorem)如下：l 一個有限頻寬訊號x(t)之頻寬為 fm ，今以取樣速率fs取樣此訊號，若取樣速率大於等於2 fm，則可利用理想低通濾波器由其取樣後之離散

7、時間訊號xs(t)重建回來。反之，取樣速率小於2 fm會造成取樣後之離散時間訊號的頻譜有重疊現象重疊現象(aliasing)，無法重建原訊號。取樣速率2 fm稱為奈式頻率奈式頻率(Nyquist rate)。教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析11取樣訊號之重建取樣訊號之重建 l 由取樣定理得知若以大於等於奈式頻率之取樣速率取樣有限頻 寬 之 類 比 訊 號 ， 其 取 樣 後 之 離 散 時 間 訊 號 可利用理想低通濾波器重建回取樣前之類比訊號，在頻域上看此問題非常容易了解，以下說明時域上取樣訊號如何以

8、內插法表示訊號重建的方法。)(tx)(txs教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析12取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續) l Xs( f )剛好是此週期性頻譜的傅利葉級數表示式 ，其係數為ssffnTjsssdfefXfnTx 0 2)(1)(l 假定用來重建原訊號之理想低通濾波器的頻率響應定義為else , 0| ,)(cutsffTfH理想低通濾波器的頻率響應 nfnTjsssenTxfX2)()(教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取

9、樣定理之模擬與分析13取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續) l 由取樣訊號之重整系統頻域分析可得濾波器之輸出為l 為了在時域表示重建的訊號，將X(f)作逆傅利葉轉換：else 0, ,)()()()(2mmnfnTjsssfffenTxTfXfHfXsdfeenTxTdfefXtxmmsffftjnfnTjssftj 22 2)()()(教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析14取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續) l 互換積分與加總運算可得l 將上式積分，再利用歐拉公式可得 mmsfffnTtjnssdfe

10、TnTxtx)(2)()()(2sinc)(2)(2)(2sin2)(2)()()(2)()()(2)(2)(2snmsmsnsmsmmssnfnTtjfnTtjsssffnfnTtjsssTntfnTxfTnTtfnTtffTnTxjeenTtTnTxenTtjTnTxtxmsmsmms教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析15取樣訊號之重建取樣訊號之重建(續續) l 簡化上式為)2(sinc)()(nmsntfnTxtxl 經上述推導，可得到取樣後訊號以理想低通濾波器重建原訊號在時域上的表示法。觀察此式可

11、知原訊號是由取樣序列 分別乘上對應之 再加總得到，因此取樣點之間的訊號是由這種方式重建，換句話說，上式是重建訊號的一種內插內插公式公式(interpolation formula)，因此函數 也稱為內內插函數插函數(interpolating function)。 )(snTx)2(sincntfm教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析16取樣訊號之重建取樣訊號之重建(時域表示時域表示) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分

12、析17自然取樣自然取樣 l 右圖(b)所示一振幅為A、波寬為T且週期為Ts的週期訊號 ，此週期訊號 可以用傅利葉級數表示成 )(tkntnfjnseKtk2)(a) 絕對可積分之類比訊號 (b)自然取樣函數k(t) )(tx教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析18自然取樣自然取樣(續續) l 取樣後的離散時間訊號xs(t)，其表示式為 tnfjnnssetxKtktxtx2)()()()(c) 均勻自然取樣得到的離散時間訊號xs(t) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實

13、習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析19自然取樣自然取樣(續續) l xs(t)的傅利葉轉換nsnsnffXKfX)()(l 傅利葉級數之係數 可表示為 nK)(sincssnTnTTTAK l 最後可將均勻自然取樣得到的離散時間訊號之傅利葉轉換寫成 nssssnffXTnTTTAfX)()(sinc)(教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析20訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖 l 一限頻訊號經自然取樣後的離散時間訊號可以利用低通濾波器加以還原，但仍要滿足取

14、樣速率要大於等於原訊號頻寬的兩倍的條件。 訊號均勻自然取樣程序在頻域之示意圖( fs 2 fm ) 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析21疊化誤差與訊號取樣實用上的考量疊化誤差與訊號取樣實用上的考量 l 在分析取樣定理時我們先假設欲取樣之類比訊號必須是一限頻訊號，從分析結果我們也發現若原類比訊號頻寬無限大，那麼不管取樣速率多快一定發生疊化現象，以致於無法重建原類比訊號。l 實際上產生或處理之類比訊號一定有起始點及結束點，也就是說實用上的訊號在時域上一定是有限區間，此種情況下，其頻譜分佈一定無法在有限頻寬內，也就是說實際情況下取樣訊號之頻譜一定會產生疊化現象， 教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 實習八實習八 取樣定理之模擬與分析取樣定理之模擬與分析22抗疊