2019年中考数学专项练习——几何题中用旋转构造“手拉手”模型

1、2019年中考数学专项练习 几何题中用旋转构造 手拉 手”莫型 、教学目标: i了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征. 2借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题. 3举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题. 二、 教学重难点： 1挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等. 2用旋转构造全等的解题方法最优化选择. 三、 教学过程： 1复习旧知 师：如图， ABD , BCE为等边三角形，从中你能得出 哪些结论？ 生：(ABE DBC (2) ABG DBF (3) CFB EGB (4) BFG 为等边三角形 师：我们再来重点研究厶 ABE与厶DBC，这两个全等的三角形

2、除了对应边相等，对应角相等外, 还有什么共同特征呢? 生：它们有同一个字母 B，即同一个顶点 B. 师：我们也可以把 DBC看作由 ABE经过怎样的图形运动得到? 生：绕点B逆时针旋转60得到. 2引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型” 特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等. 师：我们可以称之为“等线段”. 生：有同一个顶点. 师：我们可以称之为“共顶点”. 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动?(5) AGBDGH (6) Z DHA = 60 ( 7 )H ,G,F ,B 四点共圆 (8) BH 平分Z AHC ，

3、谁可以将这个模型的 生：旋转 师： “手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转 3.小题热身 1 如图， BAD 中，/ BAD = 45, AB = AD , AE 丄 BD 于 E, BC 丄 AD 于 C,贝 U AF = BE . 2._ 如图2, ABC和厶BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE = 2, CE = 4,贝U AE = _ . 3._ 如图 3，正方形 ABCD 中，/ EAF = 45, BE = 3, DF = 5,贝U EF = _. 师： 我们来看第 1,第 2 题,这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段,共顶点” 生：题1中，等线段

4、是 AC, BC,共顶点是 C,A ACF绕点C逆时针旋转90得厶BCD . 题2中，等线段是 AB, BC,共顶点是B, ABD绕点D顺时针旋转60得厶CBE . 师：我们再来看第 3 题,这里有“手拉手模型”吗？ 生：没有. 师：那其中有没有“等线段,共顶点”呢？ 生：等线段是 AD, AB,共顶点是A . 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？ 生：将 AE 旋转,绕点 A 逆时针旋转 90. 师：为什么是逆时针旋转 90,你是如何思考的？ 生：我准备构造一个和 ABE全等的三角形， AB绕点A逆时针旋转90即为AD ,那么将AE逆 时针旋转90可得AG,连接GD,证明全等. 师：

5、说的不错,谁能再来归纳一下,借助“手拉手模型” ,用旋转构造全等的方法吗？ 生：先找有没有“等线段,共顶点” ,再找其中一条 “共顶点”的线段,将其旋转. 师：旋转角度如何确定,方向怎么选择？ 生：选择其中一个三角形,将“共顶点”的线段旋转.旋转角为两条“等线段”间的夹角.方向 应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致. 师：非常棒,可以说,你已经掌握了这节课的精髓.但是,很多题目中只是隐含了“手拉手模型” 的一些条件,剩余的需要我们自己去构造,可以如何构造呢？ 步骤 1：先找有没有“等线段,共顶点” . 步骤 2：选择其中一个三角形,将其中经过 “共顶点”的线段旋转. 步

6、骤 3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致,旋转角为“等 线段”间的夹角.图 图21 3 师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗? 生：连接GD后，要证明G, D，F三点共线. 4例题精讲 例 1:等边 ABC 中，AD = 4, DC = 3, BD = 5,求/ ADC 度数. 师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？ 要构造全等，该怎样旋转？ 生：将 ADC绕点A顺时针旋转60. 师：你是怎么想的，还有其他做法吗？ 生：我发现AB = AC, A为“共顶点”，我选择的旋转线段 是AD，因为AC绕点A顺时针旋转60至U AB，所以 ADC也要绕 点A顺时针旋转

7、60.也可将 ADB绕点A逆时针旋转60. 【解答】 将AD绕点A顺时针旋转 60到AE,连接BE, DE .则 ADE也为等边三角形.易证 AEB ADC,. BE = DC = 4,根据勾股定理逆定理，可证/ 例2 :如图， ABO和厶CDO均为等腰直角三角形， AOB = COD =90 .若 BOC的面积为1 ,试求以AD、BC、OC + OD的长度为 三边长的三角形的面积. 师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角 形？ 生：将0D绕点0逆时针旋转90至0E,即可使OC, OD共线，再通过证明确定 BCE即是以 AD、BC、0C + 0D的长度为三边长的三角形.

8、【解答】 如图，将0D绕点0逆时针旋转90至0E,连接BE.易证 0AD 0BE , AD = BE ,. BCE 即是以 AD、BC、0C + 0D 长度为三边长的三角形.又T 0C = 0E,. . SABCE = 2SABOC = 2. 5自主练习 1._ 如图，在四边形 ABCD 中，AD = 4, CD = 3，/ ABC =Z ACB =Z ADC = 45 ，贝U BD 的长为 . BED = 90，则/ AEB = Z ADC = 150 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法. 生：“等线段”是 CA和BA, “共顶点”是 A .方法是将AD绕点 A顺时针旋转90.

9、2._ 如图，在 ABC中，BC = 2, AB = ,2,以AC为边，向外做正方形 ACDE，连接BE，贝U BE 最大值为 _ . 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法. 生：“等线段”是 CA和EA, “共顶点”是 A . 方法是将AB绕点A逆时针旋转90 . 师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？ 生： ABC，因为AC是逆时针旋转90到AE,所以AB也绕点A逆时针旋转90. 3. 如图，点 A在O B 上, AB = 1, BC = 2, ACD是等边三角形, 求厶BCD面积的最大值. 师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法. 生：“等线段”是 CA和CD,

10、 “共顶点”是 C. 方法是将CA绕点C逆时针旋转60. 附：自主练习解答 1.如图，将AD绕点A顺时针旋转 90至AE,易证 EAC DAB ,可得CE = BD ,又EDA =45, A/ CDE = 90, CD = 3, DE = 4 2，贝U Rt CDE 中，CE2= CD2+ DE2= 32 + (4 . 2)2 =41 A CE= 41 , DB = ,41 2如图，将 AB绕点A逆时针旋转 90至AF，易证 EAF CAB , 可得 EF = BC = 2. Rt BAF 中，AF = AB= 2, BF = 2.由三 角形三边关系易知， BE W EF + BF ,A BE最小值为4. 3.如图，将CB绕点C逆时针旋转60至CE，连接D