线性代数习题答案

1、线性代数练习答案练习一一、1.2. 3. D 4. C 5. 二、1. 2. 3.4.5.三、证：左=练习二一、1. 2. 3. 4. D 5. C 二、1.。2.3.4.三、1. 方程组有唯一解；2. 设由已知可得求得D=48，D1=96，D2=-240，D3=0，D4=336，则练习三一、1. A 2. D 3. D 4. A 5. C二、1. （1）线性无关（2）c=5时，线性相关设2. 设存在一组数，使由无关得方程有非零解线性相关3. 由于分量组成的行列式不为0，所以线性无关。又因为线性相关（5个4维向量一定线性相关）所以一定可由线性表示。设，根据此向量等式，我们可以得到一个四个方程组

2、成的方程组。把看成未知数，解出，就得到由线性表示的表示方式。因为的解唯一，所以由线性表示的表示方式唯一。4. (1) 由于线性无关，所以也线性无关。又因为线性相关，所以可由线性表示。(2) 假设可由线性表示又因为可由线性表示，所以可由线性表示。则线性相关。这与已知线性无关矛盾。所以假设不成立。则不可由线性表示。三、证：可由，线性表示，存在不全为零的数：，使得：显然，否则若，则与不能由，线性表示矛盾。故，因此有：即：向量可由，线性表示。练习四一、1. B 2. B 3. D 4. C5. C二、解法一：分量组成的行列式为0，所以线性相关。而容易判断，也线性相关。再有线性无关，所以是的极大无关组。

3、解法二：则为向量组的一个最大无关组三、线性无关，且，所以线性相关，且秩为2，是的一个极大无关组。由于和有相同的秩，所以线性相关，则又可由线性表示且，所以线性相关。则 ，于是四、证：设是的一个极大无关组，且是的一个极大无关组。由于可由线性表示，所以是的一个极大无关组。所以的秩也是，而是的一个极大无关组，所以也是的一个极大无关组，则可由线性表示，那么就可由线性表示。则与等价。练习五一、1. 2. C3. C4. C 5. D二、1. 2.3. 原式=4. 1或10三、为对称矩阵； 令则时，练习六一、1. A2. C3. B 4. A5. D二、三、四、；五、1. ，得2. 是非奇异矩阵练习七一、1

4、. D 2. B 3.A4. A5. B二、1.（1），（2）2. 因 则3. ,因此4. 三、1.由，得。从而有：即： 所以有：， 故：可逆。且：。2.只要证明即可。 又因为：，；知： 故：。所以不可逆。练习八一、1. A 2. B 3. C 4. B 5. A二、1. 取基础解系：方程组通解为，其中为任意实数。 2.，对应的方程组为取，得，对应的齐次线性方程组的同解方程组为：，其基础解系为：所求通解为： ，其中为任意实数。3. （1）当且时，方程组有唯一解。（2）当且时，则，方程组有无穷多解；(3)当时，若则，方程组无解；若则，方程组无解。三、若是一个基础解系，则线性无关已知线性无关，而，

5、即方程组只有零解四、由线性无关及知，且是齐次方程组的基础解系，又由知是方程组的解，因此非齐次方程组的通解为，其中为任意实数。阶段自测题（一）一、12. 6 3. ，其中 为任意实数4. 2 5. 二、1. D 2. C 3. D 4. D 5. D三、1. 原式=2. 原式3. 令，方程组有解，则可由线性表示（1）有唯一解（2）有无穷个解无穷个解（3）无解无解四、设还有一种表示方式为，两式相减，则有0=，若线性无关，则所有，表示法唯一；若线性相关，则存在，表示法不唯一。五、由及有，于是有。练习九一、1. 0， 2. 正交 3. 4. ，. 5. ，二、1单位化，得：为所求2由题意知 =-1，且

6、有所以3，故对应于特征值1的全部特征向量为4设特征向量对应的特征值为 ，则有，可得，a=7，b=8。三、1则是正交矩阵是正交矩阵，由于都是正交矩阵，所以也是正交矩阵。2假设是对应的特征向量，则有，再由，整理可得，由线性无关知，矛盾。练习十一、1有n个线性无关的特征向量 2. 6 3. 1 4. 正交矩阵 对角矩阵 5. 二、1 2 ，所以特征值为-3和6对于特征值-3，特征向量为对于特征值6，特征向量为，把特征向量正交单位化得，则即可使3由于A与B相似，因此有相同的特征值，所以B的特征值也为1，0，-1由有，即所以PX为B的特征向量，求之分别为4令，有5 可逆存在；与相似练习十一一、1是，是，否，否 2.3. 4. ，负定二次型 5. 0二、1不是正定的2正定三、都正定，有：也正定四、由二次型矩阵的各阶主子式大于0，可解得（1） （2）五、，所以特征值为1，4，-5，对应特征向量分别为，单位化后，得到，则，X=PY使阶段自测题（二）一、1. 2.且3. 34. 4，6，12. 5.二、1C 2. D 3. C. 4. B 5. A三、1.(1)(