平面向量数量积的物理背景及其含义

1、平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背平面向量数量积的物理背景及其含义景及其含义教师教师:张艳梅张艳梅1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含 义及其物理意义；义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的重要性质，并能运用其进行相关的判断和运握数量积的重要性质，并能运用其进行相关的判断和运算；算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养抽象概括、体会类比的数学思想和方法，进一步培养抽象概括、推理论证的能力。推理论证的能力。教学重点：教学重点：1、平面

2、向量数量积的含义与物理意义、平面向量数量积的含义与物理意义; 2、向量数量积的重要性质及其应用、向量数量积的重要性质及其应用. 教学难点：教学难点： 平面向量数量积的定义和平面向量数量积平面向量数量积的定义和平面向量数量积的应用的应用.我们学过功的概念，如图所示，一物体在我们学过功的概念，如图所示，一物体在力力 的作用下产生位移的作用下产生位移 ，（1 1）力）力F F所做的功所做的功:W=:W=数数向向向向FS 与与 的夹角的夹角FS| | | |cosFS（2 2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W W（功）是（功）是 量，量， （力）是（力）是

3、 量，量， （位移）是（位移）是 量，量， 是是 。SFFS功能否看成是两个向功能否看成是两个向量的一种运算结果呢？量的一种运算结果呢？（3）运算中涉及到了哪些量？）运算中涉及到了哪些量？ 它们之间具有怎样的关系？它们之间具有怎样的关系？ 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量| | | |cos叫做叫做 与与 的数量积（或内积）的数量积（或内积）, aaabbbaabb =| | | | cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0.向量数量积的定义向量数量积的定义当当0 90时时 为正；为正；a b当当90 1

4、80时时 为负为负.a b当当 =90时时 为零。为零。a b数量积什么时候为正，什么时候为负？数量积什么时候为正，什么时候为负？a b思考：思考：. ba记作01 1abBAOcos|b我们把我们把| | |cos|cos 叫做向量叫做向量 在在 方向上的投影。方向上的投影。abb“投影投影”的概念：的概念：ba如图，如图，OA= ,OB= ,过点过点B作作BB1垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为B1，b则则OB1=| |cos ；6,eee尝试练习:已知 b为单位向量 当b, 之间的夹角 分别等于45 90 135 时,画图表示b在 方向上的投影 并求其值.1BeBb1351BeBb

5、90cos3 2b cos0b当当 为锐角时投影为正值；为锐角时投影为正值； 当当 为直角时投影为为直角时投影为0；当当 = 180 时投影为时投影为 | |b当当 为钝角时投影为负值；为钝角时投影为负值；当当 = 0 时投影为时投影为 | |；b投影是一个数量，不是向量投影是一个数量，不是向量OBAOBAcos3 2b1BeBb45cos.a baabab 数量积等于 的长度与 在 的方向上的投影的乘积cosbbaa向量a的长度向量b在向量a方向上的投影4,5,;(2)10 3,.bbbbbb 已知 a当(1)a/a时,分别求a和 的数量积; (3)若a试求a与 的夹角:(1),bb解当a/

6、 时 若a与 同向,则 =0,b若a与 反向,则 =180(2),bb当a时 a与 的夹角 =90(3)cos,bbaa5,4,120.bbb例1 已知 aa与 的夹角 =,求a尝试练习尝试练习cosbb解:aacos12010.b a10 334 52,0 ,180,30 . 又 将尝试练习中的将尝试练习中的(1)(2)(3)(1)(2)(3)中的结论推广到一般向量，你中的结论推广到一般向量，你能归纳出什么结论？能归纳出什么结论？提提炼炼归归纳纳cos0bb aaba20.cos180bb aa20.b acos90bb aa0.cosbbaa(1)0aba b(2)|;aba ba b当

7、与 同向时，|;|bababa反向时，与当特别地：特别地：2|aaaaaa |或2a(3)cos|a bab(4) | |.a bab向量数量积的性质向量数量积的性质ab设 、 都是非零向量,则a bab比较与的大小,你有什么结论?22(4)(5)0,.(6),.a ba ba bababab 例2.判断正误,并简要说明理由.(1)a 0=0 (2)0 a=0(3)0-AB=BA若则 与 中至少有一个为零向量与 是两个单位向量 则2aa a 2bb b 21a21b3,aba b3.设 a = b 则324., ,2,1,3,.A B CBCCAAB BCBC CACA AB 已知平面上三点满足 AB求的值1.ABCAC 已知中,当AB小于0时, ABC为0,ACABC 当AB等于 时为钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形-12,8,22.已知向量a,b的夹角为120 且a =9,b则a b=1 1、本节课的主要内容是什么？、本节课的主要内容是什么？2 2、平面向量的数量积有哪些应用？、平面向量的数量积有哪些应用？通过本节学习，掌握平面向量的数量积的通过本节学习，掌握平面向量