浅埋隧道围岩应力场的计算复变函数求解法

1、第31卷增刊1 岩 土 力 学 Vol.31 Supp.1 2010年8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2010收稿日期：2010-04-23基金项目：云南省应用基础研究计划项目（No. KKSA200806040）。第一作者简介：王志良，男，1982年生，博士研究生，主要从事岩土工程与地下结构的研究工作。E-mail: wangzhiliangtj文章编号：10007598 (2010 增刊1008605浅埋隧道围岩应力场的计算复变函数求解法王志良1，申林方2，姚 激3，高成杰4（1. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2. 中国科学院武汉岩土力学

2、研究所，武汉 430071；3. 昆明理工大学 工程力学系，昆明 650024；4. 北京市环境保护科学研究院，北京 100037）摘 要：对于受地表边界和地面荷载影响的浅埋隧道的围岩应力场，由于在数学处理上存在一定的困难，很难用解析解来进行分析，而通常采用边界元或有限元的数值方法来解答。为了求解浅埋隧道的应力场，采用边界配点来确定边界条件，同时用保角映射将一个含圆孔的半无限空间区域映射为圆环域，然后把这个区域内的解析函数展开成Laurent 级数的形式，利用Muskhelishvili 的复变函数理论和最小二乘法来确定解析函数的各项系数，从而求得浅埋隧道围岩压力的半数值、半解析解，最后通过算

3、例给出了围岩应力的分布情况。计算结果表明，该方法计算精度高、计算量小，具有应用价值。 关 键 词：保角映射；复变函数；浅埋隧道；半数值半解析解；计算复变函数法 中图分类号：U 451 文献标识码：ACalculation of stress field in surrounding rocks of shallow tunnel using computational function of complex variable methodWANG Zhi-liang1, SHEN Lin-fang 2, YAO Ji 3, GAO Cheng-jie 4(1. Department of Ge

4、otechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Wuhan 430071, China;3. Department of Engineering Mechanics, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650024, China;4. Beijing Municipal Research Insti

5、tute of Environmental Protection, Beijing 100037, ChinaAbstract: Due to the influence of surface boundary and ground loads, the analysis of surrounding rocks of shallow tunnel is difficult by mathematic method. The analytic solution is too difficulty to obtain, so many solutions were obtained by usi

6、ng boundary element method or finite element method. In order to obtain stress field in surrounding rocks of shallow tunnel, the boundary condition is determined by setting finite points; the considered region in the physical plane is mapped to a circular ring region in the image plane by using the

7、complex conformal transformation; and then the analytic functions are expanded into Laurent series; the Laurent series coefficients is obtained by using the function of complex variable method founded by Muskhelishvili and the least square method. The semi-analytical and semi-numerical solution of s

8、hallow tunnels stress field could be obtained by putting the Laurent Series coefficients into equation. Finally, the stress of surrounding rocks is depicted through an example. The results show that the computational function of complex variable method is precise, efficient and applicable.Key words:

9、 conformal mapping; function of complex variable; shallow tunnel; the semi-analytical and semi-numerical solution; computational function of complex variable method1 引 言隧道围岩应力分析作为隧道设计的一个重要内容，已取得了不少的研究成果12。但这些研究成果主要集中在深埋隧道上，也就是将围岩视为无限岩土介质，忽略了地表边界条件和地表局部荷载条件限制。随着近些年城市轨道交通的兴起，这些因素对浅埋隧道的影响日益显著。围岩应力受外界条件

10、的影响非常明显，与深埋隧道相比，其变化也更复杂，目前相应的研究成果也较少。由于浅埋隧道的边界条件在数学处理上存在一定的困难，因此，主要采用边界元3和有限元4等数值方法进行计算，这些方法一般计算量较大。对于解析解方面，房营光等5利用对称性原理和Laplace 变换，把围岩增刊1 王志良等：浅埋隧道围岩应力场的计算复变函数求解法应力表达为多个局部坐标中的级数之和，并由加法公式进一步把它们变换为某个局部坐标中的双重级数，以满足其边界条件，计算过程相当复杂，不便于在工程设计中采用。陆文超等6利用复变函数保角变换将物理平面上的研究域映射到像平面上的圆环域内，将复势函数进行罗伦级数展开，利用边界条件得到罗

11、伦级数展开系数的递推公式，并由复势函数确定应力分量和位移分量。由于解析解自身的缺点，对于复杂的边界条件求解困难，因此，其应用范围受到了一定的限制。计算复变函数法是在复变函数法的基础上，通过在边界上配点来满足所求问题的边界条件，进而求得该问题的解。该方法既能利用解析解的成果，又能利用数值计算方法的灵活性。荆振华7以集中荷载作用在无限平面内任意点（虚拟点）的复变函数作为影响函数，在边界上配点并计算出若干虚拟点上的影响函数值，通过影响函数叠加求得了域内的应力场和位移场。王林江等8将多保角变换复变函数理论与边界配点的最小二乘法相结合，提出了弹性力学中的计算复变函数的概念，并以此为基础计算得到了含有任意

12、多个椭圆孔（包含裂纹）复合材料板的应力场。本文利用计算复变函数法进行了地面荷载作用下浅埋隧道围岩的应力分析，进而获得该问题的弹性应力场。2 问题的描述本文主要分析在地面荷载作用下浅埋隧道的围岩应力场，如图1所示。该问题可视为任意分布荷载作用下，求解半无限平面附近孔洞应力分布的平面应变问题。 图1 地面荷载作用下的浅埋隧道示意图 Fig.1 Shallow tunnel under ground load3 分析方法3.1 基本方程根据弹性力学中的复变函数方法，平面问题的解可以表示为在区域R （除去孔洞的半平面0y <）内处处解析的复势函数( z 和( z 。其面内应力分量与2个复势函数(

13、 z 和( z 的关系如下：4Re (2i 2'( ( y x y x xy z z z z +=+=+（1）则有：Re 2( ( ( Re 2( ( ( Im ( ( x y xy z z z z z z z z z =+=+ （2）对上式进行变换，去掉实部和虚部符号可得12( ( ( 22( '( 12( ( ( 22( ( 1( ( 2i x y xy z z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+（3） 3.2 保角映射在平面，图2给出了半无限空间孔洞保角映射后的区域。图中斜线标出部分为区域，是图1中R 区域经保角映射后的区域，其保角映射公式为

14、211( i 11z h=+ （4） 式中：h 为孔洞中心深度；为由rh决定的参数，221r h =+；r 为空洞半径。图2 保角映射后的区域图Fig.2 The region after conformal mapping87岩 土 力 学 2010年( z 和( z 在R 区域内是解析函数，因此，导数( z 和( z 也为解析函数。令1( ( z z =， 1( ( z z =。因此，由复变函数的理论可知：(111111( ( ( ( z z =（5）式（5）为解析函数。因此，在环域内，(1、(1可以用罗伦级数来展开：11( , ( nn n n n n a b = （6）同时，有：( (

15、z = （7）将式（6）、式（7）代入式（3），即可得到如下的应力函数表达式：12( 2( 2( ( 122( 2( n n n n x n n n n n n n n nn n n y n n n n n n n n xy a a b a b a a b a +=+=+12i ( ( ( n n n n n n n a a +=+（8） 在实际计算中，式（8）中的n 最大取有限值P ，最小取Q ，通常P Q 。具体取值根据具体情况及所要取的精度而定。 3.3 边界条件由弹性力学的知识可知，应力的边界条件如下：x xy x xy y y l m p l m p +=+=（9）式中：l 、m 分

16、别为外法线方向的余弦值和正弦值；x p 、y p 为外荷载应力分量。在z 平面的边界上设置总数N 个点，并求出相应外法线方向的夹角，再通过公式1( z =将各点映射平面上，然后把各映射点代入式（8）求得各点的应力值，最后将应力值代入边界条件式（9），因此，每一个所选取的点均可以得到一对复系数的线性方程组，将各个点所得到的线性方程组汇总用矩阵表示为b b M D = （10）式中：b M 为24(1 N P Q ×+阶系数矩阵；为由n a 、n b 、n a 、n b 组成的4(1 P Q +阶列阵。b D 为由外荷载应力分量组成的(1 P Q +阶列阵。当边界条件确定后，对于复函数1

17、( z 和1( z 须设置适当的补充条件后，才能够唯一确定9。对于本文所求解的应力边界条件问题，补充0Im( a =0，即000a =，应力函数便能够唯一确定，将其作为补充条件表示为矩阵形式：f f M D = （11）将式（10）、式（11）进行合并，可得M D = （12）式中：M 为(21 4(1 N P Q +×+阶系数矩阵；D 为4(1 P Q +阶列阵。3.4 求解应力场在选择级数项数和边界配点数目时还须注意M 应为一高阵，即满足(21 4(1 N P Q +>+，把矩阵M 进行奇异值分解，得其广义逆矩阵1M ，因而，可以求得式（12）的最小二乘解为1M D = （

18、13）在确定了n a 、n b 及其共轭复数之后，把它们代入式（12），计算边界点上的应力值，将计算应力值与边界条件进行对比来判断计算结果的准确性和精确度。为了更好地满足边界条件，可以适当地调整P 、Q 值，使应力在边界点上达到最佳效果。最后，将所求得的n a 、n b 及其的共轭复数代入式（8），即可得到应力函数表达式。对于孔边的周向、法向正应力及剪应力可以通过下式进行坐标变换10求得88增刊1 王志良等：浅埋隧道围岩应力场的计算复变函数求解法1/2( 1/2(cos 2sin 21/2( 1/2(cos 2sin 2 1/2(sin 2cos 2x y x y xy x y x y xy

19、x y xy =+=+=+（14） 4 算 例计算模型如图3所示，隧道半径r =3.1 m，隧道中心埋深h =12 m，作用荷载情况见图3。为了有效地控制荷载边界条件，在有荷载作用的0y =及 50y = m 的边界上选取121个点，在x =50 m及x =50 m的边界上各选取26个点。计算结果如图47所示。其中图46分别为当在90°90°范围内变化时隧道围岩应力x 、y 、xy 的分布情况。图7为=0°时，y 沿x 方向的变化情况。 图3 力学模型图Fig.3 Mechanics model 图4 隧道周围y 的应力分布Fig.4 Distribution o

20、f y around the tunnel 图5 隧道周围x 的应力分布 Fig.5 Distribution of x around the tunnel图6 隧道周围xy 的应力分布 Fig.6 Distribution of xy around the tunnel图7 隧道中心水平线上y 的应力分布 Fig.7 Distribution of y on the horizontal linethrough the tunnel circle center5 结 论采用计算复变函数法计算了浅埋隧道的应力场分布。从理论推演和算例结果看，该方法充分发挥了解析法和数值法两者的优点，具有计算简洁

21、方便、计算量小、结果精度较高的特点。使用该方法可考虑任意荷载的边界条件，对荷载位置、大小及荷载形式等没有限制，适用范围较广，便于工程应用，将对隧道结构的具体设计具有重要的指导意义。参 考 文 献1 孙钧, 侯学渊. 地下结构M. 北京: 科学出版社, 1987.2 孙钧. 地下工程设计理论与实践M. 上海: 上海科学技术出版社, 1996.3 刘兴业. 边界元法在围岩应力及围岩变形分析中的应用及发展J. 岩土工程学报, 1991, 13(1: 7583. LIU Xing-ye. Application and development of BEM in the stress and defo

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