共同本征函数

1、§4.3 共同本征函数1、测不准关系的严格证明在算符的本征态中测量力学量，可以得到确定值，并不出现涨落。如果测量，则不一定能得到确定值。例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定对于比较普遍的情况，设有，两个力学量，令，（注意在经典力学中）因为，是厄米算符，所以，也是厄米算符。考虑积分，为实数，积分区间取为整个空间。展开上式，有因为，均是厄米算符，所以有（利用了厄米性）而对，则令，则这是有关实参数的一元二次方程。其有解的条件可由判别式给出，即，简记为，或这就是测不准关系。比如：因为，则有。对易关系对测不准关系的意义一般来说，若两个力学量和不对易

2、，则、不能同时为0。如果一个完全确定（），则另一个完全不确定（）。即和不能同时测定，或者说它们不能有共同的本征态。但当和对易时，的特殊情况是存在的。如在态中，同时有确定值0。反过来说，若两个力学量和对易，则可以找到状态，使得、同时为0，这样的状态称为，的共同本征态。这实际上就是我们介绍测不准关系的最重要的原因。例1讨论动量三个分量的共同本征态。由于，所有可以有共同本征态，即平面波函数。具体表示为相应的本征值为。例2坐标的共同本征态，即函数。在讲述两个力学量的共同本征函数的一般原则以前，先讨论角动量的本征态。由于其三个分量不对易，故一般无共同本征态，但由于，我们可以找出与任一分量（一般取为）的共

3、同本征态。2、，的共同本征函数 球谐函数采用球坐标考虑到，的本征函数可以同时也取为的本征态，即取其交集。，此时，由于也是本征函数， 的本征函数实际上可以分离变量，即可以写为，代入本征方程，是的本征值（无量纲），用的球坐标表达式代入得，上式还较为复杂，需要化简。为此令，得或这是缔合勒让德方程。在区域中，微分方程有两个正则奇点，其余的均为常点。可以证明，当，时，方程的有界解是一个多项式，称之为Legendre多项式，用下式表示：，由Legendre多项式的正交关系，（个）可以定义归一化的部分的波函数（为实数）并满足归一化关系这样，的正交归一的共同本征函数为上式就是所谓的球谐函数，满足本征值方程，其

4、正交关系为由上述本征值方程可以看出：和的本征值都是量子化的。其中称为轨道量子数，称为磁量子数。对于给定的，的本征值是一定的，但本征函数是不确定的，因为共有度简并。就是用与对易的的本征值来区分这些本征态。3、求共同本征函数的一般原则 前面已经说明，两个力学量具有共同本征函数系的充要条件是两个算符对易。现在设，如何求，的共同本征函数系？若，即是的本征态，相应的本征值为，下面由此寻找算符的本征态。（a）如果不简并，利用可知，即也是的属于同一本征值的本征态。但由于不简并，所以与代表同一个态。它们至多相差一个常数因子，我们将此因子记为，即故是，的共同本征函数，本征值分别为，。例1一维谐振子的能量本征态为

5、，已经知道能量本征值是不简并的。现在引进空间反演算符,有或者说对没有“影响”。这样可以移项得出由此可得(将任意波函数用本征态展开，然后用算符作用)由前面的论述可知，必为的本征态。事实上，根据谐振子本征函数的特性，有具有宇称，它实际上是空间反演算符的本征值。例2角动量量子数时，本征态是不简并的。而，所以态必为（）的共同本征态。它们的本征值均为0。（b）设有简并，即，即是属于的本征函数，简并度为。设已经正交归一化，即一般说来，并不一定是的本征态（尽管）。但考虑到即仍为属于本征值的本征态。但由于有简并，与并不描述同一状态。因此根据方程解的性质，应是的线性叠加，其普遍表示应为利用正交性，可知，前式告诉

6、我们，并非的本征态但可以作如下线性叠加，它们仍为的本征态，本征值为，因为但是否是的本征态，即通过这样选择能否满足？下面证明，通过适当的变通后，上述条件是可以满足的。因为如右端可以写成诸如的形式就可以。即实现这一点很容易得到满足，只要令，上述目的就可以达到，此时上式可写为这是关于的线性齐次方程组，关键是求。按照求解方程组的方案，有非平庸解（非0解）的冲要条件是左端是矩阵的行列式。这是关于的幂次的代数方程。由于，即，可以证明，方程有个实根。假定无重根，这些实根分别记为，。用根代入方程可求得叠加系数，。因而可以求得波函数这样的波函数也有个，满足就是要找的和的共同本征函数。总结：作业：P133 10,

7、12,134、力学量完全集设有一组彼此独立又互相对易的厄米算符，它们共同的本征函数记为，是一组量子数的笼统记号（而不是某一个量子数，因为有若干个对易算符存在，有一组量子数，如）。设给定之后就能确定体系的一个可能状态，则称构成体系的一组力学量完全集。按照态的叠加原理，体系的任何一个状态都可以用展开（假定的本征值是分立的），即利用的正交归一性，而从上式可得表示在任意态下测量得到的几率。这是波函数统计解释的最一般的表述。下面给出两个一维体系的力学量完全集。例1一维谐振子的Hamitonian本身就构成力学量完全集。其本征函数为，它们构成体系的一组正交完备函数组。一维谐振子的任何一个态均可用它们来展开

8、，即。而代表在态下，测得振子能量为的几率。例2 一维运动粒子，动量本征态为按照Fourier展开定理，任何平方可积函数均可用平面波展开，即因此，动量就构成一个力学量完全集。对于三维粒子，则动量的三个分量构成力学量完全集。同样，坐标的三个分量也构成一组力学量完全集。用一组力学量完全集的共同本征函数来展开任意态，数学上涉及完备性问题：对于Fourier展开，完备性成立，即任何平方可积函数均可按共同本征函数系（平面波）展开；如果力学量完全集中包含有Hamitonian，的本征值又有下确界（最小值），则力学量完全集的共同本征函数构成态空间的一组完备基矢。即体系的任何一个态均可以按照此基矢来展开。当不显

9、含时间时，这种力学量完全集称为守恒量完全集。一个体系是否具有等于自由度数的守恒量个数是至关重要的，这是寻找守恒量完全集的关键所在。5、量子力学中力学量用厄米算符来表示本章我们讨论了力学量和相应的厄米算符表示。这是量子力学的基本原理之一。在量子力学中，力学量用厄米算符来表示的。含义是：（1）力学量和算符的对应关系在本征态中的取值由本征值方程确定。（2）在任意态中，在本征值谱中取的几率为。平均值，设已经归一化。实验上的可能取值必为某一本征值，且为实数。（3）力学量间的关系通过相应算符的关系反映出来。例如，和同时具有确定值的必要条件是。若，则一般来说和不能同时测定。特别是在不显含时间t时，一个力学量

10、是否守恒，可根据是否为0来定。如前面讲的宇称算符是否为守恒量就可以这样进行判断。§4.4 连续谱本征函数的归一化 箱归一化 1、连续谱本征函数是不能归一化的量子力学中常见的力学量：坐标、动量 取值可连续 角动量 取值分立 能量 二者兼而有之但连续谱的本征函数不能归一化。以动量本征态为例：一维粒子动量本征值为的本征函数是平面波可取区间的一切值，只要，且平面波不是平方可积的，因为表示几率密度，处处相同。只要，总几率一定。任何真实的波函数一定是某种形式定域的波包（而不是严格的平面波）。在实验上，这种波包可以视为平面波的叠加，并不存在归一问题。如果此波包的广延比问题的特征长度大得多，而粒子在

11、各点出现的几率（或几率幅）变化很小，这时可以用平面波近似。平面波仅仅是理论模型。2、函数Dirac的函数定义为同时，（小量）在连续的任何函数在处都有定义按照Fourier积分公式(见数理方法“Fourier积分公式”部分内容),对于分段连续函数，有比较以上两式，有因此，若取动量本征态为则有（第一步用积分表示，第二步用到了）。这样平面波的归一化就用函数的形式表示。坐标的本征态也是不能归一化的，可用类似的方法处理。利用函数的性质，有则有这实际上是关于坐标算符 x 的本征值方程，记此时也是用函数来表示其归一化。3、箱归一化平面波的“归一化”问题还可采用数学上传统的的作法，即先让粒子局限于有限空间-L/2，L/2中运动，最后让L。为保证动量算符为厄米算符，要求波函数满足周期性边界条件，即（见教材附注）设动量本征态，为把其表为周期函数（Fourier级数），特作周期延拓（偶延拓），即相除，得，或，。，或粒子波长，即。由可以看出，只要，动量取值就是不连续的。此时，与相应的动量本征态可以写为上述波函数满足正交归一条件这种归一化称为“箱归一化”，以区别于分立谱本征函数的归一化。函数可以用任一正交完备函数组表示。利用上面给出的正交归一完备函数可以构成如下的函数由于，让，则动量允许值趋于