模型的动力学分析

1、有限理性Bertrand模型的动力学分析摘 要：研究了具非线性成本的有限理性Bertrand模型的动力学， 分析了此非线性系统均衡的存在与稳定性问题，观察到了分叉、混沌 行为等复杂现象，并对混沌现象的影响及控制做了有益的探讨。关健词：有限理性；Nash均衡；动态演化；稳定性中图分类号：F713文献标识码:ADynamics of Bertrand model with bounded rationalityZeng xiang-jin, Yi qiguo(School of Sciences ,Wuhan University of Technology,Wuhan , Hubei ,Chin

2、a,430070 )Abstract : A Bertrand model with bounded rationality are studied. We analyze the existence and stability of the nonlinear system, and observe the plicated phenomenon such as bifurcation and chaos. We also study the influence and control of chaos and gain some helpful results Key words : bo

3、unded rationality ; Nash equilibrium; dynamical evolution; stabilityZeng Xiang-jin :Prof . ; School of Sciences 、 WU T , Wuhan 430070 , China.1引言近年来，关于有限理性条件下的寡头博弈的研究工作引起了越来 越多的经济学者的兴趣。Bischi和Naimzada研究了一个具线性成 本的有限理性双寡头博弈模型，Ahmed , Agiza以及Hassan等把 Puu的模型修改成具非线性成本的有限理性多寡头博弈模型和不同 行为规则的寡头非线性博弈的混沌动力学，观察

4、到了分叉、混沌行为 等复杂现象。Yassen和Agiza则研究了一个具有滞后效应的有限 理性双寡头博弈模型，并发现滞后效应能够增加博弈达到均衡的可能 性1 -6。易余胤，盛昭瀚，肖条军研究了具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动 态演化7,指出溢出效应将增加博弈达到Nash均衡的可能性。文章 用数字模拟的方法观测到了这一现象，并对混沌现象的出现及其对市 场、企业的影响做了有益的探索。他们在不同行为规则下的Cournot 竞争的演化博弈模型8中，分析了把企业产量动态调整机制和企业 行为规则选择机制结合在一起构成一个非线性的演化博弈动态系统, 并分析了双寡头竞争的产量均衡和企业对行为规则的选择概率的动

5、 态演化。然而，他们研究的寡头模型都是企业选择产量的Cournot模型， 近几年在中国西式快餐市场，双寡头麦当劳和肯德基之间的竞争在 价格上频频做文章，胶卷市场富士激战柯达也是以降价作为利器。这 些实例表明有必要探讨寡头企业选择价格的Bertrand模型的动力学 机制，并就此探讨混沌的出现对市场的影响，并为企业在混沌市场中 生存发展提供理论参考。2 模型分析假设P(t)是第,个寡头在时期r的价格，/=1,2,r时期的产量q 是由双方的价格决定的一个线性逆需求函数为qi(Pi,Pj)= 户12 *其中常系数a>O,b<O,表示两企业的产品是互 补的表示两企业的产品是可替代的。两个企业

6、的成本函数为非 线性形式cqj= cq/,即为简化讨论，假设俩企业的生产方式类似。 第f个企业的利润函数为匕(PbPj)=PiQrcq i,j=,2, j假设每个寡头企业都是有限理性的，他们进行重复的Bertrand 双寡头博弈，他们都不完全清楚需求函数,只是在每一期根据对边际利 润的估计来更新他们的生产策略：在每个时期t,如果估计的边际利润 是正(负)的，那么企业将增加(减少)第t+1期的价格.每一期的边际 利润按如下估计：®(t)=字=Q (l+2c)-2(l +c)Pi+(+2c)bp” Z戶 12其中-2(1 + c) <b<2a + c)(2)l + 2cl +

7、 2c那么描述Bertrand双寡头重复博弈的价格动态调整机制可以表示为 pjt+l)=pt) + ajpj®, 7=1 ,2(3)这里函数q切> 0 ,它表示第，个企业相应于他所估计的边际利润的 产量调整幅度。有了这个动态调整机制,完全理性博弈的两个假设条 件就可以放宽:双寡头不需要需求函数的完全信息，只需要推断产量发 生小变化时市场如何反应。产量的变化由对边际利润的估计决定。显 然，对边际利润的局部估计要比获得需求函数的完全信息容易得多。 这种每一期重新决定产量的动态调整机制比传统经济学的瞬间调整 更贴近现实，因为现实的市场经济中，产量决策不可能在瞬间改变。假设函数p洙线性

8、函数口如=a® ,i= 1 ,2，即假设产量的 相对变化与边际利润是成比例的,即b(t + 1) - pM/Pi( t)= Cid这里Q表示产量调整速度的正常数，代表企业对每单位产品利润信号 的反应速度。动态系统(2)可以写为如下形式pl(t+l)=pl(t) + q pMl Q(+2c)-2 ( +c)p、+(+2c)bpJ从经济学的观点，只有非负均衡才有意义。可以定义这个有限理性双 寡头重复博弈的均衡点为系统(4)的非负定点。则在系统(4)中令 Pi(t+l)=pdt), i= 1 ,2得到非线性系统的4个均衡为5°)，殆册'少EfM苴中"(1 + 2

9、。)八2(l + c) (l + 2c)b不妨称均衡&),£】，屁为有界均衡，均衡E呐Nash均衡。 下面研究这些均衡的局部稳定性。先计算系统(4)的Jacobian矩阵, 即J=1 + a(a + 2c) 一 4(1 + c) px + b(l + 2c) p2a2b(l + 2c)p2a/(l + 2C"i1 +aja(a + 2c) -4(1 + c)/?2 +/?(! + 2c)在有界均衡点&)处.Jacobian矩阵为1 + aa( + 2c)001 + aya(l + 2c)它的特征值为右= l + %(l + 2c)和兄2 = 1 +冷(1 +

10、 2。)显然,2,> 1 故&)不稳定。aab( + 2c)21 -ala(l + 2c)J=0在有界均衡点尽处,Jacobian矩阵为2(1+c)1 +"(1 + 2c) h2(1+ c)它的特征值为心如(S)和心+ M + 2C +警斛，它们的特征向量为门=(1,0)和rJ2)=(l,20+%)(l + "+W(Z2e)j因此，尽 a/(l + 2c)是一个鞍点。当ci】v2/日(l+2c)时，沿着G轴的轨线是稳定的，沿着门的切 线不稳定。此外，尽是不稳定节点。和尽具对称结构，故屁也是 一个鞍点。下面研究Nash均衡Ef,p*)的局部稳定性。先计算点处的

11、Jacobian矩阵为j_14- axx+ 2c)/?*a2b(l + 2c) p *1 + a2x其中 x= r(+2c田(+2c)b4( +c)p*,特征方程为P(2)= A2 trJA+ det J = 0这里trJ为Jacobian矩阵的迹，detJ为Jacobian矩阵的行列式,表示如下trJ =2+(q +axdetJ= 1+(7!-f-aala2 jr-brp(.+2d2因为 trJ2-4detJ=A7(a1 -<72)2+4aia2/72 /?心(1 +2 c)2>0这说明Nash均衡E*的特征值是实的。那么，下面给出Nash均衡 E*稳定的充分必要条件。Nash均

12、衡的局部稳定性可以用Jury条 件给出，即1) 1 - tr J + det J =n1a2a (1+2J a (1+2J+2妙”1+2劲>0, 当且仅当方芒工,符合式(2);l + 2c2) E*的局部渐近稳定的充分条件是1 + tr J + det J >0即 4+2(7182加+4匕2 brp1+2c)2>0上面这个方程定义了 &“的一个稳定区域，这个稳定区域由一段双曲线 与6卫2的正半轴界定。Nash均衡E临这个区域内是稳定的均衡点, 但5卫2 旦超出这个区域，罗就变得不稳定,并在点A= (-2/x,0)和 A=(0,-2/a)处开始出现分叉。显然，罗的稳定性

13、依赖于系统参数。事实上，若增加确保尸局部稳定 的参数集中的4卫2的值，使得6,血离开稳定区域，都将引起分叉。3数字模拟及结论本节通过数字模拟显示这个有限理性双寡头博弈非线性系统(4)的 动态演化。图1为有限理性Bertrand双寡头博弈动态演化图。参数 值为自=3.5,方=-0.25 , c=0. 5,6=0.33,图2为有限理性Bertrand 双寡头博弈的混沌吸引子。参数值为Q =3.5, b =-0.25 , c=0. 5, 6=0.33,(72=0.43。U2 025 U3 0 a23图1有限理性Bertrand双寡头博弈动态演化图图2有 限理性Bertrand双寡头博弈的混沌吸引子在本文中，产量调整速度起着一个扰动作用，增加它的值可能使 Nash均衡不再稳定，而且还会出现更为复杂的混沌现象。从图1、 图2可以看到，混沌的出现是敏感的依赖于系统的初始条件的，初始 条件的细微变化能够导致系统未来长期运动轨迹之间的巨大差异。在 本文中，产量调整速度的最大值就是混沌出现的临界值，只要有限理 性双寡头估计的产量调整速度小于这个临界值，竞争双方的产量在 重复博弈多次后都会动态地趋向于均衡状态。然而，一旦超过这个临 界值，产量调整就进入到混沌状态，市场出现不可预测性，此时，双 寡头都无法决定长期动态调整后的产量。因此，为使市场处于平衡态, 企业应当慎重选择博弈的初始条件。4