123正弦、余弦定理应用

1、正余弦定理的应用正余弦定理的应用CcBbAasinsinsin 正弦定理：正弦定理：a2=b2+c22bccosAb2= a2+c22accosBc2 =a2+ b22abcosC余弦定理：余弦定理： 复习复习222222222b +c -acos2bc+a -bcos2ca+b -ccos2abAcBaC余弦定理的推论：余弦定理的推论： 例例6 如图如图1.2-7 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东750的方向航行的方向航行67.5 n mile后到达海岛后到达海岛C. 如果下次如果下次航行直接从航行直接从A出发到达出发到达C, 此船应该沿怎样的方向航此船应该沿怎样的方向航行

2、，需要航行多少距离？（角度精确到行，需要航行多少距离？（角度精确到0.10，距离，距离精确到精确到0.01 n mile）应用三：测量角度应用三：测量角度220 ACABBC2ABBC cos = 67.5542 67.5 54 cos137 =113.15ABC 2 22 2根根据据余余弦弦定定理理可可知知：= =BC sinACCABABC 根根据据正正弦弦定定理理可可知知：si nsi n0sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC00019 7556CABCAB答：此船应该沿北偏东答：此船应该沿北偏东560的方向航行，需要航行的方向航行，需要航行113.1

3、5 n mile.0000 ABC ABC=1807532137解解：在在 中 中， 练习练习1 3.5m长的长的棒斜靠在石堤旁，棒的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足一端在离堤足1.2m地面地面上，另一端在沿堤上上，另一端在沿堤上2.8 m的地方，求堤对的地方，求堤对地面的倾斜面地面的倾斜面。 练习练习 知识知识1：在：在ABCABC中，边中，边BC,CA,ABBC,CA,AB上的高分别记上的高分别记为为h ha a, , h hb b , ,h hc c , ,那么容易证明：那么容易证明：h ha a=bsinC=csinB hb =csinA=asinC hc =bsinC=csinB应用

4、四：有关三角形计算应用四：有关三角形计算a12S, hsin,21 Ssin2ahbCabC 知知识识 ：根根据据三三角角形形的的面面积积公公式式应应用用以以上上高高的的公公式式可可得得：1 Ssin21 Ssin 2bcAcaB 同同理理：7 ABC S0.12 2例例在在 中中，根根据据下下列列条条件件，求求三三角角形形的的面面积积 ( (精精确确到到c cm m) )0 0( (1 1) ) 已已知知 a a= = 1 14 4. . 8 8c cm m , , c c= = 2 23 3. . 5 5c cm m , , B B= = 1 14 48 8. . 5 50, C=65.8

5、 ,3.16 bcm 0 0( (2 2) ) 已已知知 B B= = 6 62 2. . 7 7(3)41.4 ,27.3,38.7acmbcm ccm 已已知知三三边边的的长长分分别别为为 01 1 Ssin21 S23.5 14.5 sin148.590.92caB2 2解解： （ ）应应用用 =可=可得得=（=（cm ）cm ）bbsinC c=sinBsinsinBcC （2）2）根根据据正正弦弦定定理理，1S221sinsinsin2sinCAbcAbB =222221sin65.8 sin51.5S3.164.0()2sin62.7cm00222A=180()180(62.765

6、.8 )51.5BC22223 238.741.427.3 =0.76972 38.7 41.4abca 2 22 2（ ）根根据据余余弦弦定定理理可可得得：c ccosB=cosB=22sin1cos10.76970.6384BB211Ssin38.7 41.4 0.6384511.4 ()22caBcm应应用用 例例8 如图如图1.28，在某市进行城市环境建设中，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边分别为到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m, 127m, 这个区域的面积是多少

7、？（精确到这个区域的面积是多少？（精确到0.1m2） 解：设解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦根据余弦定理可得：定理可得：2222221276888cos0.753222 12768cabBac2sin10.75320.6578B 211sin127680.65782840.4()22SacBm答：这个区域的面积是答：这个区域的面积是2840.4m2应用五：三角形恒等式证明应用五：三角形恒等式证明222222229 ABCsinsin 1sin (2) a +b +c2(coscoscos)bABcCbcAcaBabC 2 2例例 在在 中 中，求求证证：a a（ ） 1 (0)k kabCabC证证明明： （ ）根根据据正正弦弦定定理理可可得得：si nAsi nBsi nCsi nAsi nBsi nC222222222222sinsinsinsin=sinsinabkAkBABckCC左左边边右右边边2222222222222222222222=2bcca+ab)222 ()( bcacababcbccaabbcacababcabc （ ）根根据据余余弦弦定定理理的的推推论论：右右边边（)+()+()=左=左边边正弦、余弦定理的应用：正弦、余弦定